2022-2023学年广东省广州市白云中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市白云中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用交集和并集的定义求解即可

【详解】因为，

所以，

故选：D

2．命题“”的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】含有一个量词的命题的否定步骤为：改量词，否结论.

【详解】改量词：改为，

否结论：否定为，

所以“”的否定为：“，”.

故选：B

3．已知，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可得为负数，为正数，

举反例说明A，D错误；

由，判断B错误；

由不等式的性质判断C正确.

【详解】解：由题意可得为负数，为正数，

对于A，取，则，故错误；

对于B，因为，所以，故错误；

对于C，因为，两边同时乘以，可得，故正确；

对于D，取，则，故错误.

故选：C.

4．已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角函数的定义求出，再根据的终边位于第四象限，即可得到满足条件的角的取值，进而得到角的最小正值．

【详解】因为角的终边上一点坐标为，

所以，

且的终边位于第四象限，

，．

当时，角取最小正值，

故选：C

5．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数解析式，列出相应的不等式组，解不等式可得答案

【详解】要使有意义，只需，解得，

故函数的定义域是

故选：A

6．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用诱导公式求出，再根据二倍角得余弦公式即可得解.

【详解】解：因为，所以，

所以.

故选：B.

7．已知函数是奇函数，函数是偶函数，若，则的值为（    ）

A．9 B．8 C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，带特殊值与，结合奇偶函数，两式作差即可得到答案.

【详解】因为是奇函数，函数是偶函数，所以，

由可得①，

②，

①-②得，，

故选：B

8．已知函数,若实数,则函数的零点个数为(    )

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】根据分段函数做出函数的图象，运用数形结合的思想可求出函数的零点的个数，得出选项.

【详解】令，得，根据分段函数的解析式，做出函数的图象，如下图所示，因为，由图象可得出函数的零点个数为3个，

故选：D.

【点睛】本题考查函数的零点,考查学生分析解决问题的能力,关键在于做出函数的图象，运用数形结合的思想得出零点个数，属于中档题.

二、多选题

9．函数与的图像如图所示，则实数的值可能为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】AC

【分析】由对数函数、幂函数的性质判断即可.

【详解】由图像结合对数函数的性质可知，则D错误；

由图像可知函数为奇函数，则B错误，AC正确；

故选：AC

10．下列函数中是偶函数的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断是否成立.

【详解】对于A项，设，则，因为的定义域为

并且，所以是定义在上的偶函数.

对于B项，设则的自变量满足

即，所以定义域为，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数.

对于C项，设则，因为的定义域为，

并且，所以是定义在上的奇函数.

对于D项，设则，因为的定义域为，并且，所以是定义在上的偶函数.

故选：AD

11．下列不等式中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】由诱导公式与三角函数的性质判断，

【详解】对于A，，故，故A正确，

对于B，，故，故B错误，

对于C，，故C正确，

对于D，，，而，故，故D正确，

故选：ACD

12．下列结论中错误的有（    ）

A．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是

B．若，则“”的充要条件是“”

C．“”是“”的充分不必要条件

D．当时，的最小值为

【答案】ABD

【分析】转化为，，计算，可得出的范围，即可判断A项；根据不等式的性质，可判断B项；求出的等价条件为或，即可判断C项；利用特值法即可判断D项.

【详解】对于A项，等价于，，为真命题，则，解得，故A项不正确；

对于B项，因为，显然，，所以；因为，若，则，故B项不正确；

对于C项，，所以等价于，即，所以或，

显然“”是“或”的充分不必要条件，故C项正确；

对于D项，当时，，故D项不正确.

故选：ABD

三、填空题

13．计算：___________.

【答案】0

【分析】根据三角函数的诱导公式，即可求解.

【详解】

故答案为：0

14．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环.已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为__________.

【答案】

【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为的关系，可求得，进而可得该扇形的中心角的弧度数.

【详解】如图，

依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为，

则，则，即，

因为，所以，所以该扇形的中心角的弧度数．

故答案为：

15．把函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），所得到的图像对应的函数解析式记为，则___________.

【答案】

【分析】根据诱导公式，结合余弦型函数的图像变换性质，运用代入法进行求解即可.

【详解】，

由题意可知：，

所以，

故答案为：

四、双空题

16．是定义在R上的偶函数，且当时，．则时，_______；不等式的解集是_____________．

【答案】         

【分析】设，计算，再根据偶函数的性质，即可得对应解析式，再利用偶函数及函数的单调性解不等式即可.

【详解】设，则，所以

又为偶函数，所以，

所以当时，，

又时，利用二次函数性质知函数单调递增，不等式等价于，

 ，即或，解得：或

所以不等式的解集是

故答案为：，

【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性、不等式的解法，解不等式时设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：

（1）把不等式转化为的模型；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.

五、解答题

17．已知集合.

(1)求；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）利用集合的交、并、补运算即可求解.

（2）利用集合的包含关系列不等式组，解不等式组即可求解.

【详解】（1）因为集合，，

所以或，

故，；

（2）因为，且，

则，解得，

所以m的取值范围为．

18．已知函数，求函数的值域，最小正周期以及单调增区间.

【答案】值域，最小正周期，增区间

【分析】由三角恒等变换公式化简，再根据三角函数性质求解，

【详解】

由正弦函数性质得的值域为，最小正周期，

令，得，

即的单调增区间为

19．已知函数为奇函数.

(1)求函数的解析式；

(2)用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用可构造方程求得，由此可得；

（2）取，整理得，由此可得结论.

【详解】（1）为奇函数，，即，

，解得：，.

（2）取，

则，

，，，又，，

，在区间上单调递减.

20．已知函数的部分图像如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)将图像上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图像.若为函数的一个零点，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）、根据图像，求出，，，即可求出函数的解析式;

（2）、先根据图像变换求出的解析式，再由题意可知，求出的表达式，即可求出的最大值.

【详解】（1）由图像知，.

又，，，,，

将点代入，,,，

又，,.

（2）,，

又为函数的一个零点，，，

，，.故时，的最大值为.

21．如图所示，是一声边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场．

(1)设，长方形的面积为S，试建立S关于的函数关系式；

(2)当为多少时，S最大，并求最大值．

【答案】(1)，．

(2)时，面积最大为

【分析】（1）利用三角函数定义，结合图形直接表示即可；

（2）令换元，然后由二次函数性质可解.

【详解】（1）延长交于，设，

则，，

，．

，．

（2）设，

，知，，，

．

当，即时，有最大值．

答：长方形停车场面积的最大值为平方米．

22．知函数,.

(1)求方程的解集;

(2)若的定义域是,求函数的最值;

(3)若不等式对于恒成立,求的取值范围.

【答案】（1）   （2），  （3）

【分析】（1）将表达式代入中求解方程的解.（2）写出表达式后化简求值域.（3）先将不等式进行换元处理后，分离参数求解的取值范围.

【详解】（1）

因为，即

即或，所以或,

方程的解集为.

（2）因为的定义域是,所以的定义域

所以

又

设，则

所以，即

所以，

（3）设

所以不等式对于恒成立等价于

不等式对于恒成立

即在恒成立

第一种情况：当时，即，满足条件.

第二种情况：当时，即，，所以舍去，即

满足条件.

第三种情况：当时，即或者时

              i>，解得：

              ii>解得：无解.

综上所述： .

【点睛】此题考查换元思想和含参讨论二次函数在定区间恒成立问题，难点是分类讨论时的依据，属于较难题目.