贵州省凯里市第一中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题(含答案)

秘密★考试结束前

凯里一中2022—2023学年度第一学期期末考试

高二数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。考试时间：120分钟  试卷满分：150分

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.复数，则（    ）

A. B. C.1 D.2

3.已知双曲线，则双曲线的焦距是（    ）

A. B. C. D.

4.已知，，，则下列正确的是（    ）

A. B. C. D.

5.已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（    ）

A.2 B. C.4 D.16

6.已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（    ）

A.1 B. C. D.

7.已知圆与圆有两个交点，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

8.如图，在平面四边形中，，，，现将沿折起，并连接，使得平面平面，若三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）

9.下列叙述不正确的是（    ）

A.若，则

B.“”是“”的充分不必要条件

C.命题：，，则命题的否定：，

D.函数的最小值是4

10.已知直线，则下列说法正确的是（    ）

A.直线倾斜角的取值范围是 

B.直线在轴的截距为

C.当时，直线与圆相离

D.直线与直线垂直

11.函数的最小正周期为，且函数的图象过点，则下列正确的是（    ）

A.函数在单调递减 B.，

C.满足条件的最小正整数为1 D.函数为奇函数

12.如图，在棱长为2的正方体中，点满足，其中，则下列结论正确的是（    ）

A.有且仅有一点，使得

B.的周长与的大小有关

C.三棱锥的体积与的大小有关

D.当时，直线与平面所成的角的正弦值为

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.已知向量，，，若，则______.

14.已知函数，则______.

15.已知定义在上的函数满足下列条件：

①函数的图象关于轴对称；

②对于任意，；

③当时，；

若函数（且）有6个零点，则的取值范围是______.

16.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分10分）的内角，，的对边分别为，，，且.

（1）若，，求的值；

（2）若，求角.

18.（本小题满分12分）已知数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

19.（本小题满分12分）凯里市2020年被评为全国文明城市，为了巩文固卫，凯里一中某研究性学习小组举办了“文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取400份试卷作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求的值，并估计知识竞赛成绩的第80百分位数；

（2）现从该样本成绩在与的市民中按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩来自不同组的概率.

20.（本小题满分12分）如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且直三棱柱的体积为，点为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

21.（本小题满分12分）设函数（，且）.

（1）若，且不等式在区间恒成立，求实数的取值范围；

（2）若，函数在区间上的最小值为，求实数的值.

22.（本小题满分12分）抛物线上的点到抛物线的焦点的距离为2，，（不与重合）是抛物线上两个动点，且.

（1）求抛物线的标准方程及线段的最小值；

（2）轴上是否存在点使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

凯里一中2022-2023学年度第一学期半期考试

高二数学参考答案

一、单项选择题

解析：

1.D.解：，，.

2.C.解：.

3.D.解：由，即，由，所以焦距为.

4.A.由，，，则.

5.B.解：由题意，，所以，，

所以，解得或（舍去）.

6.D.解：，，即，，则

，所以，由，则，

由，则，所以.

7.B.解：由题意知，圆心与圆心，则圆心距，因为圆与圆有两个交点，则圆与圆相交，则解得.

8.A.解：∵平面平面，平面平面，，

平面，∴平面，又∵平面，∴，

又∵，，平面，平面，

∴平面，又∵平面，∴，即为直角，

又∵为直角，∴取的中点，连接，，

由直角三角形的斜边上的中线性质，

可得为三棱锥外接球的球心，设为，则，，；

∵平面，为直角，

∴，

则，易得外接球的半径，∴三棱锥外接球的表面积为

二、多项选择题

解析：

9.BD.对于A.由不等式的性质可知A正确；

对于B.由得，则，故B不正确；

对于C.由命题的否定知C正确；

对于D.当时，，故D错误.

10.BCD.解：对于A，直线的斜率，

∴直线的倾斜角的范围是，故A错误；

对于B，在直线方程中令得，故B正确；

对于C，当时，直线，圆心到直线的距离，

故C正确；对于D，由知D正确.

