2023上海虹口区高三上学期第一次模拟考试数学含答案

2023届虹口区一模

一、填空题

1. 不等式的解集为____________

2. 对于正实数，代数式的最小值为____________

3. 已知一个球的半径为3，则这个球的体积为____________

4. 在的二项展开式中项的系数为____________

5. 设为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则____

6. 已知首项为2的等比数列的公比为，则这个数列所有项的和为____________

7. 设曲线的斜率为3的切线为，则的方程为____________

8. 第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动.已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为____________.(结果用分数表示)

9. 设，若函数为奇函数，则____________

10. 设函数(其中)，若函数图像的对称轴与其对称中心的最小距离为，则____________

11.在中，是的外心，若，其中，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为____________

12. 已知是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于两点，且，则在下列结论中，正确结论的序号为____________（注意:不填或错填得0分，漏填得2分.）

(1)双曲线的离心率为2；

(2)双曲线的一条渐近线的斜率为；

(3)线段的长为；

(4)的面积为.

二、选择题

13. 设，已知直线与圆，则“"是“直线与圆相交"的(   )

(A)充分不必要条件  (B)必要不充分条件 (C)充要条件 （D）既不充分也不必要条件

14. 若复数满足且，则(    )

(A)  (B)  (C)  (D)

15. 已知是椭圆与抛物线的一个共同焦点，与相交于两点，则线段的长等于(    )

(A) (B) (C)       (D)

16. 已知函数，数列满足，且为正整数.则(   )

(A)  (B)1  (C) (D)

三、解答题

17. 设的内角所对的边分别为，已知.

（1）求角；

（2）若，求证:是直角三角形.

18. 在等差数列中，，且构成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值.

19. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且.

(1)求证:；

(2)求点到侧面的距离；

(3)在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为?若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.

20. 本市某区对全区高中生的身高(单位:厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图.

（1）若数据分布均匀，记随机变量为各区间中点所代表的身高，写出的分布及期望；

（2）已知本市身高在区间的市民人数约占全市总人数的，且全市高中生约占全市总人数的.现在要以该区本次统计数据估算全市高中生身高情况，从本市市民中任取1人，若此人的身高位于区间，试估计此人是高中生的概率；

（3）现从身高在区间)的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本.若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这80人的方差.

21. 设，已知函数.

（1）求函数的单调区间；

(2)对于函数的极值点，存在，使得，试问对任意的正数是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；

(3)若函数在区间上的最大值为40，试求的取值集合.

参考答案

一.填空题:

1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、

9、；10、；11、；12、

二.选拝题：

13、A；14、D；15、B；16、C

二.解答题：

17、(1)(2)略；

18，(1)(2)6；

略；（2）（3）1；

20、（1），；(2)；(3)；

21、（1）递减和，递增；(2)6；(3).