微专题 抛物线的对称性 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 抛物线的对称性 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共30页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。
微专题：抛物线的对称性
【考点梳理】
1、考查抛物线的方程和几何性质，涉及圆的方程和性质，关键是利用抛物线和圆的对称性
2、圆与圆锥曲线相交问题，合理利用好它们的对称性是解决问题的关键.


【题型归纳】
题型一：抛物线的对称性的应用
1．已知抛物线与圆交于A，B两点，则（       ）
A．2 B． C．4 D．
2．已知抛物线C：，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（        ）
A．4037 B．4044 C．2019 D．2022
3．已知点P为抛物线上一动点，，，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．

题型二：根据抛物线的对称性求相关的参数
4．已知圆与抛物线相交于M，N，且，则（       ）
A． B．2 C． D．4
5．已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于（       ）
A． B． C． D．
6．抛物线与椭圆交于A，B两点，若的面积为(其中O为坐标原点)，则（       ）
A．2 B．3 C．4 D．6




【双基达标】
7．已知曲线的抛物线及抛物线组成，，，是曲线上关于轴对称的两点（四点不共线，且点在第一象限），则四边形周长的最小值为（       ）
A． B． C． D．
8．已知拋物线的焦点为椭圆的右焦点，且与的公共弦经过，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
9．已知椭圆的焦距为，左焦点为，右顶点为，若抛物线与椭圆交于，两点，且四边形是菱形，则椭圆的离心率是（       ）
A． B． C． D．
10．垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程（       ）
A． B． C． D．
11．是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（   ）
A． B． C． D．
12．已知正三角形的顶点在抛物线上，另一个顶点，则这样的正三角形有（            ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．已知双曲线（）的焦距为4，其与抛物线交于两点，为坐标原点，若为正三角形，则的离心率为（       ）
A． B．
C． D．
14．已知圆：()，若抛物线：与圆的交点为，，且，则（       ）
A．6 B．4 C．3 D．2
15．设为抛物线：的焦点，为抛物线上的一点，为原点，使为等腰三角形的点 的个数为
A． B． C． D．
16．已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（       ）
A．4 B．8 C．10 D．16
17．已知为抛物线的焦点，过作垂直轴的直线交抛物线于、两点，以为直径的圆交轴于、两点，且，则抛物线方程为（       ）
A． B． C． D．
18．已知抛物线与圆交于A，B两点，且，则（       ）
A． B．1 C．2 D．4
19．是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则
A． B． C． D．
20．已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法错误的是（       ）
A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个
B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个
C．使得的点M有且仅有4个
D．使得的点M有且仅有4个

【高分突破】
一、 单选题
21．正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点，则满足条件的三角形的个数为（       ）
A． B． C． D．
22．如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，则等于（     ）


A． B． C． D．
23．已知双曲线与抛物线（其中）交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（       ）
A． B．2 C． D．
24．已知是抛物线：上一点，是抛物线的焦点，若，是抛物线的准线与轴的交点，则
A． B．
C． D．
25．已知椭圆C：与抛物线E：有公共焦点F，椭圆C与抛物线E交于A，B两点，且A，B，F三点共线，则椭圆C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
26．抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点，过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（       ）
A．
B．
C．直线AQ与BQ的斜率之和为0
D．准线l上存在点M，若为等边三角形，可得直线AB的斜率为
27．若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是（       ）
A． B． C． D．

二、多选题
28．设抛物线的准线与对称轴交于点，过点作抛物线的两条切线﹐切点分别为和，则（　　）
A．点坐标为 B．直线的方程为
C． D．
29．在平面直角坐标系xoy中，凸四边形ABCD的4个顶点均在抛物线E：y2=2x上，则（       ）
A．四边形ABCD不可能为平行四边形
B．存在四边形ABCD，满足∠A=∠C
C．若AB过抛物线E的焦点F，则直线OA，OB斜率之积恒为─2
D．若为正三角形，则该三角形的面积为
30．已知为坐标原点，过点作两条直线分别与抛物线：相切于点、，的中点为，则下列结论正确的是（       ）
A．直线过定点；
B．的斜率不存在；
C．轴上存在一点，使得直线与直线关于轴对称；
D．、两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值.
31．（多选）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线．则（       ）
A．曲线的方程为
B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时，
D．当点在曲线上时，点到直线的距离

