2022-2023学年广东省广州市真光中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市真光中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解不等式得到集合，然后求交集即可.

【详解】由题意得集合，所以.

故选：A.

2．若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用举反例法，结合不等式性质，可得A、B、D的正误，利用作差法，可得C的正误.

【详解】对于A，当时，，故A错误；

对于B，当时，，故B错误；

对于C，，由，则，故C正确；

对于D，当时，，则，故D错误.

故选：C.

3．如果，，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出，再利用诱导公式得解.

【详解】解：因为，，

所以，

所以.

故选：D

4．已知命题，.若为假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求得命题为真时参数的取值范围，再求其补集即可.

【详解】若命题为真，则，解得，

则当命题为假命题时，，故的取值范围是.

故选：C.

5．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】B

【分析】根据函数图象变换直接求解.

【详解】因为,

所以要得到函数的图象，

只需要将函数的图象向右平移个单位,

故选:B.

6．已知甲､乙两个城市相距120千米，小王开汽车以100千米/时匀速从甲城市驶往乙城市，到达乙城市后停留1小时，再以80千米/时匀速返回甲城市．汽车从甲城市出发时，时间x（小时）记为0，在这辆汽车从甲城市出发至返回到甲城市的这段时间内，该汽车离甲城市的距离y（千米）表示成时间x（小时）的函数为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】结合题干分析求解分段函数解析式即可．

【详解】当时，，

当时，，

当时，，

综上：

故选：D．

7．已知，则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将已知条件转化为：，分别作出函数和的图象，利用函数图象即可求解.

【详解】由题意知：，可得：

，

分别作出函数和的图象，如图所示：

结合图象，可得，

故选：A.

8．定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据分段函数各区间的函数性质画出的图象，将问题转化为与直线的交点问题，结合已知条件判断交点横坐标间的对称关系，进而求零点的和.

【详解】由题设，画出上的大致图象，又为奇函数，可得的图象如下：

的零点，即为方程的根，即图像与直线的交点.

由图象知：与有5个交点：若从左到右交点横坐标分别为，

1、关于对称，；

2、且满足方程即，解得：；

3、关于轴对称，则；

故选：B

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．“”是“”的的必要不充分条件

B．“都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件

C．设，R，则“且”是“”的必要不充分条件

D．设R，则“”是“”的充要条件

【答案】BD

【分析】根据充分条件、必要条件的定义逐项分析即得.

【详解】对于A中，由，解得，所以 “”是“”的充分不必要条件，所以A不正确；

对于B中，若都是偶数，可得是偶数，反之：比如，此时是偶数，但不是偶数，

所以 “都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件，所以B正确；

对于C中，由且，可得，由，不能得出且，

所以“且”是“”的充分不必要条件，所以C不正确；

对于D中，由，可得，

解得，故“”是“”的充要条件，所以D正确.

故选：BD.

10．下列各式中，值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】对于A，采用降幂公式，结合特殊角三角函数，可得答案；

对于B，根据特殊角三角函数，结合正切的和角公式，可得答案；

对于C，根据辅助角公式，结合特殊角三角函数，可得答案；

对于D，根据积化和差公式，结合特殊角三角函数，可得答案.

【详解】对于A，

，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，

，故C错误；

对于D，

，故D正确；

故选：ABD.

11．已知，则下列命题中，真命题的是（    ）

A．若，则是等腰三角形

B．若，则是直角三角形

C．若，则是钝角三角形

D．若，则是等边三角形

【答案】CD

【分析】直接利用诱导公式和关系式的变换及函数的性质的应用判定的结果．

【详解】解：对于选项，

利用诱导公式，整理得或，

所以或，

故为等腰三角形或直角三角形，故错误；

对于选项，整理得或，

故，或，故错误；

对于选项，必有一个负值，

假若为，则，

所以，故为钝角三角形，故正确．

对于选项：由于，

所以，

故，

整理得，

所以为等边三角形．

故正确．

故选：．

12．已知函数，以下说法正确的有（    ）

A．若的定义域是，则 B．若的定义域是R，则

C．若在R上的值域是，则 D．的值域不可能是R

【答案】CD

【分析】对AB，根据对数函数的定义域，结合二次不等式解集与系数的关系判断即可；对C，根据对数函数的值域，结合二次不等式判别式法求值域的逆用求解即可；对D，根据的值域为R则的值域包含，结合二次函数的性质求解即可.

【详解】对A，的定义域是，即，

若的定义域是，则开口向下，，故A错误；

对B，若，则，其定义域为R，故B错误.

对C，因为的值域是，

则的值域为，

整理可得，

则且是关于的判别式的解，而也符合该不等式，

所以是方程，即的两根，

此时由韦达定理，即，故C正确；

对D，当的值域为R则函数的值域包含，则同C，，即的解集包含.

但其关于的二次函数开口向上，解集不可能包括，

故函数的值域不包含，故D正确；

故选：CD

三、填空题

13．若，则___________.

【答案】

【分析】由对数的概念运算求解即可.

【详解】由对数运算的定义，有

∵，

∴，

∴，

∴.

故答案为：.

14．已知扇形的面积为4，则该扇形的周长的最小值为______.

【答案】8

【分析】根据扇形的面积公式、弧长公式、周长公式、基本不等式求解即可.

