微专题 求抛物线的标准方程 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

微专题：求抛物线的标准方程

【考点梳理】

1. 抛物线的定义

我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.

2. 双曲线的标准方程和简单几何性质

 3、求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.

【题型归纳】

题型一：根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 

1．焦点在直线上的抛物线的标准方程为（       ）

A．或 B．或

C．或 D．或

2．已知抛物线的准线与轴交于点，点到直线的距离为，则的值为（       ）

A． B． C．2 D．6

3．抛物线的准线方程是，则实数a的值（       ）

A． B． C．8 D．-8

题型二：根据定义求抛物线的标准方程

4．已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（       ）

A． B． C． D．

5．已知O是坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上一点，且，则的面积为（       ）

A．8 B．6 C．4 D．2

6．若抛物线）上的点到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，则p等于（       ）

A．2 B．3 C．4 D．6

题型三：根据抛物线上的点求标准方程

7．过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（       ）

A． B． C． D．

8．已知抛物线:（其中为常数）过点（1，3），则抛物线的焦点到准线的距离等于（       ）

A． B． C． D．3

9．抛物线经过点（1，2），则此抛物线焦点到准线的距离为（       ）

A．4 B．2 C．1 D．

【巩固训练】

10．已知抛物线，过抛物线的焦点作轴的垂线，与抛物线交于、两点，点的坐标为，且为直角三角形，则以直线为准线的抛物线的标准方程为（       ）

A． B． C． D．

11．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，为坐标原点，若双曲线的离心率为2，三角形的面积为，则（       ）

A．1 B． C．2 D．3

12．若抛物线过点，则该抛物线的焦点坐标为（       ）

A． B． C． D．

13．在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（       ）

A． B．

C． D．

14．抛物线上一点到其焦点的距离为3，则抛物线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

15．已知抛物线经过点为抛物线的焦点，且，则的值为（       ）

A． B． C． D．

16．已知抛物线， 为坐标原点，以为圆心的圆交抛物线于、两点，交准线于、两点，若，，则抛物线方程为（       ）

A． B．

C． D．

17．已知点在抛物线上，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点，，若直线的斜率为，则抛物线的方程为（       ）

A． B． C． D．

18．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（       ）

A．2 B．3 C．6 D．9

19．在抛物线上，若横坐标为的点到焦点的距离为，则（       ）

A． B．

C． D．

20．抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射加热的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.如图所示的太阳灶中，焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为，若灶口直径是灶深的4倍，则（       ）

A． B． C． D．

21．如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（        ）

A．10cm B．7.2cm

C．3.6cm D．2.4cm

22．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若，且，则抛物线的方程为（       ）

A． B． C． D．

23．以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点，已知，，则（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

24．抛物线上的一点到其焦点的距离等于（       ）

A． B． C． D．

25．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若且，则抛物线的方程为（       ）

A．

B．

C．

D．

26．已知圆与抛物线相交于M，N两点，且，则（       ）

A．1 B． C．2 D．3

参考答案

1．B

【分析】分别求得直线与x轴，y轴的交点得到抛物线的焦点即可.

【详解】解：直线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-3），

当以（4，0）为焦点时，抛物线的标准方程为，

当由（0，-3）为焦点时，抛物线的标准方程为，

故选：B

2．D

【分析】易得坐标为，再根据点到线的距离求解的值即可

【详解】由已知抛物线的准线与轴的交点坐标为，其到直线的距离，解得（舍去）.

故选：D.

3．A

【分析】根据准线方程列出方程，求出实数a的值.

【详解】由题意得：，解得：.

故选：A

4．C

【分析】根据抛物线的定义即可求解.

【详解】由抛物线的定义可知，，所以．

故选：C.

5．C

【分析】根据条件求出的值，然后可算出答案.

【详解】由题可知，解得，所以的面积为，

故选：C

6．C

【分析】由抛物线的定义得出，将点坐标代入方程可得．

【详解】由题意，，，则，解得，

故选：C

7．C

【分析】设抛物线方程为，代入点的坐标，即可求出的值，即可得解；

【详解】解：依题意设抛物线方程为，因为抛物线过点，

所以，解得，所以抛物线方程为；

故选：C

8．B

【分析】由点在抛物线上可得抛物线的方程为，结合抛物线的性质可得抛物线的准线方程与焦点坐标，即可得解.

【详解】由抛物线y＝px2(其中p为常数)过点A(1,3)，可得p＝3，则抛物线的标准方程为x2＝y，

则抛物线的焦点到准线的距离等于.

故选：B

9．D

【分析】先求出，再根据抛物线标准方程的特征可求解.

【详解】因为抛物线经过点（1，2），

所以，所以，

所以抛物线的焦点到准线的距离等于.