三、填空题
32．一个顶点在原点，另外两点在抛物线上的正三角形的面积为________．
33．已知圆与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O是的中点，则p的值等于_________________.
34．过点作直线交轴于点，过点作交轴于点，延长至点，使得，则点的轨迹方程为_______________．
35．已知抛物线的焦点为，过作一条直线与抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为，若，则线段的中点到轴的距离为________.
36．设，是抛物线：上任意两点，点的坐标为，若的最小值为0，则实数的值为______.
37．已知抛物线的方程为， 为坐标原点， ， 为抛物线上的点，若为等边三角形，且面积为，则的值为__________．
38．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线（），正三角形的边长为，则__________．
39．曲线是平面内到定点和定直线：的距离之和等于5的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线关于轴对称；
②若点在曲线上，则满足；
③若点在曲线上，则.
其中，正确结论的序号是________.

四、解答题
40．如图，点在轴正半轴上，抛物线上有三个不同的点，，，使得四边形是菱形，点在第四象限.

（1）若点与坐标原点重合，求菱形的面积；
（2）求的最小值.
41．已知圆O1与圆O：x2+y2＝r（r＞0）交于点P（﹣1，y0）.且关于直线x+y＝1对称.
（1）求圆O及圆O1的方程：
（2）在第一象限内.圆O上是否存在点A，过点A作直线l与抛物线y2＝4x交于点B，与x轴交于点D，且以点D为圆心的圆过点O，A，B？若存在.求出点A的坐标；若不存在.说明理由.
42．已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．
43．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上，抛物线焦点到准线的距离为.
（1）求椭圆、抛物线的方程；
（2）过椭圆右顶点Q的直线与抛物线交于点A、B，射线、分别交椭圆于点、.
（i）证明：为定值；
（ii）求的面积的最小值.
44．已知圆M：x2+(y-)2=4与抛物线E：x2=my(m>0)相交于点A，B，C，D，且在四边形ABCD中，AB//CD．

（1）若，求实数m的值；
（2）设AC与BD相交于点G，△GAD与△GBC组成蝶形的面积为S，求点G的坐标及S的最大值．

参考答案
1．C
【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.
【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得，
则，将代入可得，则.
故选：C.
2．A
【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，先求出过焦点的最短弦长，再结合抛物线的对称性，即可求解．
【详解】∵抛物线C：，即 ，
由抛物线的性质可得，过抛物线焦点中，长度最短的为垂直于y轴的那条弦，
则过抛物线C的焦点，长度最短的弦的长为，
由抛物线的对称性可得，弦长在5到2022之间的有共有条，
故弦长为整数且不超过2022的直线的条数是 ．
故选：A．
3．B
【分析】先讨论和两种情况，解出；进而讨论且时，利用直线的到角公式结合基本不等式即可求得.
【详解】根据抛物线的对称性，不妨设，
若，则，，，所以；
若，则，，，所以；
若且，此时且，
，所以，
因为,所以，则，当且仅当时取“=”，
而，所以.
综上：的最大值为.
故选：B.
【点睛】本题核心的地方在“”这一步，首先分式“”的处理，上下同除以y（一次）；其次在用基本不等式时，“”这一步的拆分，三个式子一定要相同（），否则不能取得“=”.
4．B
【分析】由圆与抛物线的对称性及，可得点纵坐标，代入抛物线得横坐标，求出即可得解.
【详解】因为圆与抛物线相交于M，N，且，
由对称性，不妨设，
代入抛物线方程，则，解得，
所以，
故
故选：B
5．D
【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦为抛物线的通径，进而有，解方程即可得答案.
【详解】解：因为四边形是矩形，
所以由抛物线与圆的对称性知：弦为抛物线的通径，
因为圆的半径为，抛物线的通径为，
所以有：，解得
故选：D
6．B
【分析】由抛物线与椭圆交点的对称性，设，结合已知有，，即可求，进而求p值.
【详解】由抛物线与椭圆的对称性知：关于y轴对称，可设，
∵的面积为，
∴，而，
∴由上整理得：，解得，则.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：根据抛物线、椭圆的对称性设交点坐标，结合三角形的面积及点在椭圆上列方程求参数值.
7．B
【分析】根据，，是曲线上关于轴对称的两点，结合抛物线的对称性建立四边形周长模型，再由抛物线的定义得到，然后由直线段最短求解.
【详解】设抛物线的焦点为，
则四边形的周长:，
当共线时取等号，
故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质以及四边形周长最值问题，属于中档题.
8．A
【分析】根据给定条件求出椭圆两焦点坐标，再求出与的公共点的坐标，借助椭圆定义计算椭圆长轴长即可作答.
【详解】依题意，椭圆的右焦点，则其左焦点，
设过的与的公共弦在第一象限的端点为点P，由抛物线与椭圆对称性知，轴，如图，


