2022-2023 数学北师大版新中考精讲精练 考点14三角形的基本概念与性质

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考点14三角形的基本概念与性质 【考点总结】一、三角形的概念及性质1．概念：(1)由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．(2)三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．2．性质：(1)三角形的内角和是180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．(2)三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边．【考点总结】二、三角形中的重要线段1．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心．2．三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点．3．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于一点．4．三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半．真题演练一、单选题1．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）锐角△ABC中，∠B＝45°，BC＝，则AC的长可以是（　　）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】作CD⊥AB于D，先利用等腰直角三角形的性质和三角函数求出BD=CD=1，然后利用勾股定理进行逐一判断四个选项是否满足题意即可.【详解】解：作CD⊥AB于D，如图所示：∵∠B＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD＝，∠BCD＝45°，当AC＝1时，点D与A重合，△ABC是直角三角形，选项A不符合题意；当AC＝时，，则△ACD是等腰直角三角形，∠ACD＝45°，∴∠ACB＝90°，△ABC是直角三角形，选项B不符合题意；当AC＝时，AC＜CD，∴∠ACD＞∠A，则△ABC是钝角三角形，选项C不符合题意；当AC＝时，∴∠ACD＜∠A，则△ABC是锐角三角形；选项D符合题意，故选D．2．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，已知直线AB和AB上的一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下：第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；第二步：分别以点D和点E为圆心，以为半径作弧，两弧交于点F；第三步：作直线CF，直线CF即为所求．下列关于的说法正确的是（    ）A．≥ B．≤ C． D．【答案】C【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤，结合三角形三边关系判断即可．【详解】解：由作图可知，分别以点和点为圆心，以为半径作弧，两弧交于点，此时，故选：．3．（2021·广西八步·一模）如图，等腰，，点为的中点，将的周长分成长为和的两部分，则等腰的腰长为（  ）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】由题意，得到AD=CD=，结合将的周长分成长为和的两部分，进行分类讨论，分别求出答案即可．【详解】解：∵点为的中点，，∴AD=CD=，∵将的周长分成长为和的两部分，则可分为两种情况进行讨论：①当，∴，解得：cm；②当，∴，解得：cm；故选：C．4．（2021·江苏无锡·中考真题）在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（    ）A．点P是三边垂直平分线的交点 B．点P是三条内角平分线的交点C．点P是三条高的交点 D．点P是三条中线的交点【答案】D【分析】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则=，可得P(2，)时，最小，进而即可得到答案．【详解】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图，则A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)，设P(x，y)，则===，∴当x=2，y=时，即：P(2，)时，最小，∵由待定系数法可知：AB边上中线所在直线表达式为：，AC边上中线所在直线表达式为：，又∵P(2，)满足AB边上中线所在直线表达式和AC边上中线所在直线表达式，∴点P是三条中线的交点，故选D．5．（2021·河南濮阳·八年级期中）若实数m、n满足等式，且m、n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长（　）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】B【分析】先根据绝对值的非负性、二次根式的非负性求出m、n的值，再根据三角形的三边关系、等腰三角形的定义求出第三边长，然后根据三角形的周长公式即可得．【详解】由题意得：，解得，设等腰的第三边长为a，恰好是等腰的两条边的边长，，即，又是等腰三角形，，则的周长为，故选：B．6．（2021·山东台儿庄·二模）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；
2、6、7；4、6、7； 其中能构成三角形的有2、6、7；4、6、7这两种情况，
所以能构成三角形的概率是，
