初中数学中考复习 专题05 相交线与平行线（解析版）

这是一份初中数学中考复习 专题05 相交线与平行线（解析版），共24页。试卷主要包含了邻补角，对顶角，垂线，平行线，同位角、内错角、同旁内角，对顶角的性质，垂线的性质等内容，欢迎下载使用。
知识点1：相交线
1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
5.同位角、内错角、同旁内角：
（1）同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
（2）内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
（3）同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
6.对顶角的性质：对顶角相等。
7.垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
知识点2：平行线及其判定
1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3.平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行。
判定方法2：内错角相等，两直线平行。
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行。
知识点3：平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
知识点4：命题、定理、证明
1.命题：判断一件事情的语句叫命题。命题由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
（1）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题。
（2）假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫假命题。
2.定理：有些命题是基本事实，有些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。
3.证明：一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫做证明。
知识点5：平移
1.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
2.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系,研究了两条直线相交时的形成的角的特征,两条直线互相垂直所具有的特性,两条直线平行的长期共存条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质,利用平移设计一些优美的图案. 重点:垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些的组织运用. 难点:探索平行线的条件和特征,平行线条件与特征的区别,运用平移性质探索图形之间的平移关系,以及进行图案设计。通过本章思维导图的学习，准确把握知识点的内在联系。
【例题1】（2020•常德）如图所示，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70°B．65°C．35°D．5°
【答案】B
【分析】根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．
【解析】作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥DE，
∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，
∴∠BCE＝65°
【例题2】已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
【答案】见解析。
【解析】过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．
证明：过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°，
即∠A+∠B+∠C=180°．
【例题3】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）。画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1。
【答案】如图所示。
【解析】由B点坐标和B1的坐标得到△ABC向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到△A1B1C1 ， 则根据点平移的规律写出A1和C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1。
《相交线与平行线》单元精品检测试卷
本套试卷满分120分，答题时间90分钟
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（2020•铜仁市）如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（ ）
A．70°B．100°C．110°D．120°
【答案】C
【分析】直接利用平行线的性质得出∠1＝∠2，进而得出答案．
【解析】∵直线AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝70°，
∴∠1＝∠2＝180°﹣70°＝110°．
2．（2020•遵义）一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
【答案】B
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解析】∵AB∥CD，
∴∠1＝∠D＝45°
3．（2020•黔西南州）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为（ ）
A．37°B．43°C．53°D．54°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠2和∠3的关系，从而可以得到∠3的度数，然后根据∠1+∠3＝90°，即可得到∠1的度数．
【解析】∵AB∥CD，∠2＝37°，
∴∠2＝∠3＝37°，
∵∠1+∠3＝90°，
∴∠1＝53°
4．（2020•枣庄）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10°B．15°C．18°D．30°
【答案】B
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD＝60°，进而得出答案．
【解析】由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°．
5.如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD=50°，则∠BOC的度数为（ ）
A.15° B.35° C.40° D.50°
【答案】D
【解析】据对顶角相等，可得答案。
∵∠BOC与∠AOD是对顶角，
∴∠BOC=∠AOD=50°
6.如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
【答案】A．
【解析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角．
如图所示，∠1和∠2两个角都在两被截直线直线b和a同侧，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故∠1和∠2是直线b、a被c所截而成的同位角．
7.如图，已知a∥b，∠1=65°，则∠2的度数为（ ）
A. 65°B. 125°C. 115° D. 25°
【答案】C
【解析】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．
法一，由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠2的度数．
法二，由对顶角相等，可求得∠4的度数，再由由a∥b，根据两直线平行，同旁内角互补求得∠2的度数。
法一：∵a∥b，
∴∠1=∠3=65°，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=115°
法二：∵∠1=∠4=65°，
∵a∥b，
∴∠4+∠2=180°，
∴∠2=115°
8．如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．50°B．70°C．80°D．110°
【答案】C．
【解析】直接利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠BAD=∠CAD=50°，进而得出答案．
∵∠BAC的平分线交直线b于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵直线a∥b，∠1=50°，
∴∠BAD=∠CAD=50°，
∴∠2=180°﹣50°﹣50°=80°．故选：C．
9．在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（ ）
A．1cm B．3cm C．5cm或3cm D．1cm或3cm
【答案】C．
【解析】分类讨论：当直线c在a、b之间或直线c不在a、b之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解．
当直线c在a、b之间时，
∵a、b、c是三条平行直线，
而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，
∴a与c的距离=4﹣1=3（cm）；
当直线c不在a、b之间时，
∵a、b、c是三条平行直线，
而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，
∴a与c的距离=4+1=5（cm），
综上所述，a与c的距离为3cm或3cm．故选：C．
10.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．48 B．96 C．84 D．42
【答案】A．
【解析】考点是平移的性质。根据平移的性质得出BE=6，DE=AB=10，则OE=6，则阴影部分面积=S四边形ODFC=S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．
由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10，
∴OE=DE﹣DO=10﹣4=6，
∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=（AB+OE）•BE=（10+6）×6=48．
11.（2019•海南省）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1的大小为（ ）
A．20°B．35°C．40°D．70°
【答案】C
【解析】根据平行线的性质解答即可．
∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C，
∴AC＝AB，
∴∠CBA＝∠BCA＝70°，
∵l1∥l2，
∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°，
∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°
12.（2019湖北仙桃）如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【答案】D
【解析】∵CD∥AB，
∴∠AOD+∠D＝180°，
∴∠AOD＝70°，
∴∠DOB＝110°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝55°，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，
∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°，
∴∠AOF＝70°﹣35°＝35°
二、填空题（每空3分，共33分）
13．（2020•新疆）如图，若AB∥CD，∠A＝110°，则∠1＝ °．
【答案】70．
【分析】由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠2的度数，再结合∠1，∠2互补，即可求出∠1的度数．
【解析】∵AB∥CD，
∴∠2＝∠A＝110°．
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°．
14.如图所示，一座楼房的楼梯，高1米，水平距离是2.8米，如果要在台阶上铺一种地毯，那么至少要买这种地毯________米．

