微专题 求实际问题中的抛物线方程 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 求实际问题中的抛物线方程 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共32页。学案主要包含了考点梳理，典例剖析，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。
微专题：求实际问题中的抛物线方程
【考点梳理】
1、抛物线的应用的主要解题步骤：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用方程求点的坐标.
2、抛物线的实际应用，设出抛物线的方程，分析出抛物线上的点的坐标，求出抛物线的方程是解题的关键

【典例剖析】
典例1．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知，，点到直线的距离为，则此抛物线顶端到的距离为（       ）


A． B． C． D．
典例2．首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段和一段圆弧组成，如图所示.假设圆弧所在圆的方程为，若某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（       ）


A． B．
C． D．
典例3．一抛物线状的拱桥，当桥顶离水面1时，水面宽4，若水面下降3，则水面宽为（       ）
A．6 B．7 C．8 D．9
典例4．北京时间2022年4月16日9时56分，神州十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分．已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，向航天器发出变轨指令，则航天器降落点B与观测点A之间的距离为（       ）


A．3 B．2.5 C．2 D．1
典例5．如图是抛物线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽. 若水面下降，则水面宽是（       ）

A． B．
C． D．


【双基达标】
6．一种卫星接收天线如图（1）所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图（2）所示.已知接收天线的口径为，深度为.若为接收天线上一点，则点与焦点F的最短距离为（       ）


A． B．
C． D．
7．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，P距抛物线对称轴1m，则在水池直径的下列可选值中，最合算的是

A．2.5m B．4m C．5m D．6m
8．如图是抛物线拱形桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升，则水面宽是（       ）（结果精确到）

（参考数值：）
A． B． C． D．
9．已知抛物线形拱桥，当顶点距离水面米时，测量水面宽为米，当水面下降米后，水面的宽度是（       ）米

A． B． C． D．
10．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（假设车顶为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为（       ）

A． B． C． D．
11．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面，点B到管柱所在直线的距离为，且水流落在地面上以O为圆心，以为半径的圆上，则管柱的高度为（       ）

A． B． C． D．
12．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为，镜深，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（       ）

A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米
13．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥处各有一窗户，两窗户的水平距离为，如图2，则此抛物线顶端到连桥的距离为（       ）

A． B． C． D．
14．如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为，则此时欲经过桥洞的一艘宽的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（       ）

A． B． C． D．
15．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（       ）

A．1.35m B．2.05m C．2.7m D．5.4m

【高分突破】
一、 单选题
16．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2时，水面宽4，若水面下降1，则水面宽为（ ）
A． B． C． D．9
17．如图是抛物线形拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为（       ）

A． B． C． D．
18．如图1，某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成，为了更好利用热效能，反射面设计成抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面），热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径.图2是该电暖气的轴截面，防护罩的宽度等于热馈源到口径的距离，已知口径长为40cm，防护罩宽为15cm，则顶点到防护罩外端的距离为（       ）


A．25cm B．30cm C．35cm D．40cm
19．有一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若当水面下降1m时，则水面宽为
A． B． C．4.5m D．9m
20．一抛物线型拱桥，当水面距离拱顶2m时，水面宽为2m，若水面下降4m，则水面宽度为（       ）
A． B． C． D．
21．如图，某桥是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2，水面宽4，那么水下降1后，水面宽为（       ）


A． B．
C． D．
22．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m．若水面下降1m，则水面宽度为（       ）

A． m B． m C． m D．12 m
23．下图是抛物线形拱桥，当水面在位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽米

A． B． C． D．
24．如图,在底面半径和高均为的圆锥中,､是底面圆的两条互相垂直的直径,是母线的中点.已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于

A． B． C． D．
25．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行车道总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为（       ）

A．4.00m B．4.05m C．4.10m D．4.15m
26．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（　　）米．

A． B． C． D．

二、填空题
27．一抛物线型的拱桥如图所示：桥的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米用一个柱子支撑，则支柱的长度______米．

28．如图，某河流上有一座抛物线形的拱桥，已知桥的跨度米，高度米（即桥拱顶到基座所在的直线的距离）．由于河流上游降雨，导致河水从桥的基座处开始上涨了1米，则此时桥洞中水面的宽度为______米．

29．抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线，如图，一平行轴的光线射向抛物线上的点，经过抛物线的焦点反射后射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为6，则此抛物线的方程为_______.

