2022-2023学年贵州省黔东南州凯里市第一中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年贵州省黔东南州凯里市第一中学高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．若集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据对数函数定义域可求得集合，解不等式可得集合，根据交集运算可得.

【详解】由集合得；

集合；

根据交集运算法则可得.

故选：D.

2．已知复数（是虚数单位），则对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义以及复数的几何意义可得出结论.

【详解】因为，则，

因此，对应的点在第二象限.

故选：B.

3．在中，点在边上，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用向量的线性运算法则计算即可.

【详解】因为点在边上，且，所以，

所以，

故选：D

4．已知实数,满足,则的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．6

【答案】C

【分析】将看作直线上的点,将可看作点与点之间距离的平方,根据点到直线的距离公式即可求得最小值.

【详解】解:由题知满足,

可看作在直线上,

可看作点与点之间的距离的平方,

故根据点到直线的距离公式有:

.

故选:C

5．从3名男教师，2名女教师中任意抽取两名进行核酸检测，则抽取的两人中至少有一名为女教师的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据组合数的计算以及古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】从3名男教师，2名女教师中任意抽取两名，所有的抽取方法共有种，

抽取的两人中没有女教师的种数有种，所以至少有一名女教师的概率为 ,

故选：C

6．直线与圆的位置关系是（    ）

A．相交 B．相离

C．相切 D．无法确定

【答案】A

【分析】直线l过定点，求出定点的坐标，根据定点与圆的位置关系来确定l与圆的位置关系.

【详解】由 得： ，所以直线l过定点 ，

圆 的圆心为原点，半径为 ，由 知：

点A在圆内，所以直线l与圆相交；

故选：A.

7．设，，，则、、的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用零点存在定理计算出、的取值范围，利用对数函数的单调性可得出，即可得出、、的大小关系.

【详解】构造函数，因为函数、在上均为增函数，

所以，函数为上的增函数，且，，

因为，由零点存在定理可知；

构造函数，因为函数、在上均为增函数，

所以，函数为上的增函数，且，，

因为，由零点存在定理可知.

因为，则，因此，.

故选：B.

8．已知双曲线，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意得到，，故，计算得到答案.

【详解】，

，故，故

故选：C

二、多选题

9．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ）

A． B． C． D．2

【答案】ABC

【分析】根据必要不充分条件的含义得，一一代入选项检验即可.

【详解】根据题意可知“”无法推出“”，但“”可以推出“”，

则，则ABC正确，D错误，

故选：ABC.

10．在正方体中，下列说法中正确的是（    ）

A．

B．

C．与平面所成的角为

D．与平面所成的角为

【答案】ABD

【分析】对AB选项，通过平行的传递性，将异面直线所成的角转化在同一平面内，即可判断AB选项，对CD选项，通过线面角的定义找到线面角，求出相关线段长和线面角的三角函数值，即可判断.

【详解】对A选项，连接，，,

，四边形为平行四边形，，

，，故A正确；

对B选项，对平面进行延展，补出正方形，并连接，，，

同A选项，易得四边形为平行四边形，，，四边形为平行四边形，，

，设正方体棱长为1，则，，

，，，

，故B正确；

对C选项，连接，交于点，连接，底面，

平面，，，平面，平面，平面，

与平面所成的角为，设正方体棱长为1，

则，，，

，，故C错误，

对D选项，底面，平面，，

与平面所成的角为，易知为等腰直角三角形，

，故D正确，

故选：ABD.

11．已知函数在区间内恰有4个零点，则下列说法正确的是（    ）

A．在内有两处取到最小值

B．在内有3处取到最大值

C．

D．在内单调递增

【答案】AC

【分析】由题意可得，解出，可判断ABC；再由，，结合的范围，可判断D.

【详解】因为，，

因为函数在区间内恰有4个零点，

所以，解得：，

故C正确；所以在内有两处取到最小值，有2或3处取到最大值，

则A正确，B不正确；

对于D，因为，所以，

由C知，，所以，

因为，所以在内单调递减，故D不正确.

故选：AC.

12．已知椭圆的离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为0．为坐标原点，则（    ）

A．

B．直线与直线的斜率之积为

C．直线与直线的斜率之积为

D．若直线，，的斜率之和为1，则的值为

【答案】CD

【解析】由题意可得：．设，，，．，．利用点差法即可得出，，，即可判断．

【详解】解：椭圆的离心率为，，

，故错；

设，，，．，．

，，

两式相减可得：．

，

同理，，

故错，正确．

又，

故选：CD．

【点睛】方法点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、中点坐标公式、点差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，处理中点弦问题常用的求解方法：

（1）点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点坐标公式即可求得斜率；

（2）根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解

三、填空题

13．双曲线的渐近线方程为________.

