湖南省益阳市2022-2023学年高一上学期六校联考数学期末试题(含答案)
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数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共40分）
- 二元一次方程组 的解集是
A． B．
C． D．
- “”是“”的 条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既不充分也不必要
- 函数 的最小值为
A． B． C． D．
- 已知函数 ，则 的值为
A． B． C． D．
- 已知 ，，，则
A． B． C． D．
- 函数 （ 且 ）的图象大致为
A． B．
C． D．
- 若函数 的值域为 ，则 的取值范围为
A． B． C． D．
- 在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于 时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于 时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为 ， 个感染者在每个传染期会接触到 个新人，这 人中有 个人接种过疫苗（ 称为接种率），那么 个感染者新的传染人数为 ．已知新冠病毒在某地的基本传染数 ，为了使 个感染者传染人数不超过 ，该地疫苗的接种率至少为
A． B． C． D．
二、多选题（共20分）
- 下列命题正确的有
A． B．
C． D．
- 已知 ， 为非零实数，且 ，则下列命题不成立的是
A． B． C． D．
- 已知函数 ，给出下述论述，其中正确的
A．当 时， 的定义域为
B． 一定有最小值
C．当 时， 的值域为
D．若 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是
- 已知函数 （）的图象关于直线 对称，则
A．函数 为奇函数
B．函数 在 上单调递增
C．若 ，则 的最小值为
D．函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象
三、填空题（共20分）
- 不等式 的解集是 ．
- 函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 ．
- 已知 ，若 ，则 ．
- 函数 ，若有 ，则 的取值范围是 ．
四、解答题（共70分）
- 设全集 ，集合 ，（10分）
(1) 求 ，．
(2) 若集合 ，满足 ，求实数 的取值范围．
- 已知函数 的周期为 ，且图象上一个最低点为 ．（12分）
(1) 求 的解析式；
(2) 当 时，求函数 的最值以及取得最值时 的值．
- 设函数 ．（12分）
(1) 当 时，解关于 的不等式 ．
(2) 若 对 恒成立，求实数 的取值范围．
- 北京某附属中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用 万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层 平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高 万元，已知建筑第 层楼房时，每平方米建筑费用为 万元．（12分）
(1) 若学生宿舍建筑为 层楼时，该楼房综合费用为 万元（综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出 的表达式．
(2) 为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？
- 一个半径为 米的水轮如图所示，水轮圆心 距离水面 米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每 秒转一圈，如果当水轮上点 从水中浮现时（图中点 ）开始计算时间．（12分）
(1) 以过点 且平行于水轮所在平面与水面的交线 的直线为 轴，以过点 且与水面垂直的直线为 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点 距离水面的高度 （单位：米）表示为时间 （单位：秒）的函数；
(2) 在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点 距离水面的高度不低于 米？
- 已知 ，．（12分）
(1) 求证：关于 的方程 有解；
(2) 设 ，求函数 在区间 上的最大值；
(3) 对于（）中的 ，若函数 在区间 上是严格减函数，求实数 的取值范围．
答案
一、选择
1. B
2. B
3. C
4. D
5. B
6. C
7. A
8. C
二、多选题
9. C；D
10. A；B；D
11. A；C
12. A；C
三、填空题
13.
14.
15.
16.
四、解答题
17.
(1) ，，
，
．
(2) ，，
所以 ．
18.
(1) ；
(2) 时，最大值为 ， 时，最小值为 ．
19.
(1) 时，，
，
解得： 或 ，
解集为：．
(2) ，
若 对 恒成立，
则
解得：，
所以 ．
20.
(1) 由题意知建筑第 层楼房时，每平方米建筑费用为 万元，
建筑第 层楼房的建筑费用为 （万元），
楼房每开高一层，整层建筑费用提高 （万元），
则建筑第 层楼房的建筑费用为 万元，
建筑 层楼房时，该楼房综合费用为 ，
综上可知，．
(2) 设该楼房每平方米的平均综合费用为 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
综上可知，应把楼房建成 层，此时每平方米的平均综合费用最低为 万元．
21.
(1) ，；
(2) ， 秒时间．
22.
(1) ，令 ，
则 ．
(2) ，
当 时，即 时，，
当 时，即 时，
(3) （方法一），
①令 ，，
当 ，即 时， 恒成立，
所以 ，
因为 在 上是减函数，
所以 ．解得 ．
所以 ．
当 ，即 或 时，．
因为 在 上是减函数，
所以方程 的两根均大于零或一根大于零另一根小于零且 ，
所以 或
解得 或 ．
所以 或 ．
综上可得，实数 的取值范围为 ．
（方法二），
因为函数 在 上是减函数，
所以 或
即 或
解得 或 ．
所以实数 的取值范围为 ．
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