直线PF方程为：，由得点，于是得，
在中，，，则，因此，椭圆的长轴长，
所以椭圆的离心率.
故选：A
9．D
【分析】由椭圆方程求出作和的坐标，由对称性设出的坐标，根据菱形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出的纵坐标，将点的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率的方程，即可得到该椭圆的离心率.
【详解】解：由题意得，椭圆，为半焦距），
的左焦点为，右顶点为，则，
抛物线与椭圆交于两点，
两点关于轴对称，可设，
四边形是菱形，
，则，
将代入抛物线方程得，，
，则不妨设，
再代入椭圆方程，化简得，
由，即有，
解得或（舍去），
故选：D
10．A
【分析】先根据弦长结合抛物线的对称性，得出点的坐标，代入抛物线方程即可得到答案.
【详解】由垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且
根据抛物线关于轴对称，则，
将点坐标代入抛物线方程可得：，解得
故选：A
11．C
【解析】由题可设，，利用的面积算出，再结合图形求出.
【详解】如图，

∵，知两点关于轴对称，
设，
∴，解得，
∴，∴，
∴，∴.
故选：C
12．D
【分析】通过两个顶点的位置关系进行分类，当两个顶点在轴两侧时，等边三角形关于轴对称，通过计算得到两种情况；当两个顶点在轴同侧时，通过计算抛物线上的点与的最小值可知顶点在的两边，再计算，发现也是成立的，即可得到答案
【详解】由题意得，
①当等边三角形关于轴对称时，两个边的斜率，
其方程为，
每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形，
这样的正三角形有2个，如图和

②假设两个顶点同时在抛物线上方时，
假设抛物线上的点为
所以
所以当时，，此时
所以顶点在的两边，不妨设在的左侧，
因为，，所以，
所以，即，
所以能找到两个顶点同时在抛物线上方，同理可证能找到两个顶点同时在抛物线下方，
综上所述，共有4个正三角形，
故选：D．
13．C
【解析】设的边长为，得到，再利用在抛物线上解得，然后把代入双曲线方程，结合其焦距为4求解.
【详解】设的边长为，由抛物线和双曲线均关于轴对称，
设，
因为点A抛物线上，
所以，
解得，
所以，
又点A在双曲线上，
所以，又，即，
解得，
所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率、抛物线和双曲线的对称性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
14．D
【分析】设，则，由圆与抛物线的对称性可知，计算，AD，由正弦余弦值联立方程即可求解.
【详解】设，则，如图，

由圆：()，得圆心，半径，
所以，
因为，
所以，
所以，
即，解得，，
故选：D
【点睛】关键点点睛：设，则，利用，用点的坐标表示，AD，建立关于，的方程组是解题的关键，属于中档题.
15．C
【详解】当MO=MF时，由两个点M；当OM=OF时，有两个点M，
所以点M的个数为4个．故选C．
点睛：本题考查抛物线的性质．本题中，为等腰三角形，有两种情况，分别是MO=MF和OM=OF，结合抛物线的对称性，所以有4个点M满足要求．
16．B
【分析】由圆和抛物线的对称性及|AB|的长，可以得到点A,B的纵坐标，代入抛物线方程得到其横坐标关于p的函数表达式，再代入圆的方程求得p的值.
【详解】以为圆心，半径为5的圆的方程为,
由抛物线，得到抛物线关于x轴对称，
又∵上面的圆的圆心在x轴上，∴圆的图形也关于x轴对称，
∴它们的交点A,B关于x轴对称，
因为|AB|=8，∴A,B点的纵坐标的绝对值都是4，
∵它们在抛物线上，于是A点的横坐标的值,
不妨设A在x轴上方，则A点的坐标为,
又∵A在圆上，∴,解得,
故选：B.
【点睛】本题考查抛物线的方程和几何性质，涉及圆的方程和性质，关键是利用抛物线和圆的对称性，结合弦长求得A,B的纵坐标，进而得到其横坐标，代入圆的方程求得p的值.
17．B
【分析】由题意可知圆是以焦点为圆心，为半径的圆，那么中，利用勾股定理求解.
【详解】由题意可知通径，所以圆的半径是，
在中，，，解得：，
所以抛物线方程：