【答案】3.8
【解析】根据楼梯高为1m，楼梯的宽的和即为2.8m的长，再把高和宽的长相加即可．
根据平移可得至少要买这种地毯1＋2.8＝3.8（米）
15．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为 ．
【答案】140°．
【解析】直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案．
∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，
∴∠EOB=90°，
∵∠EOD=50°，
∴∠BOD=40°，
则∠BOC的度数为：180°﹣40°=140°．
16.如图，直线a和直线b相交于点O，∠1=50°，则∠2= .
【答案】50°
【解析】∠1与∠2是对顶角，
则∠2=∠1=50°。
17．如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为 ．（任意添加一个符合题意的条件即可）
【答案】∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE．（答案不唯一）
【解析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断．
若∠A+∠ABC=180°，则BC∥AD；
若∠C+∠ADC=180°，则BC∥AD；
若∠CBD=∠ADB，则BC∥AD；
若∠C=∠CDE，则BC∥AD
18.如图，直线a、b被直线c所截，在图上所示的四个角中，若满足 ，则a、b平行．
【答案】∠1=∠2或者∠2=∠3或者∠3+∠4=180°
【解析】同位角相等，二直线平行。∠1=∠2时，a∥b。
内错角相等，二直线平行。∠2=∠3时，a∥b。
同旁内角互补，二直线平行。∠3+∠4=180时，a∥b。
所以∠1=∠2或者∠2=∠3或者∠3+∠4=180°都有a∥b。
19.如图，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=116°30′，则∠4= ．
【答案】63°30′
【解析】本题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握同位角相等，两直线平行。根据∠1=∠2可以判定a∥b，再根据平行线的性质可得∠3=∠5，再根据邻补角互补可得答案
：∵∠1=40°，∠2=40°，
∴a∥b，
∴∠3=∠5=116°30′，
∴∠4=180°﹣116°30′=63°30′
20.如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2= ．
【答案】140°．
【解析】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
先根据平行线的性质，由l1∥l2得∠3=∠1=40°，再根据平行线的判定，由∠α=∠β得AB∥CD，然后根据平行线的性质得∠2+∠3=180°，再把∠1=40°代入计算即可．如图，
∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=40°，
∵∠α=∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣40°=140°．
21.已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥C．
其中真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）
【答案】①②④．
【解析】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，难度适中．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，故①正确；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命题，故②正确；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，故③错误；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命题，故④正确．
22.如图，是一块从一个边长为20cm的正方形BCDM材料中剪出的垫片，经测得FG＝9cm，则这个剪出的图形的周长是________cm．

