2022-2023学年重庆市北碚区高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

这是一份2022-2023学年重庆市北碚区高二（上）期末数学试卷(含答案解析)，共18页。试卷主要包含了 若直线l1， 已知圆C， 关于直线l等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市北碚区高二（上）期末数学试卷1.  双曲线的渐近线方程为(    )A.  B.  C.  D. 2.  空间向量，，且向量与共线，则的值为(    )A.  B. 8 C.  D. 43.  若直线：与直线关于点对称，则直线恒过的定点为(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知圆C：，直线l：其中e为自然对数的底数，则直线l与圆C的位置关系为(    )A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 无法确定5.  已知椭圆的左、右焦点分别为，，若点满足，则实数a的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知等比数列的前n项和为，且，，则(    )A.  B.  C.  D. 7.  设AB是过抛物线的焦点F的一条弦与y轴不垂直，其垂直平分线交y轴于点G，则(    )A.  B.  C.  D. 28.  已知数列满足，且，则…的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 9.  关于直线l：，则下列结论正确的是(    )A. 倾斜角为 B. 斜率为
C. 在y轴上的截距为 D. 与直线垂直10.  任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘以3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等如：取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成简称为8步“雹程”现给出冰雹猜想的递推关系如下：
已知数列满足：为正整数，，若，则m所有可能的取值为(    )A. 4 B. 5 C. 17 D. 3211.  如图，已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，E是的中点，则下列结论错误的是(    )A.
B. 三棱锥的体积为
C. 三棱锥的外接球的表面积为
D. 平面平面
 12.  已知抛物线上三点，，，F为抛物线的焦点，则下列结论正确的是(    )A. 抛物线的准线l的方程为
B. 若F为的重心，则成等差数列
C. 若直线AC过焦点F，过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线l于点D，则直线DC平行于抛物线的对称轴
D. 若直线AC过焦点F，准线l上存在一点M满足为等边三角形，则直线AC的斜率为
 13.  若椭圆经过点，且焦点坐标为，，则椭圆的离心率为______.
 14.  已知等差数列的首项为，前n项和为，若，则公差为______.
 15.  已知空间三点，，，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为______.
 16.  如图，在棱长为2的正方体中，G是棱AB上的一点，则点到平面的距离______.若E，F分别是，的中点，当平面DEF时，则______.17.  已知数列的前n项和
求数列的通项公式；
设数列的前n项和为，若，求n的值．18.  如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，第一象限内的点P在双曲线上，点M是线段的中点，O为坐标原点．
若点M在y轴上，求点P的坐标；
若OM与垂直，求直线的方程．
19.  已知数列的首项，且满足
求证：数列为等比数列；
设，求数列的前n项和20.  如图，在直三棱柱中，，
求证：平面平面；
若AC与平面所成的角为，点E为线段的中点，求平面AEB与平面CEB夹角的大小．
21.  已知点在不过原点的直线l上，直线l在两条坐标轴上的截距互为相反数，且直线l是半径为1的圆C的一条对称轴，点A的坐标为，O为坐标原点．
若直线m：也是圆C的一条对称轴，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
若在圆C上存在点M满足，求圆心C的横坐标的取值范围．22.  如图，某市决定在夹角为的两条笔直道路边沿EB，EF之间建造一个不影响道路的半椭圆形状主题公园．已知点A在线段EB上，O为AB的中点，千米，椭圆的短轴长千米，OD为椭圆的长半轴．同时，在半椭圆形区域内再建造一个游乐园，其中点M，N在半椭圆上，MN交OD于点G，且
求的取值范围；
若游乐园面积的最大值为1平方千米，求的值．