故选：B
【点睛】本题考查抛物线的几何性质，重点考查数形结合分析问题的能力，本题的关键是根据抛物线和圆的几何性质抽象出数学等式，属于基础题型.
18．C
【分析】两个曲线都关于轴对称，可知A，B两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而可设出两点坐标，分别代入抛物线和圆的方程，从而可求出答案.
【详解】由题意，抛物线与圆交于A，B两点，且，
因为两个曲线都关于轴对称，所以A，B两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
故可设，，代入圆的方程得，解得，
故，，代入抛物线方程可得，即.
故选：C.
【点睛】本题考查抛物线和圆的方程的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
19．D
【详解】由题意，设的横坐标为，则由抛物线的定义，可得．则．所以．所以．故本题答案选．
20．C
【分析】为等腰三角形，考虑两边相等，结合图形，可得有4个点；为直角三角形，考虑直角顶点，结合图形，可得有4个点；考虑直线，与抛物线的方程联立，解方程可得交点个数；由对称性可得有2个；考虑直线，代入抛物线的方程，解方程可得交点个数，由对称性可得点有4个．
【详解】由为等腰三角形，若，则有两个点；
若，则不存在，若，则有两个点，
则使得为等腰三角形的点有且仅有4个；
由中为直角的点有两个；
为直角的点不存在；为直角的点有两个，
则使得为直角三角形的点有且仅有4个；
若的在第一象限，可得直线，
代入抛物线的方程可得，解得，
由对称性可得在第四象限只有一个，
则满足的有且只有2个；
使得的点在第一象限，可得直线，
代入抛物线的方程，可得，，
可得点有2个；
若在第四象限，由对称性可得也有2个，
则使得的点有且只有4个．
故选：C
21．C
【分析】利用题中几何条件，得到等边三角形关于轴对称的两条边的直线方程，再得到每条直线与抛物线均有两个交点，构成两个等边三角形，即可得到结果.
【详解】解：抛物线的焦点为，等边三角形的一个顶点是抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于轴对称的两条边所在直线的斜率，其方程为，则每条直线与抛物线均有两个交点，构成两个等边三角形，所以满足条件的三角形的个数为.
故选：C.
22．B
【分析】分别求出点、、的坐标，求出点关于直线的对称点的坐标，根据题意可知、、三点共线，求出直线的方程，即可求得的值.
【详解】由题意可知，抛物线的对称轴为轴，焦点为，所以，直线的方程为，
在抛物线方程中，令可得，即点，则轴，


所以，点、关于轴对称，即点，
在直线的方程中，令得，可得，
设点关于直线的对称点为，则，可得，即点，
由题意可知，、、三点共线，则直线的方程为，故.
故选：B.
23．D
【分析】由，求得，代入抛物线方程求得，然后把点的坐标代入双曲线方程，即可解得离心率.
【详解】根据对称性，设A在第一象限，B在第四象限，由，知，
代入到抛物线方程中，即，解得，
则将代入双曲线方程得，化简得，
解得离心率为或（舍）
故选：D
24．B
【详解】 由题意得，在抛物线上一点，使得，则点的坐标为，
又抛物线的准线方程为，所以准线与轴的交点，
则，所以在直角中，，所以，故选B．