故选：D

10．B

【分析】设点位于第一象限，求得直线的方程，可得出点的坐标，由抛物线的对称性可得出，进而可得出直线的斜率为，利用斜率公式求得的值，由此可得出以直线为准线的抛物线的标准方程.

【详解】设点位于第一象限，直线的方程为，联立，可得，

所以，点.

为等腰直角三角形，由抛物线的对称性可得出，则直线的斜率为，即，解得.

因此，以直线为准线的抛物线的标准方程为.

故选：B.

【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，考查计算能力，属于中等题.

11．C

【分析】根据双曲线及抛物线的基本性质，求得的坐标，表示出三角形的面积，从而求得参数.

【详解】由双曲线的离心率为2知，，渐近线方程为，

又抛物线的准线方程为，

则设渐近线与准线的交点为，，

三角形的面积为，（）

解得，

故选：C

12．A

【分析】把点代入抛物线方程可得，进而求出抛物线的标准方程，结合抛物线的性质，进而得到焦点坐标．

【详解】抛物线经过点，

，

抛物线标准方程为，

抛物线焦点坐标为．

故选：．

13．D

【分析】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.

【详解】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，

由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，

所以，轨迹方程为，

故选：D

14．B

【分析】根据给定条件确定p>0，写出抛物线准线方程，利用定义求出p即得.

【详解】因抛物线上一点到其焦点的距离为3，则p>0，抛物线准线方程为，

由抛物线定义得：，解得，

所以抛物线的方程为：.

故选：B

15．B

【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义求出，即可求出抛物线方程，再代入计算可得；

【详解】解：抛物线的准线为，点且，所以，解得，所以抛物线方程为，所以，解得

故选：B

16．C

【分析】设圆的半径为，根据已知条件可得出关于的方程，求出正数的值，即可得出抛物线的方程.

【详解】设圆的半径为，抛物线的准线方程为，由勾股定理可得，

因为，将代入抛物线方程得，可得，

不妨设点，则，所以，，解得，

因此，抛物线的方程为.

故选：C.

17．A

【分析】由已知得，设，，，求得，，进而得到，从而求得，利用，求点坐标，代入抛物线方程即可求解.

【详解】由题意可知过所作圆的两条切线关于直线对称，所以，

设，，，则，

同理可得，，

则，得，得，

所以，故，

将代入抛物线方程，得，得，故抛物线方程为．

故选：A

【点睛】结论点睛：本题考查圆的切线的对称性，及抛物线的性质，有关抛物线的重要结论：过抛物线上任意一点（不与原点重合）作两条倾斜角互补的直线，分别交抛物线于点，，连接，则．

18．C

【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.

【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.

故选：C.

【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.

19．D

【分析】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离.

【详解】由题知，抛物线的准线方程为，

若横坐标为的点到焦点的距离为，则由抛物线的定义知，，

解得.

故选：D.

20．A

【分析】根据题意可设抛物线为，由焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为，可得抛物线方程. 设，再根据灶口直径是灶深的4倍，可列出关于的等式，即可求出，进而求出.

【详解】设抛物线为，由焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为知，，即抛物线方程为.设，则点.由于灶口直径是灶深的4倍，故.故.

故选：A.

21．C

【分析】先建立直角坐标系，设出抛物线的方程，根据题设条件得点代入抛物线方程求得，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离.

【详解】解：取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴，以反射镜的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图所示：

因为灯口直径为，灯深，所以点在抛物线上.

由题意设抛物线的方程为，

由于点在抛物线上，得.

∴

∴焦点坐标为

∴灯泡与反射镜顶点的距离为3.6cm

故选：C

22．B

【分析】分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设，推出；根据，进而推导出，结合抛物线定义求出；最后由相似比推导出，即可求出抛物线的方程.

【详解】如图分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设与交于点.

设，, ，由抛物线定义得：，故

在直角三角形中，， ，，， ，，

∥，， ，，所以抛物线的方程为.

故选：B

23．B

【分析】设圆的半径为，由及抛物线的对称性知、坐标，由可得，进而可求.

【详解】由题意，若圆的半径为，则、坐标为，且，

∴，解得.

故选：B

24．C

【分析】由点的坐标求得参数，再由焦半径公式得结论．

【详解】由题意，解得，

所以，

故选：C．

25．D

【分析】如图根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得.

【详解】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，

设，则由已知得：，由定义得：，故

在直角三角形中，，

，，从而得

，，求得，所以抛物线的方程为．

故选：D

26．B

【分析】由，可求出的纵坐标，代入圆的方程可求出，代入抛物线方程即可求出.

【详解】由已知及对称性可得，代入抛物线方程解得.

故选：B