30．抛物线型塔桥的顶点距水面2米时，水面宽8米，若水面上升1米，则此时水面宽为___________米.
31．一抛物线状的拱桥，当桥顶离水面2m时，水面宽4m．若水面下降1m，则水面宽为______m．
32．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示），已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为_______．

33．某中学张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩．已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线（人的身高不计，铅球看成一个质点），如图所示，设初速度为定值，且与水平方向所成角为变量，已知张燕投铅球的最远距离为．当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为____．（空气阻力不计，重力加速度为）

34．抛物线的焦点为，过焦点作倾斜角为的直线交抛物线于、两点，点、在抛物线准线上的射影分别是、，若四边形的面积为，则该抛物线的方程为__________.

三、解答题
35．如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为

（1）求曲线的方程；
（2）一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点.
①求证：不可能是钝角；
②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由.
36．某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，此车能否通过此隧道？说明理由.

37．利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O､A､B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，于C，米，米.

(1)求抛物线的焦点到准线的距离；
(2)在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB､DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到）.
38．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.

(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？
39．一座抛物线形的拱桥的跨度为52米，拱顶离水平面6.5米，水面上有一竹排上放有宽10米､高6米的木箱，问其能否安全通过拱桥？


参考答案
1．B
【分析】建立直角坐标系，待定系数法求抛物线方程，即可求解到的距离.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由题意设，，，则，解得，所以此抛物线顶端到的距离为．
故选:B．


2．C
【分析】由题意可得到直线所在的方程和圆方程联立求得点的坐标，设所求抛物线方程，求导，根据导数的几何意义结合题意，可求得a,c,即得答案.
【详解】由于某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳，
故,所以直线所在的方程为：，
代入，解得 或 （舍，离y轴较远的点），
所以点的坐标为.
由于起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在轴上的抛物线的一部分，
故设抛物线方程为：，则，
则由M点处切线斜率为1可得，，
又，解得，
所以该抛物线的轨迹方程为，即，
故选：C.
3．C
【分析】根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的方程，代点计算即可求解.
【详解】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系.

设桥顶离水面1时，水面与抛物线交于、两点，易知，
当水面下降3时，水面与抛物线交于、两点，设且.
设抛物线方程为，将代入计算，易得，故抛物线方程为，
代入，得，解得，故水面下降3，则水面宽为8.
故选：C.
4．A
【分析】设点所在的抛物线方程为，代入点，求方程为，令，解得，根据，即可求解.
【详解】由题意，设点所在的抛物线方程为，
又由抛物线与椭圆的交点，代入抛物线方程得，解得，
即抛物线的方程为，
令，可得，解得或（舍去），
所以，即航天器降落点B与观测点A之间的距离为.
故选：A.

5．D
【分析】建立坐标系，求出抛物线方程，再由方程得出水面的宽度.
【详解】以抛物线形拱桥的最高点作为坐标原点建立坐标系，如下图所示

设该抛物线方程为，由图可知，，则，，即，当时，，故所求水面宽度为
故选：D.
6．B
【分析】首先根据题意建立直角坐标系，设抛物线方程为，代入得到，再根据抛物线的几何意义求解即可.
【详解】在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合，
焦点在轴上，如图所示：

设抛物线方程为，由题知：点在抛物线方程上，
所以，解得.
则点与焦点F的最短距离为.
故选：B
7．C
【详解】试题分析：建立直角坐标系，借助坐标法先求出落点的最远距离，从而估算出水池直径即可．
解：以O为原点，OP所在直线为y轴建立直角坐标系（如图），则抛物线方程可设为
y=a（x﹣1）2+2，P点坐标为（0，1），
∴1=a+2．∴a=﹣1．
∴y=﹣（x﹣1）2+2．
令y=0，得（x﹣1）2=2，∴x=1±．
∴水池半径OM=+1≈2.414（m）．
因此水池直径约为2×|OM|=4.828（m）．

点评：解决实际问题通常有几个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型，其中关键是建立数学模型．
8．C
【分析】先建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将点坐标代入抛物线方程求出m，从而可得抛物线方程，再令y＝代入抛物线方程求出x，即可得到答案．
【详解】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，

由题意，将代入x2＝my，得m＝，所以抛物线的方程为x2＝，
令y＝，解得，
所以水面宽度为2.24×817.9m．
故选：C．
9．C
【分析】建立平面直角坐标系，假设抛物线方程，利用可求得抛物线方程；代入即可求得结果.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，