25．A
【解析】根据抛物线和椭圆的对称性可知，，点，然后由，求解.
【详解】O为坐标原点，由题意知，点，
又因为A为抛物线和椭圆的交点，所以，
设，则，
所以，
得，
所以，
即，
解得.
所以椭圆C的离心率为，
故选：A.
【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的几何性质，利用对称性明确是解题的关键，属于基础题.
26．C
【分析】根据抛物线的性质，以及直线和抛物线的位置关系，结合韦达定理，利用斜率关系以及弦长和距离公式，逐项分析判断即可得解.
【详解】对于A，由，可得，故A选项不正确；
对于B，设A，B两点的坐标分别为，，
根据题意得，焦点，则设直线AB的方程为，
联立方程，消去x后整理为，则，，
，，
，故B选项不正确；
对于C，，
故C选项正确；
对于D，如图，设AB的中点为N，连MN，过N作NH⊥直线l，H为垂足，
根据B项可得N点坐标为，
则，
由为等边三角形可得，
则，
则，
由对称性及MN⊥AB可知直线AB的斜率为，
故D选项不正确．
故选：C.

27．B
【分析】利用抛物线关于x轴对称求解即可
【详解】由抛物线关于x轴对称易知，点一定在该抛物线上.
故选：B
【点睛】本题考查抛物线的对称性，是基础题
28．ABC
【分析】将抛物线方程转化为标准方程，求得准线方程，即可判断A正确；由A设切线方程为，联立直线与抛物线方程，由求出斜率，得出切点坐标，进而可判断B正确，D错误；再求得与的坐标，判断是否为零，即可判断C正确.
【详解】由题意，易知；
由得，，则焦点，其准线方程为，，故A正确；
设切线方程为，由得，
令，解得；
解方程可得，则，即两切点坐标为，，所以直线的方程为，，故B正确，D错；
不妨令，， 则，，，从而，即，C正确；
故选：ABC．
【点睛】思路点睛：
求解抛物线的简单性质以及直线与抛物线的位置关系等相关问题时，一般需要结合抛物线的性质进行求解，通常会用到联立直线与抛物线方程，结合判别式、韦达定理等进行求解.
29．ABD
【分析】根据平行四边形的性质可判断A；利用对应边成比例，三角形相似可判断B；由两点求斜率可判断C；利用三角形的面积公式可判断D.
【详解】A，构成平行四边形的条件是对边平行且相等，而水平直线与y2=2x至多只有一个交点，
因此，四边形ABCD不可能为平行四边形，故A正确；
B，如图所示，连接，

则当，，
则，则∠A=∠C，故B正确；
C，设，，，

，解得，所以，故C错误；
D，设若为正三角形，如图：

由抛物线的对称性可知，，
则直线：，
则 ，解得，，
，
，故D正确.
故选：ABD
30．BCD
【解析】利用导数的几何意义得到直线的方程，从而得到定点坐标，得A错误；将直线的方程与抛物线方程联立，并利用根与系数的关系得到点横坐标，从而得到轴，得B正确；设，直线、的斜率分别为、，并利用斜率公式及根与系数的关系得到当时，，得C正确；根据抛物线的几何性质得到两点到准线的距离的倒数之和，并借助根与系数的关系化简，得D正确.
【详解】设、，∵，∴，
∴过点的切线方程为，即，∴，
同理过点的切线方程为，
将分别代入上式，得，，
∴直线的方程为，∴直线过定点，A选项错误，
联立方程得：，，则，，
∴点的横坐标为，∴轴，B选项正确，
设，由题意得、，设直线、的斜率分别为、，
则，
当时，，即直线与直线关于轴对称，C选项正确，
∵点到准线的距离为，点到准线的距离为，
∴，D选项正确，
故选：BCD.
【点睛】本题考查导数的几何意义、抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系，以直线与抛物线相切为出发点，利用根与系数的关系考查定值问题.
31．AB
【分析】由抛物线定义，可知曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，依次判断，即得解
【详解】由抛物线定义，知曲线是以为焦点，
直线为准线的抛物线，其方程为，故A正确；
若点在曲线上，则点也在曲线上，故曲线关于轴对称，故B正确；
由知，故C错误；
点到直线的距离，所以D错误
故选：AB
32．
【分析】根据对称性可得关于轴对称，得出直线的方程，联立方程组，求得的坐标，进而得到，再利用三角形的面积公式，即可求解．
【详解】如图所示，根据对称性可得关于轴对称，故.
直线的方程为，
代入，得，解得或.
即得的坐标为，则，
所以正三角形的面积为.

