2022-2023学年湖南省益阳市六校高一上学期期末联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖南省益阳市六校高一上学期期末联考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了 已知函数，则的值为， 已知，则， 函数， 下列命题正确的有等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（共40分）
1. 二元一次方程组 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用代入消元法解二元二次方程组，用集合表示解集即可.
【详解】由，所以二元一次方程组 的解集是，
故选：B
2. 是的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】直接判断充分性和必要性即可求解.
【详解】不能推出，反之，能推出，则是的必要不充分条件.
故选：C.
3. 函数的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】，
当且仅当取等号，
故选：C
【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
4. 已知函数，则的值为
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：，故选D
考点：分段函数求值
5. 已知，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】则．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
6. 函数（ 且 ）的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数图像过的定点和函数的值域可判断正确选项.
【详解】，函数定义域为，
有，函数图像过原点，AD选项不符合，，B选项不符合.
故选：C.
7. 若函数的值域为，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题知，再结合函数值值域得，再结合余弦函数的单调性求解即可得答案
【详解】解：，，
令，则，
因为，所以，
因为函数的值域为，则
所以，即，
因为，函数单调递减，
所以的取值范围为
故选：A
8. 在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为，个感染者在每个传染期会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗(称为接种率)，那么个感染者新的传染人数为．已知新冠病毒在某地的基本传染数为了使个感染者传染人数不超过，该地疫苗的接种率至少为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意列不等式，即可求出结果.
【详解】由题意可得：
故选：C.
二、多选题（共20分）
9. 下列命题正确的有（ ）
A. B.
C D.
【答案】CD
【解析】
【分析】利用集合的交、并、补运算法则直接求解．
【详解】对A，因为，故错误；
对B，因为，故B错误；
对C，，故正确；
对D，，故正确．
故选：CD．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查集合的交、并、补运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
10. 已知 ， 为非零实数，且 ，则下列命题不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用不等式的性质，结合特例，对选项进行判断.
【详解】当时，满足，此时，故A选项不成立；
当时，满足，此时，故B选项不成立；
， 为非零实数，则，由 ，有，即，C选项成立；
当时，满足，此时，故D选项不成立．
故选：ABD
11. 已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ）
A. 当时，的定义域为
B. 一定有最小值
C. 当时，的定义域为
D. 若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
【答案】A
【解析】
【分析】对于AC:直接求出定义域，即可判断；
对于B:取特殊情况，a=0时，值域为R，否定结论；
对于D:取特殊情况，a=-4时否定结论.
【详解】对A，当时，解有，故A正确；
对B，当时，，此时，，
此时值域为，故B错误；
对C，由A，的定义域为，故C错误；
对D，若在区间上单调递增，此时在上单调递增，所以对称轴，解得，但当时，在处无定义，故D错误.
故选：A.
12. 已知函数 的图象关于直线对称，则（ ）
A. 函数为奇函数
B. 函数在上单调递增
C. 若，则的最小值为
D. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用的图象关于直线对称，即可求出的值，从而得出的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可.
【详解】因为的图象关于直线对称，
所以 ，
得，，因为 ，所以，
所以，
对于A：，所以奇函数成立，故选项A正确；
对于B：时，，函数在上不是单调函数；故选项B不正确；
对于C：因为，，又因为，所以的最小值为半个周期，即，故选项C正确；
对于D：函数的图象向右平移个单位长度得到
，故选项D不正确；
故选：AC
【点睛】本题主要考查了利用三角函数的对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周期、单调性、最值，属于中档题
三、填空题（共20分）
13. 不等式的解集为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用二次不等式的解法可求得原不等式的解集.
【详解】由得，解得，故不等式的解集为.
故答案为：.
14. 函数的定义域为，则实数的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】由条件可得在上恒成立，再分，分类讨论，结合二次函数性质即可得出答案.
【详解】函数的定义域为，
则在上恒成立，
则当时，成立，
当时，上恒成立，
等价于，解得，
综上所述：，
即实数的取值范围是，
故答案为：.
15. 已知，若，则 ____．
【答案】
【解析】
【分析】由诱导公式化简，再用倍角公式求值.
【详解】由，得，∴.
