初中数学中考复习 考点26 矩形（解析版）

这是一份初中数学中考复习 考点26 矩形（解析版），共33页。
在中考中，矩形主要在选择题，填空题，解答题考查为主，并结合相似，锐角三角函数结合考查。
【中考考查重点】
矩形的性质及判定
二、矩形与折叠综合
考点：矩形
一、矩形的概念与性质
概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
性质：（1）矩形的对边平行且相等；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线相等。
二、矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个直角的四边形是矩形。
1.（2019春•金坛区期中）下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等
B．对角线互相平分
C．两组对角分别相等
D．两组对边分别平行且相等
【答案】A
【解答】解：矩形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分且相等；
平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分；
故选项B、C、D不符合题意，A符合题意；
故选：A．
2.（2020•菏泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（ ）
A．互相平分B．相等
C．互相垂直D．互相垂直平分
【答案】C
【解答】解：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故选：C．
3.（2019春•德阳期末）如图，将两块完全相同的矩形纸片ABCD和矩形纸片AEFG按图示方式放置（点A、D、E在同一直线上），连接AC、AF、CF，已知AD＝3，DC＝4，则CF的长是（ ）
A．5B．7C．5D．10
【答案】C
【解答】解：∵两块完全相同的矩形纸片ABCD和矩形纸片AEFG，
∴AG＝AD＝BC＝3，FG＝AB＝CD＝4，∠FGA＝∠ABC＝90°，
AC＝＝＝5，
在△FGA和△ABC中，，
∴△FGA≌△ABC（SAS），
∴AF＝AC，∠GFA＝∠BAC，∠GAF＝∠BCA，
∵∠GFA+∠GAF＝90°，
∴∠GAF+∠BAC＝90°，
∴∠FAC＝90°，
∴△CAF是等腰直角三角形，
∴CF＝AC＝5，
故选：C．
4.（2019•朝阳）如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为（ ）
A．5B．6C．10D．6
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，
∴OC＝OD，
∵EO＝2DE，
∴设DE＝x，OE＝2x，
∴OD＝OC＝3x，AC＝6x，
∵CE⊥BD，
∴∠DEC＝∠OEC＝90°，
在Rt△OCE中，
∵OE2+CE2＝OC2，
∴（2x）2+52＝（3x）2，
∵x＞0，
∴DE＝，AC＝6，
∴CD＝＝＝，
∴AD＝＝＝5，
故选：A．
5.（2020春•常州期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线，下列条件中能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠BAC＝∠ABDB．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠DCAD．∠BAC＝∠ADB
【答案】A
【解答】解：A、∵∠BAC＝∠ABD，∴OA＝OB，∴AC＝BD，能判定平行四边形ABCD为矩形，正确；
B、∵∠BAC＝∠DAC，BO＝OD，∴AB＝AD，能判定平行四边形ABCD为菱形，错误；
C、∵∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，不能判定平行四边形ABCD为矩形，错误；
D、∵∠BAC＝∠ADB，不能判定平行四边形ABCD为矩形，错误；
故选：A．
6.（2020春•和平区期末）下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是矩形
【答案】B
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不能判定是矩形；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，能判定是矩形；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不能判定是矩形；
D、两条对角线互相平分四边形是平行四边形，故此选项不能判定是矩形．
故选：B．
7.（2019春•海淀区校级期中）如图，AC是▱ABCD的对角线，延长BA至点E，使AE＝AB，连接DE
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）连接EC交AD于点O，若∠EOD＝2∠B，求证：四边形ACDE是矩形．
【答案】（1）略 （2）略
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝AB，
∴AE＝CD，且AB∥CD，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，
∵∠EOD＝2∠B
∴∠EOD＝2∠ADC，且∠EOD＝∠ADC+∠OCD，
∴∠ADC＝∠OCD，
∴OC＝OD，
∵四边形ACDE是平行四边形；
∴AO＝DO，EO＝CO，且OC＝OD，
∴AD＝CE，
∴四边形ACDE是矩形．
8.（2019春•郁南县期末）如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，且AF＝DF．
（1）求证：△AFE≌△DFB；
（2）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（3）当AB、AC之间满足什么条件时，四边形ADCE是矩形．
【答案】（1）略 （2） 略 （3）AB＝AC
【解答】证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠AEF＝∠DBF，且∠AFE＝∠DFB，AF＝DF
∴△AFE≌△DFB（AAS）
（2）∵△AFE≌△DFB，
∴AE＝BD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD
∴AE＝CD
∵AE∥BC
∴四边形ADCE是平行四边形；
（3）当AB＝AC时，四边形ADCE是矩形；
∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°
∵四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是矩形
∴当AB＝AC时，四边形ADCE是矩形．