故选：B．7．（2021·全国·九年级单元测试）一个三角形支架三条边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm，120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（   ）A．一种 B．两种 C．三种 D．四种【答案】B【分析】设截成的两边的长分别为xcm、ycm，然后根据相似三角形对应边成比例，分两种情况求解即可．【详解】解：设截成的两边的长分别为xcm、ycm，若从60cm长的木条上截取，∵x+y≤60<120，∴不符合题意；若从120cm长的木条上截取，①当60cm与75cm是对应边时，∵两三角形相似，∴，解得x=80，y=96，∵80+96=176cm>120cm，∴此种情况不符合题意；②当60cm与100cm是对应边时，∵两三角形相似，∴，解得x=45，y=72，∵60cm <45+72=117cm<120cm，∴从120cm长的木条截取45cm和72cm两根木条；③当60cm与120cm是对应边时，∵两三角形相似，∴，解得x=37.5，y=50，∵60cm <37.5+50=87.5cm<120cm，∴从120cm长的木条截取37.5cm和50cm两根木条；综上所述，共有两种截法：方法一：从120cm长的木条截取45cm和72cm两根木条，方法二：从120cm长的木条截取37.5cm和50cm两根木条．故选B．8．（2021·山东·济宁市兖州区教学研究室一模）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x2﹣12x+20＝0的一个实数根，则三角形的周长是（　　）A．24 B．26或16 C．26 D．16【答案】A【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可．【详解】解：∵x2﹣12x+20＝0，即（x﹣2）（x﹣10）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣10＝0，解得：x＝2或x＝10，当x＝2时，三角形的三边2+6＝8，不能构成三角新，舍去；当x＝10时，符合三角形三边之间的关系，其周长为6+8+10＝24，故选：A．9．（2021·甘肃·兰州市第八中学九年级阶段练习）已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）A．10 B．14 C．10或14 D．8或10【答案】B【详解】试题分析： ∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根， ∴22﹣4m+3m=0，m=4， ∴x2﹣8x+12=0， 解得x1=2，x2=6． ①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14；  ②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．  所以它的周长是14．  10．（2021·山东蓬莱·七年级期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（    ）A．59° B．60° C．56° D．22°【答案】A【详解】根据题意可得，在△ABC中，，则，又AD为△ABC的角平分线，又在△AEF中，BE为△ABC的高∴  二、填空题11．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②；③△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；④BE2+DC2＝DE2；⑤BE＝EF﹣DC；其中正确的选项是_____________（填序号）【答案】①③④【分析】①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可证明△AEF≌△AED；②当△ABE∽△ACD时，该比例式成立；③根据旋转的性质，△ADC≌△ABF，进而得出△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；④据①知BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定该说法是否正确．【详解】解：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF．∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠CAD+∠BAE=45°，∴∠EAF=45°，∴△AED≌△AEF；故本选项正确；②∵AB=AC，∴∠ABE=∠ACD；∴当∠BAE=∠CAD时，△ABE∽△ACD，∴；当∠BAE≠∠CAD时，△ABE与△ACD不相似，即；∴此比例式不一定成立，故本选项错误；③根据旋转的性质知△ADC≌△AFB，∴S△ABC=S△ABD+S△ABF=S四边形AFBD，即三角形ABC的面积等于四边形AFBD的面积，故本选项正确；④∵∠FBE=45°+45°=90°，∴BE2+BF2=EF2．∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF=CD．又∵EF=DE，∴BE2+DC2=DE2，故本选项正确；⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF，∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，即BE+DC＞FE，故本选项错误．综上所述：正确的说法是①③④．故答案为：①③④．12．（2021·湖南·长沙市长郡双语实验中学一模）若a，b，c是的三边的长，则化简________．【答案】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断绝对值内的代数式的符号，再根据绝对值的性质进行化简即可．