答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：由已知，
则双曲线的渐近线方程为，即
故选：
确定双曲线的a，b即可得渐近线．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
 2.【答案】A 【解析】解：因为空间向量，，且向量与共线，
则，解得，，
所以，
故选：
根据空间向量共线的性质建立方程即可求出m，n的值，由此即可求解．
本题考查了空间向量共线定理的应用，属于基础题．
 3.【答案】D 【解析】解：直线：恒过定点，
设点关于点的对称点为，
则，解得，，
故直线恒过的定点为
故选：
直线：恒过定点，再结合中点坐标公式，即可求解．
本题主要考查对称性、中点坐标公式，属于基础题．
 4.【答案】C 【解析】解：圆C方程为：，
圆心C为，半径，
圆心C到直线l：的距离，
又，，
直线l与圆C相交．
故选：
比较圆心到直线的距离d与半径r的大小关系即可求解．
本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．
 5.【答案】D 【解析】解：由椭圆的方程可得左、右焦点，的坐标分别为，，
点，，，
，，
，，，
，
故选：
由椭圆方程可得，的坐标，进而得，，由已知得，可求实数a的取值范围．
本题考查椭圆的几何性质，考查向量的应用，属基础题．
 6.【答案】B 【解析】解：因为等比数列中，，，
所以，
所以，
解得，
则
故选：
由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的应用，考查了运算能力，属于基础题．
 7.【答案】C 【解析】解：由题意知，设直线AB的方程为，，，
由消去y得，
则，，故，
故AB的中点坐标为，即，
故AB中垂线的方程为，
令得，故，
由弦长公式得，
故
故选：
设直线AB的方程为，，，然后与抛物线方程联立，用k表示出，，然后表示出，再进一步求出，的长度，则问题可解．
本题考查直线与抛物线的位置关系以及弦长公式等知识与方法，属于中档题．
 8.【答案】A 【解析】解：，且，
即有，
则
，
所以…
，
当时，可得所求的最小值为
故选：
由已知递推式可得，由数列恒等式和等差数列、等比数列的求和公式，结合二次函数的最值可得所求最小值．
本题考查数列的递推式和数列的恒等式、等差数列和等比数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
 9.【答案】BC 【解析】解：直线l：，即，
直线的斜率为，倾斜角为，在y轴上的截距为，故A错误，BC正确，
直线的斜率为，故D错误．
故选：
将直线l的方程转化为斜截式方程，即可依次求解．
本题主要考查直线的性质，属于基础题．
 10.【答案】ABD 【解析】解：若，即，则，，，，，故A可能；
若，即，则，，，，，故B可能；
若，即，则，，，，，故C不可能；
若，即，则，，，，，故D可能．
故选：
由数列的递推式对各个选项一一判断，可得结论．
本题考查数列的递推式，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
 11.【答案】ACD 【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，
对于选项A，，，
则，
即与不垂直，
即选项A错误；
对于选项B，，
即选项B正确；
对于选项C，三棱锥的外接球即长方体的外接球，
又，
则三棱锥的外接球的表面积为，
即选项C错误；
对于选项D，设为平面的一个法向量，
则，
即，令，
则，
又，
则，
即与不垂直，
即与平面不垂直，
即平面与平面不平行，
即选项D错误，
故选：
先建立空间直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后结合空间中点、线、面的位置关系逐一判断即可得解．
本题考查了空间向量的应用，重点考查了空间中点、线、面的位置关系，属基础题．
 12.【答案】BCD 【解析】解：由在抛物线上，
则，即，
即抛物线方程为，
对于选项A，抛物线的准线l的方程为，即选项A错误；
对于选项B，由已知可得，当F为的重心时，有，即，则，，即，即成等差数列，即选项B正确；
对于选项C，设抛物线的标准方程为：
设，，
直线OA的方程为：，令，可得
设直线AC的方程为：，
联立，化为，
，，，
直线DB平行于抛物线的对称轴，故C正确；
对于D，若为等边三角形，设A，C的中点，
则，，
设，则，即，
则点到直线m的距离，
，
又，
，解得，
故直线AB的斜率为，故D正确．
故选：
由点B在抛物线上，可求p，可得抛物线方程，进而可求准线方程判断A；由F是抛物线焦点，可得，进而可得成等差数列判断B；设抛物线的标准方程为：，设，直线OA的方程为：，令，可得设直线AB的方程为：，与抛物线的方程联立化为，利用根与系数的关系可得，可得即可判断C；若为等边三角形，设A，C的中点，可得，，设，进而可得，可得点到直线m的距离，进而得，求解即可判断
本题考查了直线与抛物线的综合应用，需要学生较强的综合能力，属中档题．
 13.【答案】 【解析】解：由于焦点，，
所以焦点在y轴上，且，
由于椭圆经过点，所以，
所以，
所以椭圆的离心率
故答案为：
根据已知条件求得a，c，从而求得椭圆的离心率．
本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属基础题．
 14.【答案】 【解析】解：因为等差数列的首项为，
因为，
则公差
故答案为：
由已知结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：由已知可得，
则，，
所以，
所以，
则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为，
故答案为：
求出向量的坐标表示，再求出两向量的夹角的余弦值以及正弦值，然后根据三角形的面积公式即可求解．
本题考查了平行四边形面积的求解，考查了向量的坐标运算以及夹角，模的运算，属于基础题．
 16.【答案】  【解析】解：以点D为坐标原点，DA，DC，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
设，则，
则，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
平面的法向量为，
，
点到平面的距离；
又，，
设平面DEF的一个法向量为，
则，
令，则，，
平面DEF的一个法向量为，
点到平面DEF的距离