11.ABC.解：函数，

因为函数的最小正周期为，所以，因为函数图象过点，

所以，则，，即，，

因为，所以，则，

对于A，当时，，则由余弦函数的性质知在单调递减，故A正确；

对于B，因为，所以是的一条对称轴，故B正确；对于C，由得或

①当时，.解得，，即，，

当时，，此时最小正整数为1.

②当时，，解得，，当时，，不符合题意，当时，，此时最小正整数为3，综上所述，满足条件的最小正整数为1，故C正确.

对于C，另解：，故C正确.

对于D，函数为偶函数，故D错误.

12.ABD.解：对于A.当且仅当点为中点时，，故A正确；

对于B.当点为中点时，的周长为，当点与重合时，的周长为，则的周长与的大小有关，故B正确；

对于C.由于，显然平面，又，所以在任何位置时到平面的距离相等，则三棱锥的体积与的大小无关，故C错误；

对于D.当时，建立空间坐标系易知直线与平面所成的角的正弦值为，故D正确.

三、填空题

解析：

13.解：由向量，，.则，由，则，解得.

14.解：.则

15.解：函数的图象关于轴对称，则为偶函数，

对于任意，，则，即函数的最小正周期为2.当时，；函数有6个交点

作图如下：

由图易知，则且，解得，所以的取值范围是

16.解：设椭圆的焦距为，长半轴为，，，，作出轴截面如图所示.根据Dandelin双球模型，由图1得，由图2得

，则椭圆的离心率.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.解：（1）由，则，由余弦定理得

，∴，即，

则，解得……（5分）

（2）∵，∴由正弦定理得，

由，则，可得，，∴，即，

解得或（舍去），又∵，∴. ……（10分）

18.解：（1）由，则数列是以为公差的等差数列，由，则，

则数列的通项公式……（6分）

，

故……（12分）

19.解：（1）因为

所以，设知识竞赛成绩的第80百分位数为，由的频率为0.65，的频率为0.9，则位于，则，解得，则知识竞赛成绩的第80百分位数为86. ……（6分）

（2）根据分层抽样，在内选取2人，记为，，在内选取4人，记为，，，.

从这6人中选取2人的所有选取方法：

，，，，，，，，，，，，，，，共15种.

2人的竞赛成绩来自不同组的选取方法：，，，，，，，共8种.

所以所求概率为. ……（12分）

20.解：（1）由题意知，，，则，设与交点为，连接.

由题可知四边形为正方形，所以，

且为中点.又因，，所以，所以.

又因为，所以平面. ……（6分）

（2）取的中点，连接，，在平面过点内作的垂线，如图所示，

建立空间直角坐标系.则，，

，.所以，.

设平面的一个法向量为，

则，令，则.

由（1）可知平面的一个法向量为，平面与平面夹角为

则

则平面与平面夹角的余弦值. ……（12分）

21.解：（1），因为，解得……（1分）

因为，且，在R上为单调递增函数，则函数为R上单调递增的奇函数……（3分）

不等式等价于，

所以，即在区间恒成立，

①当时，，则，

②当时，，即，解得，

综上所述，实数的取值范围是. ……（6分）

（2），即，解得或（舍）

所以，

令，则在单调递增，所以，即

设，对称轴为，

①当时，则在区间单调递减，则

，解得：符合题意，

②当时，则在区间单调递减，在区间单调递增，

，解得：或（舍）

综上所述或. ……（12分）

22.解：（1）由抛物线的定义得，解得，

则抛物线的标准方程为……（2分）

依题意知，直线与直线的斜率存在，设直线方程为：，由得，直线方程为：，由得点，同理可得点

则

令，则，函数在区间单调递增，

所以，则，所以线段的最小值为8……（6分）

（2）由得，假定在轴上存在点使得，设点，则直线斜率，直线斜率……（8分）

由得，则有，即，

整理得，显然当时，对任意不为0的实数，恒成立，即当时，恒成立，恒成立，

所以，轴上存在点使得，点. ……（12分）