设抛物线方程为：，
将代入抛物线方程得：，解得：，；
当时，，水面宽度为米.
故选：C.
10．B
【解析】设抛物线的方程为，可知点在该抛物线上，求出的值，将代入抛物线方程，求出的值，即可得解.
【详解】设抛物线的方程为，可知点在该抛物线上，则，解得，
所以，抛物线的方程为，
将代入抛物线方程得，解得，
因此，车辆通过隧道的限制高度为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的实际应用，设出抛物线的方程，分析出抛物线上的点的坐标，求出抛物线的方程是解题的关键，同时要注意车辆限高的意义.
11．B
【分析】根据题意建立合适平面直角坐标系，设出抛物线的方程，根据的坐标求解出抛物线的方程，由的横坐标可计算出的纵坐标，结合长度可求解出的高度.
【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，记且垂足为，
在轴上的投影点为，设抛物线方程为，
由题意可知：，
所以，所以，代入抛物线方程可知，
所以，所以抛物线方程为，
又因为，所以，
所以，所以，
所以的高度为，
故选：B.

12．B
【分析】首先画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程，由条件求出，由集光板的原理可知，若达到最佳吸收阳光的效果，容器灶圈应在抛物线的焦点处.
【详解】若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，
如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程
集光板端点 ，代入抛物线方程可得，
所以抛物线方程，
故焦点坐标是.

所以容器灶圈应距离集光板顶点.
故选：B
【点睛】本题考查抛物线的简单应用，重点考查解析式的求法，属于基础题型，本题的关键是读懂题意，将问题抽象概括为数学问题.
13．B
【解析】建立适当坐标系，设点与的坐标，设抛物线方程为：，列出方程组，求解，即可得出结果.
【详解】建系如图，设抛物线方程为：，

由题意设，，
则，
解得：，.
所以此拋物线顶端到连桥的距离为：.
故选：B.
14．D
【解析】根据题意,抽象出抛物线的几何模型.根据抛物线的通经性质求得抛物线方程,即可求得当宽为时的纵坐标,进而求得水面到顶部的距离.
【详解】根据题意,画出抛物线如下图所示:

设宽度为时与抛物线的交点分别为.当宽度为时与抛物线的交点为.
当水面经过抛物线的焦点时,宽度为
由抛物线性质可知,则抛物线方程为
则
当宽度为时,设
代入抛物线方程可得,解得
所以直线与直线的距离为
即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过
故选:D
【点睛】本题考查了抛物线在实际问题中的应用,抛物线几何性质的应用,属于基础题.
15．A
【分析】根据题意先建立恰当的坐标系，可设出抛物线方程，利用已知条件得出点在抛物线上，代入方程求得p值，进而求得焦点到顶点的距离.
【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系xOy，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点O重合，焦点F在x轴上．

设抛物线的标准方程为，
由已知条件可得，点在抛物线上，
所以，解得，
因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为1.35m，
故选：A.
16．B
【分析】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，求出拱形桥的曲线方程后可得水面下降1的宽.
【详解】
如图所示，抛物线的顶点为，与轴的两个交点为，
故抛物线的方程为，令，则，
故水面的宽为，选B.
【点睛】本题考查抛物线的应用，属于基础题.
17．D
【分析】由题建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件即求.
【详解】建立如图所示的直角坐标系：

设抛物线方程为，
由题意知：在抛物线上，
即，
解得：，
，
当水位下降1米后，即将代入，
即，解得：，
∴水面宽为米.
故选：D.
18．C
【分析】根据给定条件建立坐标系，利用待定系数法求出抛物线方程即可计算作答.
【详解】以顶点O为坐标原点，射线OF为x轴建立平面直角坐标系，如图，