故答案为：
16. 已知函数，若有，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【详解】∵，
∴函数在R上为增函数，
由题意得，
∴，
∵，
∴．
∴，解得．
∴实数的取值范围是．
答案：
点睛：本题考查了用函数单调性解不等式的问题，同时也考查了学生观察问题分析问题的能力，由题意得到是解题的关键，在此基础上将不等式化为
的形式，下一步需要由函数的单调性求解，在分析可得函数为增函数，所以根据单调性的定义将函数不等式转化为一般不等式求解．
四、解答题（共70分）
17. 设全集 ，集合，
（1）求 ，．
（2）若集合，满足 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1），
（2）．
【解析】
【分析】(1)解不等式确定集合，根据集合的交集并集的定义求解；(2)从并集的结果确定两个集合的包含关系，列不等式求解.
【小问1详解】
由解得，所以，
由解得，，
所以， ．
【小问2详解】
由得，所以，
因为，所以，所以解得.
18. 已知函数的周期为，且图像上一个最低点为．
（1）求的解析式；
（2）当时，求函数的最值以及取得最值时x的值．
【答案】（1）
（2）时，取得最小值；时，取得最大值1
【解析】
【分析】（1）根据周期求出，根据最低点求出，，则可得函数的解析式；
（2）根据，求出，再根据正弦函数的性质可得结果.
【小问1详解】
因为函数的周期为，且图像上一个最低点为，
所以，，，解得，
由于，所以，
所以的解析式为
【小问2详解】
因为，所以，
所以当时，即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值1．
19. 设函数．
（1）当 时，解关于不等式 ．
（2）若 对 恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2） ．
【解析】
【分析】（1） 代入函数解析式，求解二次不等式即可.
（2）根据不等式恒成立的条件，列不等式组求实数的取值范围
【小问1详解】
时，，
由，解得： 或 ，
则不等式的解集为：．
【小问2详解】
，
若 对 恒成立，则，解得：，
所以实数的取值范围为．
20. 北京某附属中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元，已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0.8万元．
（1）若学生宿舍建筑为层楼时，该楼房综合费用为万元，综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出的表达式；
（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？
【答案】（1）；（2）学校应把楼层建成层，此时平均综合费用为每平方米万元
【解析】
【分析】由已知求出第层楼房每平方米建筑费用为万元，得到第层楼房建筑费用，由楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高万元，然后利用等差数列前项和求建筑层楼时的综合费用；
设楼房每平方米的平均综合费用为，则，然后利用基本不等式求最值．
【详解】解：由建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为万元，
且楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高万元，
可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用为：万元．
建筑第1层楼房建筑费用为：万元．
楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：万元．
建筑第x层楼时，该楼房综合费用为：．
；
设该楼房每平方米的平均综合费用为，
则：，
当且仅当，即时，上式等号成立．
学校应把楼层建成10层，此时平均综合费用为每平方米万元．
【点睛】本题考查简单的数学建模思想方法，训练了等差数列前n项和的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
21. 一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
（1）以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？
【答案】（1）
（2）2秒
【解析】
【分析】（1）首先设出函数的解析式，然后结合题意和物理意义及待定系数法确定参数值即可求得函数的解析式；
（2）结合（1）中函数的解析式求解三角不等式即可确定有多长时间点距水面的高度不低于2米．
【小问1详解】
解：设，
根据函数的物理意义可知：
，
由题意可知当时，，
则，所以，
则，
又因为函数的最小正周期为，
所以，
所以；
【小问2详解】
解：根据题意可知，，
即，
当水轮转动一圈时，，，
可得：，
所以此时，
解得，
又因为 （秒，
即水轮转动任意一圈内，有秒的时间点距水面的高度不低于2米．
22. 已知，.
（1）求证：关于x的方程有解.
（2）设，求函数在区间上的最大值.
（3）对于（2）中的，若函数在区间上是严格减函数，求实数m的取值范围.
【答案】（1）证明见详解；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1），利用判别式求解即可；（2）先求出的对称轴，讨论对称轴与的大小关系，即可得出结论；（3）由题意得或，解方程组即可.
【详解】（1）由，，
得，令，
则恒成立，
所以方程有解.
（2）由，
对称轴，
当时，即时，，
当时，
即时，，
，
综上：；
（3）由，
又函数在区间上是严格减函数，
所以或，
即或，
解得或，
所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：熟练掌握二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的辩证关系是解答本题的关键.