【详解】∵a，b，c是的三边，∴，，，∴，，，∴．故答案为：．13．（2021·江苏姜堰·二模）如图，网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在网格的格点上，点D、E分别是、的中点，与交于O，连接，则的长度为_________．【答案】【分析】取BC的中点F，连接OF，如图，先判断O点为△ABC的重心，则A、O、F共线，AO＝2OF，然后利用勾股定理计算出AF，从而得到AO的长．【详解】解：取BC的中点F，连接OF，如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点，CD与BE交于O，∴O点为△ABC的重心，∴AF过O点，即A、O、F共线，AO＝2OF，∵AF＝ ∴OA＝AF=．故答案为：．14．（2021·黑龙江大庆·中考真题）三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为______【答案】【分析】根据三个数在数轴上的位置得到，再根据三角形的三边关系得到，求解不等式组即可．【详解】解：∵3，在数轴上从左到右依次排列，∴，解得，∵这三个数为边长能构成三角形，∴，解得，综上所述，的取值范围为，故答案为：．15．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________
 【答案】【分析】根据题意得到，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题．【详解】如图，反向延长中线至，使得，连接，是的内角平分线，可设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，BC＝5，∴5k＞5，k＜5，∴1＜k＜5，由三角形三边关系可知，∴故答案为：．
  三、解答题16．（2021·江苏·泰州中学附属初中三模）如图，已知抛物线和直线，抛物线顶点为A，与y轴交点为B，直线与抛物线对称轴交于点C．（1）抛物线顶点坐标为     （用m，n表示），（2）当抛物线的顶点落在直线上时，求n的最大值．（3）若四边形ABOC为平行四边形①求m的值．②若直线与抛物线在对称轴右侧部分的交点为D，当为直角三角形时，求n的值．③过C点作线段，设CE=a，是否存在实数a值使的重心恰好落在抛物线上，若存在直接写出a和n的关系式，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）①；②或；③存在，【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标公式求解即可；（2）将（1）的结果代入直线得到关于的函数，根据求二次函数的最值方法求解即可；（3）①根据题意若四边形ABOC为平行四边形，根据已知条件写出的坐标，由即可求得的值；②当为直角三角形时，分为,两种情况，由题意可知是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质即可求得n的值；③过C点作线段，设点在抛物线的左侧，根据抛物线的对称性可知，点在抛物线的右侧情况和左侧一致，设的中点为，的中点为，的交点即为的重心，分别求得的解析式，再求直线交点坐标，将交点的坐标代入抛物线解析式即可求得a和n的关系式．【详解】（1）抛物线，，，，，故答案为：；（2）当抛物线的顶点落在直线上时，，，当时，取得最大值，最大值为，（3）①，点在上，，与y轴交点为B，令，则，若四边形ABOC为平行四边形，则，即，解得，时，对称轴，此时重合，故舍去，，，②当为直角三角形时，分为,两种情况，设于轴交于点，，，，，当时，则轴，，，，，代入，解得，在对称轴右侧部分，，当时，如图，过点作轴，垂足为，，，，，，，代入，解得，在对称轴右侧部分，，综上所述，或者；③存在，理由如下：过C点作线段，设点在抛物线的左侧，根据抛物线的对称性可知，点在抛物线的右侧情况和左侧一致，设的中点为，的中点为，的交点即为的重心，，，，，，，即，，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，，解得，即，的重心恰好落在抛物线上，，解得．a和n的关系式为．17．（2021·四川达州·中考真题）化简求值：，其中与2，3构成三角形的三边，且为整数．【答案】，-2【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据三角形三边关系确定a的取值范围，把不合题意的a的值舍去，最后代入求值即可求解．【详解】解：原式；∵2，3，a为三角形的三边，∴，∴，∵为整数，∴，3或4，由原分式得，，∴且，∴，∴原式=．18．（2021·山东周村·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点．（1）求抛物线的解析式和顶点的坐标；（2）找出图中与相等的一个角，并证明；（3）若点是第二象限内抛物线上的一点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标．【答案】（1），顶点坐标；（2）图中与相等的一个角是，证明见解析；（3）点的坐标是．【分析】（1）利用待定系数法把和代入中，得，解方程组，得到抛物线配方为顶点式即可；（2）图中与相等的一个角是，求出抛物线与x轴的交点A，可得，.利用勾股定理求，，，利用勾股定理逆定理可证是直角三角形,，可得，可证即可；（3）设点的坐标为，过作轴，垂足为，交于，求点坐标为，可求PE=，利用面积公式=.利用抛物线性质可求点的坐标是．【详解】解：（1）把和代入中，得，解得，抛物线的解析式是：，顶点坐标；（2）图中与相等的一个角是，令，则，，，.，，在中，，，，，，；，∴是直角三角形,，，又和都是锐角，，，即；（3）设点的坐标为，∵一定，当点到直线的距离最大时，的面积最大，过作轴，垂足为，交于.易求直线的表达式为，所以点坐标为，∴PE=，， ∵，抛物线开口向下，对称轴，当时，最大，点到直线的距离最大，∴，点的坐标是．