令轴截面边界曲线所在抛物线方程为：，
则，，而点A在抛物线上，于是得，又，解得，
则到距离，
所以顶点到防护罩外端的距离为35cm.
故选：C
19．B
【详解】建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），由题意知，抛物线过点（2，﹣2），
∴4=2p×2．∴p=1．∴x2=﹣2y．
当y0=﹣3时，得x02=6．
∴水面宽为2|x0|=．
故选B
点睛：本题充分体现了解析几何的基本思想：用代数方法处理平面几何问题，利用坐标系，把已知条件与未知条件都转化为代数问题来处理.
20．B
【分析】先以抛物线的顶点为原点建立直角坐标系，设抛物线方程为，将点代入求得抛物线的方程，再将代入抛物线方程求解.
【详解】以抛物线的顶点为原点建立直角坐标系，设抛物线方程为，
因为点在抛物线上
代入可得，
所以抛物线方程为
又因为，
所以
则水面宽为.
故选：B
【点睛】本题主要考查了抛物线方程的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
21．D
【分析】建立直角坐标系，利用代入法，结合抛物线的方程进行求解即可.
【详解】如图，以拱顶为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，则该拋物线方程为，依题点在其上，所以，，拋物线方程为.设，则，，所以水面宽为，
故选：D.

22．B
【解析】以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程并求出，最后求解当时的值即可求出水面宽度.
【详解】由题意，以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，
设抛物线方程，
由题意知，抛物线经过点和点，
代入抛物线方程解得，，
所以抛物线方程，
水面下降米，即，解得，，
所以此时水面宽度.

故选：B
【点睛】本题主要考查通过建模解决实际问题和抛物线的性质，属于基础题.
23．B
【详解】如图建立直角坐标系：

设抛物线方程为，将代入，得.
∴
设，代入，得.
∴水面宽为米
故选B.
24．D
【解析】根据圆锥的性质,建立坐标系,确定抛物线的方程,计算出的长度,结合直角三角形的关系进行求解即可.
【详解】如图所示,

过点作,垂足为.
∵ 是母线的中点,圆锥的底面半径和高均为,
∴   =.
∴ =.
在平面内建立直角坐标系如图.

设抛物线的方程为=.
,为抛物线的焦点.
,∴=.
解得=..
即,
∵ =,=,
∴ 该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离为
故选：D
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，解题的关键是建立坐标系，属于中档题.
25．B
【解析】以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，利用点在抛物线上，可求得抛物线方程，利用的坐标可求得结果.
【详解】以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，

依题意，设该抛物线的方程为，
因为点在抛物线上，所以，解得，
所以该抛物线的方程为.
设车辆高h米，则|DB|＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.05米.
故选：B
【点睛】方法点睛：抛物线的应用的主要解题步骤：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用方程求点的坐标.
26．B
【分析】通过建立直角坐标系，设出抛物线方程，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把B（x0，﹣3）代入抛物线方程求得x0进而得到答案．
【详解】如图建立直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝my，
将A（2，﹣2）代入x2＝my，
得m＝﹣2
∴x2＝﹣2y，B（x0，﹣3）代入方程得x0，
故水面宽为2m．
故选：B．

27．3.84.##
【分析】建立直角坐标系.利用待定系数法求出抛物线的标准方程，求出点的坐标，即可求出支柱的长度.
【详解】建立如图所示的直角坐标系,使抛物线的焦点在y轴上.可设抛物线的标准方程为：.

因为桥的跨度米，拱高米，所以,
代入标准方程得：，解得：，所以抛物线的标准方程为
把点的横坐标-2代入,得，解得：，
支柱的长度为(米).即支柱的长度为3.84(米).
故答案为：3.84.
28．
【分析】以桥的顶点为坐标原点，水平方向所在直线为x轴建立直角坐标系，则根据点在抛物线上，可得抛物线的方程，设水面与桥的交点坐标为，求出，进而可得水面的宽度.
【详解】以桥的顶点为坐标原点，水平方向所在直线为x轴建立直角坐标系，

则抛物线的方程为，因为点在抛物线上，
所以，即
故抛物线的方程为，
设河水上涨1米后，水面与桥的交点坐标为，则，得，
所以此时桥洞中水面的宽度为米．
故答案为：．
29．
【分析】联立直线与抛物线方程，消去得到关于的方程，利用韦达定理得到的值，然后表示两平行光线距离，并求出其最小值为，而由题意可知最小值为，从而得到，抛物线方程得解.
【详解】设，设两平行光距离为，
由题意可知，，
因为，而直线过点，则设直线方程为：，
因为，消去得，
由韦达定理可得，
则，
所以，
故抛物线方程为.
【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求解，涉及到韦达定理的应用，属于难题.对于涉及到直线与曲线相关的距离问题，常常运用到韦达定理以及弦长公式进行求解.
30．
【分析】先建立坐标系，根据题意求出抛物线的方程，再利用水升高1米后，则，解出的值，进而求出水面宽度.
【详解】
根据题意，建立如图所示的坐标系，可设抛物线的标准方程为，
因为顶点距水面2米时，水面宽8米，所以，
代入方程得，所以，
当水面上升1米后，即，
代入方程得
所以水面的宽是米
故答案为:
31．
【分析】待定系数法设抛物线方程后求解
【详解】设抛物线方程为，若其过点，则，
当时，解得，故此时水面宽为．
故答案为：
32．
【解析】在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上，根据题意求得抛物线的标准方程，可求得该抛物线的焦点坐标，进而可得出结果.
【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上，