【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及性质，以及三角形面积的计算，其中解答中根据抛物线的对称性，得到两点关于轴对称，联立方程组求得其坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
33．
【分析】抛物线的准线方程为，所以由对称性得点，代入圆的方程即可得p的值.
【详解】因为抛物线的准线方程为，所以由对称性得点，
代入圆的方程得，解得.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，属于基础题.
34．
【详解】分析：由题意可得点M为线段PN的中点，且FM是线段PN的垂直平分线，设点，点，由，可得点，设点，再由线段的中点坐标公式可得P的轨迹方程.
详解：由题意可得，定点，点M为线段PN的中点，且FM是线段PN的垂直平分线，
设点，点，由，求得，
，
设点，再由线段的中点坐标公式可得：
，消去参数，可得.
故答案为：.
点睛：本题主要考查求点的轨迹方程的求法，把参数方程化为直角坐标方程.
35．1
【分析】根据给定条件求出直线AB的斜率，再联立直线AB与抛物线E的方程，求出线段BC中点纵坐标作答.
【详解】抛物线的焦点，准线，由抛物线对称性不妨令点C在第一象限，如图，

过B作直线BP垂直于抛物线E的准线，垂足为P，则有，因，即，
则，，直线AB的斜率，
直线AB方程为：，由消去x并整理得：，
设，线段BC中点，则有，
所以线段的中点到轴的距离为1.
故答案为：1
36．1
【解析】和的夹角最大为，从点向抛物线引两条切线，切点分别为，，此时和的夹角最大，从而可得到直线的方程，与抛物线方程联立，则，可求出的值.
【详解】由题意，和的夹角最大为，从点向抛物线引两条切线，切点分别为，，此时和的夹角最大，且直线的斜率，方程为，
联立，消去可得，则，解得.
故答案为：1.
【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查平面向量数量积的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
37．2
【详解】设，，
∵，
∴．
又，，
∴，即．
又、与同号，
∴．
∴，即．
根据抛物线对称性可知点，关于轴对称，
由为等边三角形，不妨设直线的方程为，
由，解得，
∴．
∵的面积为，
∴，
解得，∴．
答案：2
点睛：本题考查抛物线性质的运用，解题的关键是根据条件先判断得到点A,B关于x轴对称，然后在此基础上得到直线直线（或）的方程，通过解方程组得到点（或A）的坐标，求得等边三角形的边长后，根据面积可得．
38．2
【详解】根据抛物线的对称性可知，正三角形的另两个顶点关于轴对称，设，则由正三角形边长为可有，解得.
39．②③
【解析】先求出曲线的轨迹方程，进而画出图形，对三个结论逐个分析，可得出答案.
【详解】设动点是曲线上任意一点，则，即，
当时，，整理得，
当时，，整理得，
作出曲线的图形，如下图，显然①不正确，曲线不关于轴对称；
当时，可得，所以当点在曲线上时，满足成立，即②正确；
令，可得，所以当点在曲线上时，满足，且，又，所以，，即③正确.
故答案为：②③.