1．（2019春•双台子区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠AOD＝120°，则对角线AC等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝CO，∠ABC＝90°．
又∠BOC＝∠AOD＝120°，
∴∠ACB＝30°．
在Rt△ACB中，AC＝2AB＝2×2＝4．
故选：B．
2．（2021春•黄州区期末）已知：如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，AE＝CE，那么∠BDC等于（ ）
A．60°B．45°C．30°D．22.5°
【答案】C
【解答】解：设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是矩形
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∵AE＝CE，
∴AC＝4AE，
∴AO＝BO＝CO＝DO＝2AE，
∴EA＝EO
∴DO＝2AE＝2EO
∴∠EDO＝30°，
∴∠EOD＝60°
∵OD＝OC
∴∠OCD＝∠BDC＝30°
故选：C．
3．（2021秋•铁西区期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝9，AD＝，则四边形CDFE的面积是（ ）
A．B．C．D．54
【答案】C
【解答】解：过点F作直线MN，使MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AMF＝∠ENP＝90°，AD＝BC＝6，
∵点F是AE的中点，
∴AF＝EF，
∵∠AFM＝∠EFN，
∴△AFM≌△EFN（AAS），
∴MF＝FN＝AB＝4.5，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝BC＝3，
∴四边形CDFE的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△AFD＝9×6﹣×9×3﹣×4.5×6＝27，
故选：C．
4．（2019•临沂）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（ ）
A．OM＝ACB．MB＝MOC．BD⊥ACD．∠AMB＝∠CND
【答案】A
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵OM＝AC，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
故选：A．
5．（2020秋•福山区期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】A
【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．如图：
则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×1×3＝，
∴S阴＝+＝3，
故选：A．
6．（2021秋•梅里斯区期末）如图，长方形ABCD中，AB＝2cm，AD＝1cm，在直线DA上，将长方形ABCD向右无滑动的滚动下去，（如①为第1次、②为第2次、③为第3次…）则第2022此滚动后得到的长方形最右侧边与CD边的距离为 cm．
【答案】3034
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2（cm），BC＝AD＝1（cm），
第1次滚动后得到的长方形最右侧边与CD边的距离＝1+2＝3（cm），
第2次滚动后得到的长方形最右侧边与CD边的距离＝1+2+1＝4（cm），
第3次滚动后得到的长方形最右侧边与CD边的距离＝1+2+1+2＝6（cm），
第4次滚动后得到的长方形最右侧边与CD边的距离＝1+2+1+2+1＝7（cm），
•••
第2022次滚动后得到的长方形最右侧边与CD边的距离＝1+3×＝3034（cm），
故答案为：3034．
7．（2019秋•富平县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．
【答案】（1）略 （2）OE＝2．
【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AD∥BC．
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：∵AE＝4，AD＝5，
∴AB＝5，BE＝3．
∵AB＝BC＝5，
∴CE＝8．
∴AC＝4，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO＝2．
∴OE＝2．
8．（2021秋•凤翔县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB＝60°，AD＝2时，求EA的长．
9．（2019春•鱼台县期末）如图，在△ABC中，O是AC上的一个动点（不与点A、C重合），过O点作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）试说明：OE＝OF；
（2）当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
【答案】（1）略 （2）O运动到AC中点
【解答】（1）证明：∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠FCD，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE＝∠ACE，∠OCF＝∠FCD，
∴∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，
∴OE＝OC，OC＝OF，
∴OE＝OF．
（2）解：当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，证明如下：
∵AO＝CO，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECA+∠ACF＝（∠ACB+∠ACD）＝∠BCD，
∴∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．

1．（2020•怀化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，
∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，
∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，
∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8，
故选：C．