设，则，，

当平面DEF时，则，
，解得，
，，
的长为
故答案为：；
以点D为坐标原点，DA，DC，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，设，则，求得平面的法向量为，代入点到平面的距离公式即可求解；求得平面DEF的一个法向量为，根据平面DEF，得到，解得，即可求解．
本题考查了空间中点到平面的距离公式和两点间的距离公式，属于中档题．
 17.【答案】解：由题意，当时，，
当时，，
当时，也满足上式，
，
由题意，令，
则



，
故

，
，
，解得 【解析】根据题干已知条件并结合公式进行计算即可得到数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式并进行分母有理化，再运用裂项相消法计算出前n项和的表达式，代入即可计算出n的值．
本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，分母有理化，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 18.【答案】解：若点M在y轴上，且点M是线段的中点，
由双曲线方程可知，，，所以，
故，，
则P点横坐标为2，
又当时，，得，
由于P点在第一象限，
故点P的坐标为；
设，则，①
又OM与垂直，，
则，②
①②联立得，即，
所以直线的方程为，
即 【解析】利用M是线段的中点可得P点横坐标，进而可得点P的坐标；
设，由点P在双曲线上以及OM与垂直可列方程组求出点P的坐标，进而可得直线的方程．
本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．
 19.【答案】证明：依题意，由两边倒过来，
可得，
两边同时加3，可得，
，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
解：由，可得，
则，
故，
则，
，
两式相减，
可得


，
 【解析】将题干中递推公式两边倒过来，再同时加3，进一步推导即可发现数列是以2为首项，2为公比的等比数列；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，进一步计算出的表达式，然后计算出数列的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出前n项和
本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及运用错位相减法求前n项和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 20.【答案】解：证明：在直三棱柱中，，，
，，
又，平面，
平面，平面平面；
以B为坐标原点，BC、BA、所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设，则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
与平面所成的角为，
，
由，解得
，，，，，
设平面AEB的法向量，
则，取，得，
设平面CEB的法向量，
则，取，得，
设平面AEB与平面CEB夹角的大小为，
则，，
平面AEB与平面CEB夹角的大小为 【解析】推导出，，从而平面，由此能证明平面平面；
以B为坐标原点，BC、BA、所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEB与平面CEB夹角的大小．
本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质、二面角定义及求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 21.【答案】解：由直线l在两条坐标轴上的截距互为相反数，可设直线l的方程为，
又点在直线l上，所以，即，
所以直线l的方程为，
联立，解得，，
所以圆C的圆心为，半径为1，
当切线的斜率不存在时，因为切线过点，所以其方程为，满足题意；
当切线的斜率存在时，设其方程为，
由，解得，
所以切线方程为，即，
综上，切线方程为或
由知，圆C的圆心在直线上，
故可设点C的坐标为，
设，
因为，即，
所以，即，
原问题等价于圆与圆C有交点，
所以，解得，
故圆心C的横坐标的取值范围为 【解析】根据直线方程的截距式，可得其方程为，并与直线m的方程联立，求得圆心坐标，再分切线的斜率是否存在两种情况，并结合点到直线的距离公式，得解；
设点C的坐标为，，由，得，原问题等价于圆与圆C有交点，再根据圆与圆的位置关系，得解．
本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握圆的切线方程的求法，圆与圆的位置关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 22.【答案】解：以O为坐标原点，以OD所在的坐标为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，

由题意，，由，所以，
所以，，
所以直线EF的方程为：，
设，则，
所以椭圆，当a最大时直线EF与椭圆相切，
由，整理可得：，
，解得舍
所以椭圆的长半轴长的最大值为，
故的取值范围为；
由知椭圆的方程为：，
设，要保证MN与半椭圆有交点，当N位于B时，，则，
直线MN的方程为：，
联立，整理可得：，
设，则，，
，

，当时，，
游乐园面积的最大值为1平方千米，，，
所以，当，即，
的值为 【解析】建立平面直角坐标系，由题意可得E，F的坐标，进而求出直线EF的直线方程，设椭圆的方程，由题意可得直线EF与椭圆相切时，椭圆的长半轴最大，由判别式为0可得参数a的值，从而的取值范围．
设，当N与B重合时，可得t的范围，可得G的坐标，设直线MN的方程，由直线MN与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而求出三角形OMN的面积的表达式为，可得当时，的面积最大，由面积的最大值为1可求a，进而求出的值．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，二次函数的最值的求法，属中档题．