【答案】98
【解析】首先把EF平移到MN的位置，把AH平移到MK的位置，把GH平移到AN的位置，根据平移的性质可得这个垫片的周长等于正方形的周长加FG ．
这个垫片的周长：20×4＋9×2＝98（cm）．
23．如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到的，则平移的距离是_____．

【答案】线段BE的长度．
【解析】观察图形可知：△DEF是由△ABC沿BC向右移动BE的长度后得到的，
∴平移距离就是线段BE的长度．
三、解答题（8个小题，共51分）
24.（6分）如图OE⊥OF，∠EOD和∠FOH互补，求∠DOH的度数。
【答案】90°
【解析】∠EOD和∠FOH互补，所以有∠EOD+∠FOH=180°
如图OE⊥OF，所以∠EOF=90°
则 ∠DOH=360°-（∠EOD+∠FOH+∠EOF ）
= 360°-（180°+90° ）=90°
25.（6分）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．
【答案】（1）如图所示：（2）DE∥AC
【解析】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行．（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；
（2）根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDE，再根据同位角相等两直线平行可得结论．
26．（8分）如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC．
①∠DAB+∠B=多少度？
②AD与BC平行吗？AB与CD平行吗？试说明理由．
【答案】见解析。
【解析】（1）由已知可求得∠DAB=120°，从而可求得∠DAB+∠B=180°（2）根据同旁内角互补两直线平行可得AD∥BC，∠ACD不能确定从而不能确定AB与CD平行．
①∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，
又∠1=30°，∴∠BAD=120°，
∵∠B=60°，
∴∠DAB+∠B=180°．
②答：AD∥BC，AB与CD不一定平行．
理由是：
∵∠DAB+∠B=180°
∴AD∥BC
∵∠ACD不能确定
∴AB与CD不一定平行．
27．（6分）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=54°，求∠2的度数．
【答案】72°．
【解析】直接利用平行线的性质得出∠3的度数，再利用角平分线的定义结合平角的定义得出答案．
∵直线AB∥CD，
∴∠1=∠3=54°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠3=∠4=54°，
∴∠2的度数为：180°﹣54°﹣54°=72°．
28.（6分）如图，在一块长为20m，宽为14m的草地上有一条宽为2m的曲折小路，你能运用你学的知识求出这块草地的绿地面积吗？
【答案】240m2
【解析】根据平移，可得路是矩形，根据面积的和差，可得答案．
平移使路变直，路是长20m宽2m的矩形，
绿地的面积20×14－20×2＝240（m2）
29.（6分）如图所示，将△ABC平移，可以得到△DEF，点B的对应点为点E，请画出点A的对应点D、点C的对应点F的位置，并作出△DEF．

【答案】见解析。
【解析】连接BE，过A、C分别做BE的平行线，并且在平行线上截取CF=AD=BE，连接ED，EF，DF，得到的△DEF即为平移后的新图形．如图
30．（6分）如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长?
【答案】16．
【解析】∵将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，
∴AD=BE=2，各等边三角形的边长均为4．
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BE+FE+DF=16．
31．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．求证：BE=DG
【答案】见解析。
【解析】根据平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．
∴CG⊥AD．
∴∠AEB=∠CGD=90°．
∵AE=CG，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG．
∴BE=DG