【答案】

【分析】由双曲线性质即可求.

【详解】由题可知：所求渐近线方程为.

故答案为：.

14．抛物线的焦点坐标是________.

【答案】

【分析】将抛物线方程化为标准形式，由此求得焦点坐标.

【详解】∵，即，则，

∴抛物线的焦点坐标是.

故答案为：.

15．已知点，，点是圆上的任意一点，则的最大值是_______.

【答案】12

【分析】设点，根据题意可得，然后根据向量的坐标运算得到的式子，即可得到其最大值.

【详解】设点，因为点是圆上的任意一点，

则

由点，可得

所以，其中

当时，

故答案为:

16．已知函数，的定义域为，若对，，，成立，且，则__________.

【答案】

【分析】代入到中得出，再推导出的周期进行求解即可.

【详解】因为①，且②，

即，结合②可得③，①③相减有，故④，即，故周期为4.

在①中令，有，又，可得.

由④，令，有，结合周期为4，则

故答案为：

四、解答题

17．已知函数，.

(1)求的最小正周期；

(2)若，求的最大值和最小值.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）将函数化为的形式，再利周期公式求解．

（2）先求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即可求解.

【详解】（1）

所以最小正周期.

（2）由，则，

所以，所以

当，即时，.

当，即时，.

18．已知点在圆上

(1)求的取值范围

(2)求的最大值和最小值.

【答案】(1)

(2)最大值为，最小值为.

【分析】(1)根据的几何意义为圆上一点与点连线的斜率，结合图形求解； (2)将问题转化为直线与已知圆有交点即可求解.

【详解】（1）由题知：，如图所示

的几何意义为圆上一点与点连线的斜率，

过点引圆的两条切线分别为，

则的取值范围是.

（2）设，则，

由圆心到直线的距离小于等于半径得，

即，

所以的最大值为，最小值为.

19．牯藏节是苗族的传统节日，西江苗寨为了丰富居民的业余生活，举办了关于牯藏节的知识竞赛，比赛共分为两轮.在第一轮比赛中，每一位选手均需要参加两关比赛，若在两关比赛均达标，则进入第二轮比赛.已知在第一轮比赛中，选手、第一关达标的概率分别为，；第二关达标的概率分别是，，、在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响.

(1)分别求出、进入第二轮比赛的概率；

(2)若、两人均参加第一轮比赛，求两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式可求出结果；

（2）根据对立事件的概率公式可求出结果.

【详解】（1）由选手、第一关达标的概率分别为，；第二关达标的概率分别是，，

记“、进入第二轮比赛”分别为事件和事件，

则 ，.

所以、进入第二轮比赛的概率分别为和.

（2）记“两人中至少有一人进入第二轮比赛”为事件，

则.

所以两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率为.

20．如图所示，底面是边长为2的菱形，且，平面.

(1)若为线段上的任意一点，求证：；

(2)若为线段上的中点，且，求直线与平面所成的角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证平面，再根据直线与平面垂直的性质可得；

（2）以为原点，分别以，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据直线与平面所成角的向量公式可求出结果.

【详解】（1）连接，由底面是边长为2的菱形，则，

由平面，平面，所以，

又，平面，平面，

所以平面，

又由平面，所以.

（2）作的中点，连接，由，则，

由平面，则，，两两垂直，

如图，以为原点，分别以，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，得，，得，

设直线与平面所成的角为，

则.

所以直线与平面所成的角的正弦值为.

21．已知，分别是椭圆（，）的左右两个焦点，为椭圆上任意一点，

(1)若，的最大值为12，求的值；

(2)若，直线与椭圆相交于两个不同的点，且（为坐标原点），求椭圆的方程.

【答案】(1)或

(2)

【分析】(1)由可得椭圆方程为：，结合焦点三角形面积的最大值得出，然后解方程组即可求解；

(2)当，联立方程组，根据得到，结合韦达定理求解即可.

【详解】（1）由，则椭圆方程为：，

由的最大值为12，则，即解得或所以或.

（2）若，联立方程组消去得

设，，则，解得：或

由可知，所以，解得

所以椭圆的方程为.

22．已知，.

(1)若，则对，，使成立，求的取值范围；

(2)若对，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）转化为值域的包含关系列式求解，

（2）参变分离后转化为最值问题求解，

【详解】（1）由，则

由，则

，，使成立，则

解得，所以的取值范围是.

（2）由，则，即，又由，

由对勾函数性质得，所以，则的取值范围是.