【详解】设扇形所在圆的半径为，弧所对的圆心角为，弧长为，面积为，

则，，即，

所以扇形的周长，当且仅当时取等号，

所以扇形的周长的最小值为8.

故答案为：8.

15．据市场调查，某种商品一年内的销售量按月呈的模型波动（为月份），已知3月份达到最高量9000，然后逐步降低，9月份达到最低销售量5000，则7月份的销售量为_______．

【答案】6000

【分析】根据已知条件求得的解析式，由此求得的值.

【详解】依题意，解得.

，

当时，，由于，所以，

则，

.

故答案为：

16．记，已知，设函数，若方程有解，则实数m的取值范围是__________________．

【答案】

【分析】由题意有解，即有交点，画出函数的简图，数形结合即得解

【详解】由题意有解，即有交点

令

当

当

故

画出函数的简图，如下图所示：

数形结合可知，当时，

故若有交点，

则实数m的取值范围是

故答案为：

四、解答题

17．已知集合．

(1)若，求；

(2)若，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入，解出B，根据补集定义解出即可；

（2）先判定B是否为空集，非空则根据两集合在数轴的位置讨论求解.

【详解】（1）当时．．

又∵，   ∴．

（2）恒成立，所以

，∴B的范围应在集合A的两侧，

即或．解得或，

综上，实数m的取值范围为

18．设函数且）．

（1）若，求的值及的定义域

（2）判断的奇偶性，并给出证明；

（3）求在上的值域．

【答案】（1）；定义域为；（2）为偶函数；证明见解析；（3）具体见解析．

【分析】（1）由对数函数的定义，可求出定义域，代入，可求出结果.

（2）由偶函数的定义，即可证明.

（3）分别讨论和，由对数函数的单调性即可求出值域.

【详解】（1）因为，

由题意得，故．

由，可得，

故函数的定义域为．

（2）为偶函数．证明如下：

函数的定义域为

，

所以函数为偶函数．

（3）因为，所以．

当时，的值域为；

当时，的值域为．

19．已知函数.

(1)求函数的最小正周期及其单调递增区间；

(2)当，时，恒成立，求a的最大值.

【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为，

(2)最大值为0

【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式以及辅助角公式即可化简为，然后根据周期公式可求周期，整体代入法求单调增区间,（2）根据的范围可求，进而可求的值域，故可求的范围.

【详解】（1）

故函数的最小正周期.

由得.

∴函数的单调递增区间为，.

（2）∵，∴，

∴，.

由恒成立，得，即.故a的最大值为0.

20．自2020年1月以来，新冠肺炎疫情仍在世界许多国家肆虐，并且出现了传播能力强，传染速度更快的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戌”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．2022年8月，奥密克戎BA．5．1．3变异毒株再次入侵海南，为了更清楚了解该变异毒株，某科研机构对该变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：

若该变异毒株的数量y（单位：万个）与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择．

(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于十亿个．（参考数据：，）

【答案】(1)函数更合适，解析式为

(2)14

【分析】（1）将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据的值，即可判断；

（2）设至少需要个单位时间，则，再结合对数函数的公式，即可求解．

【详解】（1）若选，将，和，代入可得，

，解得，

故，

将代入，，不符合题意，

若选，将，和，代入可得，

，解得，故，

将代入

可得，符合题意，

综上所述，选择函数更合适，解析式为.

（2）设至少需要个单位时间，

则，即，

两边同时取对数可得，，

则，

∵，∴的最小值为14，

故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于十亿个．

21．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记，

（1）用角表示，的长度；

（2）当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.

【答案】（1），；（2）当时，矩形有最大面积，最大面积为.

【解析】（1）先把矩形的各个边长用角α及表示出来，进而表示出矩形的面积；

（2）再利用角α的范围，结合正弦，余弦的二倍角公式，辅助角公式化简，再由正弦函数的性质可求求矩形面积的最大值即可．

【详解】（1）由题意知：在中，，.

在中，，

所以.

（2）设矩形的面积为S，则

.

由，得，所以当，即时，.

因此，当时，矩形有最大面积，为.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角函数模型，将三角函数模型用所学的恒等式变换公式进行化简，由三角函数的性质求得最值．

22．已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，其中…．

（1）求函数和的解析式；

（2）若不等式在恒成立，求实数的取值范围；

（3）若，，使成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；；（2）；（3）．

【分析】（1）将替换为，得，与已知条件联立方程，求函数的解析式；（2）利用函数的奇偶性不等式转化为在上恒成立，利用单调性转化为在上恒成立，参变分离后在上恒成立，即转化为求函数的最值；（3）首先设函数，根据条件转化为，转化为求两个函数的最小值，即得结论.

【详解】（1）由题意知，令替换x得，

即．         

于是，解得；         

，解得．         

（2）由已知在上恒成立．

因为为上的奇函数，

所以在上恒成立．        

又因为为上的增函数

所以在上恒成立        

即在上恒成立

所以

因为，当且仅当，即时取等号．

所以．        

（3）设，

，，使成立，所以函数的值域包含于的值域，，函数单调递增，所以函数的值域是，

在上的最小值为，在上的最小值为，由题意，只需，     

因为为上的增函数，所以．

当时，因为在单调递增，在单调递减，所以当时，．

于是

由得，即，

解得．          

考虑到，故，即，

解得．

因为，所以．   

当时，在单调递减，所以．又，，所以对任意，恒有恒成立．      

综上，实数的取值范围为．

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．