2．（2021•遂宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解答】解：设CE＝x，则BE＝3﹣x．
由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝5．
在Rt△DAF中，AD＝3，DF＝5．
∴AF＝4．
∴BF＝AB﹣AF＝1．
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2．
即（3﹣x）2+12＝x2．
解得x＝．
故选：D．
3．（2021•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使平行四边形ABCD是矩形．
【答案】∠ABC＝90°（答案不唯一）
【解答】解：添加一个条件为：∠ABC＝90°，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．
4．（2021•贵港）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB＝，则tan∠DEC的值是 ．
【答案】
【解答】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，BE＝FD，
∵AE⊥BD，tan∠ADB＝＝，
设AB＝a，则AD＝2a，
∴BD＝a，
∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD，
∴AE＝CF＝a，
∴BE＝FD＝a，
∴EF＝BD﹣2BE＝a﹣a＝a，
∴tan∠DEC＝＝，
故答案为：．
5．（2021•十堰）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 ．
【答案】20
【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM＝CD＝AB＝2.5，
∵AB＝5，AD＝12，
∴AC＝＝13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO＝AC＝6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，
故答案为：20．
6．（2021•内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则线段EF的长为 ．
【答案】
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，又AB＝6，AD＝BC＝8，
∴BD＝＝10，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB＝OD＝5，∠BOF＝90°，又∠C＝90°，
∴△BOF∽△BCD，
∴＝，
∴＝，
解得，OF＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BO＝DO，EF⊥BD，
在△DEO和△BFO中，
，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴OE＝OF，
∴EF＝2OF＝．
故答案为：．
7．（2021•枣庄）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB＝30°；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，判断正确的是 ．（填序号）
【答案】①③④
【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴EB＝ED，
∵BO＝DO，
∴OE⊥BD 故①正确；
②∵∠BOD＝45°，BO＝DO，
∴∠ABD＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠ADB＝90°﹣27.5°＝22.5°，故②错误；
③∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OAD＝∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵OB＝OD，BE＝DE，
∴OE⊥BD，
∴∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠BOE＝∠BDA，
∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，
∴∠ADO＝45°，
∴AO＝AD，
∴△AOF≌△ABD（ASA），
∴OF＝BD，
∴AF＝AB，
连接BF，如图1，
∴BF＝AF，
∵BE＝DE，OE⊥BD，
∴DF＝BF，
∴DF＝AF，故③正确；
④根据题意作出图形，如图2，
∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，
∴AG＝OG，
∴∠AOG＝∠OAG，
∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，
∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，
∴∠FAG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，
∴∠EAG＝90°，
∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，
∴∠AEG＝45°，
∴AE＝AG，
∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；
∴判断正确的是①③④．
故答案为：①③④．
8．（2021•贵阳）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
【答案】（1）略 （2）4﹣8．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在△ABN和△MAD中，
，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）解：∵△ABN≌△MAD，
∴BN＝AD，
∵AD＝2，
∴BN＝2，
又∵AN＝4，
在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，
∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，
∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．
9．（2021•金华）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．
（1）求矩形对角线的长；
（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．
【答案】（1）4 （2）tanα＝＝