设抛物线的标准方程为，由已知条件可得，点在抛物线上，
所以，，解得，
所以，所求抛物线的标准方程为，焦点坐标为，
因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为.
故答案为：.
【点睛】本题考查抛物线方程的实际应用，考查计算能力，属于基础题.
33．5
【分析】将斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动，然后结合各自的规律解答即可.
【详解】设铅球运动时间为，t时刻的水平方向位移为x，则．

由知
故当时，，

解得：，

如图建立平面直角坐标系，，设抛物线方程为
则抛物线的焦点到准线的距离
故答案为：5
34．
【解析】写出直线的方程，代入，整理并写出韦达定理，四边形是直角梯形，利用面积公式可得，将最后用韦达定理表示出来，建立关于的方程，解方程即可.
【详解】因为抛物线的焦点为，所以直线的方程为，
代入，整理得.

设，，则由方程的根与系数的关系，得，.
又，且四边形是直角梯形，其面积为，
所以，
即，
所以，解得，
又，所以，故抛物线的方程为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
35．（1）；（2）①证明见解析；②存在，.
【分析】（1）可设，可由与关于圆心对称，求得圆心，再由半径处处相等建立等式，化简即可求解；
（2）设直线，，联立方程得关于的表达式，结合韦达定理和向量的表示方法，即可求证；
（3）可假设存在点，设的中点为，由直线和垂直关系求出点，由韦达定理和弦长公式求得弦，结合即可求解具体的的值，进而求解点；
【详解】（1）设，因为点在圆上，且点关于圆心的对称点为，
则，而，则，化简得：，所以曲线的方程为.

（2）①设直线，,
由，得，
则.
，
，
则不可能是钝角.
②假设存在这样的点，设的中点为，由①知;
，则，则，
则，而，由得，，所以存在点.
【点睛】本题主要考查抛物线轨迹方程的求法，韦达定理，向量法在解析几何中的具体应用，由特殊三角形的关系求解参数值，运算推理能力，综合性强，属于难题
36．不能通过该隧道.
【解析】建立直角坐标系,设抛物线方程，并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标，求出抛物线方程，然后比较当车辆从正中通过时，抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行比较即可判断.
【详解】取抛物线顶点为原点，水平向右为轴正方向建立直角坐标系，

设抛物线方程为，
当时，，即取抛物线与矩形的结合点，
代入，得，则，
故抛物线方程为．
已知集装箱的宽为3m，取，
则．
而隧道高为5m，．
所以卡车不可以通过此隧道．
37．(1)
(2)

【分析】（1）以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设出抛物线的方程，利用得出，进而得出抛物线的焦点到准线的距离；
（2）由相似比得出，再由得出圆锥的母线与轴的夹角的大小.
(1)
在图2中，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系
设抛物线的方程为，由题意可得
，解得
即抛物线的焦点到准线的距离为

(2)
在图3中，
，
又，
圆锥的母线与轴的夹角为
38．(1)；
(2)米.

【分析】（1）设出抛物线方程，根据点在抛物线上，代入即可求出抛物线方程；
（2）设车辆高为h米，根据点在抛物线上，求出的值，从而可求出限制高度.
(1)
根据题意，设该抛物线的方程为，
由图可知点在抛物线上，所以，即，
所以该抛物线的方程为.
(2)
设车辆高为h米，则，故，
代入方程，解得，
所以车辆通过隧道的限制高度为米.

39．能通过
【分析】先设抛物线解析式为,把代入即可求得,进而可求当时,的值,再把与10进行比较.
【详解】建立如图所示的坐标系，

设，抛物线方程为.
把点坐标代入抛物线方程得，
∴抛物线方程为.
当时,，
所以能通过.