【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查数形结合思想的应用，考查学生的计算求解能力，属于难题.
40．(1)；(2).
【分析】(1)设出点A的坐标，由抛物线对称性及菱形可得C，D坐标，再由|AB|=|BC|求解即得；
(2)设出点B，D的坐标，由此表示出A，C的坐标，借助AC⊥BD探求关系，构造函数求解即得.
【详解】(1)设点A(0，2a)，因四边形是菱形且点与坐标原点，则CD⊥x轴且|CD|=2a，
由抛物线对称性知C(a2，-a)，D(a2，a)，由|AB|=|BC|得，解得，
所以菱形的边|AB|=，高h=a2=3，其面积为；
(2)设点B(s2，s)，D(t2，t)，则线段BD中点坐标为，而线段AC与BD有相同中点，点A在y轴上，
则点，，因AC⊥BD，即，
，
，而t≠s，则
令，则，而，m>0，有，
，令，
，
，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
时，取最小值.
【点睛】关键点睛：涉及平面解析几何最值问题，合理选取变量，构造函数，转化在函数最值是解题的关键.
41．（1）圆O1的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5；圆O的方程为x2+y2＝5（2）不存在，详见解析
【分析】（1）由题意可得在直线上，可得的坐标，进而得到圆的方程；设关于直线的对称点为，由两直线垂直的条件和中点坐标公式可得，，进而得到圆的方程；
（2）假设在第一象限内．圆上存在点，且以点为圆心的圆过点，，，则，为的中点，设出，的方程，分别联立圆的方程和抛物线的方程，求得，的坐标，再由中点坐标公式，解方程即可判断存在性．
【详解】（1）圆O1与圆O：x2+y2＝r（r＞0）交于点P（﹣1，y0）.且关于直线x+y＝1对称，
可得P在直线x+y＝1上，即有﹣1+y0＝1，即y0＝2，P（﹣1，2），
可得r＝1+4＝5，则圆O的方程为x2+y2＝5；
设（0，0）关于直线x+y＝1的对称点为（a，b），可得a＝b，a+b＝2，
解得a＝b＝1，可得圆O1的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5；
（2）假设在第一象限内.圆O上存在点A，且以点D为圆心的圆过点O，A，B，
则OA⊥OB，D为AB的中点，由题意可得直线OA的斜率存在且大于0，设OA的方程为y＝kx（k＞0），
OB：yx，
由解得x，即有A（，k），
由可得x＝4k2，即有B（4k2，﹣4k），
由D为AB的中点，可得k4k＝0，
化为16k2+11＝0，方程无实数解，
则符合条件的k不存在，所以满足条件的A不存在.
【点睛】本题考查圆的方程和抛物线的方程的运用，直线和圆的方程、直线和抛物线方程联立，求交点，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．
42．（1）见解析； （2）2 ＋4 .
【分析】（1）由抛物线的简单几何性质易得结果；(2) 由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝ |OM|=2. 设A(3，m)，代入y2＝8x即可得到△OAB的周长．
【详解】(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，
x＝－2，x轴，x≥0.
(2)如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，
又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝ |OM|.

因为F(2,0)，所以|OM|＝|OF|＝3.
所以M(3,0)．故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24.
所以m＝2或m＝－2.
所以A(3,2)，B(3，－2)．
所以|OA|＝|OB|＝ .
所以△OAB的周长为2＋4.
【点睛】本题考查了抛物线简单性质的应用，解题关键利用好三角形重心的性质，属于中档题.
43．（1），；（2）（i）证明见解析，（ii）.
【分析】（1）由椭圆的对称性可得所给的四个点哪几个在椭圆上，代入椭圆的方程可得的值，进而求出椭圆的方程；
（2）（i）由题意可得直线的斜率不为，设直线的方程与抛物线联立求出两根之和，及两根之积可证得 为定值；
（ii）设直线的斜率，设的直线方程与椭圆联立求出的坐标，求出，的值，由（Ⅰ）可得，求出面积的表达式，由均值不等式求出面积的最小值．
【详解】（1）关于轴对称，关于轴对称，
在上，
若在上，则，
不在上，在上，
，
又，；
（2）（i）由（1）可得右顶点，由题意可得直线的不为，设，设，
将直线与代入抛物线的方程,可得
，；
所以 ，
所以为定值；
（ii），所以设直线
将直线代入中得：
所以，即；
同理得，
所以，即；



当时，.
【点睛】本题考查求椭圆及抛物线的方程，和直线与椭圆，直线与抛物线的综合，及均值不等式的应用，属于中档题．
44．（1）m=1；（2）G(0，)；S最大值为3．
【分析】(1)联立圆M与抛物线E的方程，设出点A，D坐标，利用向量数量积求解即得；
(2)利用抛物线的对称性，设出G点坐标，利用三点共线可得G的坐标，利用割补法借助(1)中有关关系式列出函数，进而得解.
【详解】（1）依据圆与抛物线的对称性，四边形ABCD是以y轴为对称轴的等腰梯形，
不妨设，A，D在第一象限，A(x1，y1)，D(x2，y2)，则B(-x1，y1)，C(-x2，y2)，y1