【解答】解：（1）∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，
∴AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO，
∵AB＝2，
∴BO＝2，
∴BD＝2BO＝4，
∴矩形对角线的长为4；
（2）由勾股定理得：AD＝＝＝2，
∵OA＝OD，OE⊥AD于点E，
∴AE＝DE＝AD＝，
∴tanα＝＝．
1．（2021•田林县模拟）矩形纸片在平行投影下的正投影不可能是（ ）
A．矩形B．平行四边形C．线段D．点
【答案】D
【解答】解：一张矩形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是点，
故选：D．
2．（2021•临沂模拟）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标为（ ）
A．（）、（﹣）B．（）、（﹣）
C．（）、（﹣）D．（）、（﹣）
【答案】B
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC∥OB，AC＝OB，
∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO，
在△ACF和△OBE中，
，
∴△CAF≌△BOE（AAS），
∴BE＝CF＝4﹣1＝3，
∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠AOD＝∠OBE，
∵∠ADO＝∠OEB＝90°，
∴△AOD∽△OBE，
∴，
即＝，
∴OE＝，即点B（，3），
∴AF＝OE＝，
∴点C的横坐标为：﹣（2﹣）＝﹣，
∴点C（﹣，4）．
故选：B．
3．（2021•任城区校级一模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OM⊥AC，交BC于点M，过点M作MN⊥BD，垂足为N，则OM+MN的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为12，AC＝＝＝5，
∴DO＝BO＝AC＝，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△BOC的面积为3，
∵MN⊥BD，OM⊥AC，
∴S△BOC＝S△BOM+S△MOC，即3＝BO×MN+CO×OM，
∴3＝××MN+×OM，
∴5（MN+OM）＝12，
∴OM+MN＝，
故选：C．
4．（2021•涪城区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，有下面结论：①CF＝2AF；②DF＝EF；③∠DFC＝∠AEB；④tan∠CAD＝2．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：①∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝，
∵AE＝AD＝BC，
∴＝，
∴CF＝2AF，故①正确；
②如图，延长BE、CD交于点M，
设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，
由△BAE∽△ADC，有 ＝，即b＝a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，CD＝AB＝a，
∴＝＝，
∴MC＝2MD，
∴MD+CD＝2MD，
∴CD＝MD＝a，
∴MC＝2CD＝2a，
∵∠CFM＝90°，
∴DF＝MC＝a，
在Rt△ABE中，BE＝＝＝a，
∵∠AEF＝∠BEA，∠AFE＝∠BAE＝90°，
∴△EAF∽△EBA，
∴＝，即＝，
∴EF＝a，
∴＝＝，
∴DF＝EF，故②正确；
③如图，由②可得：DF＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
又∵△BAE∽△ADC，
∴∠AEB＝∠DCF，
∴∠DFC＝∠AEB，故③正确；
④如图，设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，
由②知，b＝a，
∴tan∠CAD＝＝＝＝，故④错误；
故选：C．
5．（2021•嘉兴二模）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6，E是CD上一点，连结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．若AD＝3GD，则DE的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：过点E作EH⊥FG，交FG于点H，如图，
由题意：△AEF≌△AED，则AF＝AD＝6，DE＝EF．
∵AD＝6，AD＝3GD，
∴GD＝2．
∴AG＝AD﹣DG＝6﹣2＝4．
∵FG⊥AD，
∴FG＝．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵FG⊥AD，EH⊥FG，
∴四边形GHED为矩形．
∴GH＝DE，HE＝GD＝2．
设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝2﹣x，
在Rt△HEF中，
∵HF2+HE2＝EF2，
∴．
解得：x＝．
∴DE＝．
故选：C．
6．（2021•南岗区校级二模）如图，矩形ABCD，点E是AD边上的一点，将矩形沿直线BE翻折，点A落在DC边上的点F处，若AB＝10，AD＝8，则线段AE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解答】解：∵△EFB是由△EAB沿直线BE翻折得到，
∴△EFB≌△EAB，
则AE＝EF，BF＝AB＝10．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝10，∠C＝∠D＝90°．
在Rt△BCF中，
CF＝＝6，
∴DF＝DC﹣CF＝10﹣6＝4．
设AE＝x，则EF＝AE＝x，DE＝8﹣x，
在Rt△DEF中，
∵DE2+DF2＝EF2，
∴（8﹣x）2+42＝x2．
解得：x＝5．
则AE＝5．
故选：C．
7．（2021•江北区模拟）如图，矩形ABCD（AD＞AB），分别以AD、BC为边向内作等边三角形（图1）；分别以AB、CD为边向内作等边三角形（图2），两个等边三角形的重叠部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．若＝8，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：设AD＝BC＝a，AB＝CD＝b，如图1，
由题意：∠ADN＝∠BCH＝60°，
∴∠NDC＝∠HCD＝30°．
∴FD＝FC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FNC＝∠ADN＝60°．
∴△FNC为等边三角形．
∴FN＝FC，
∴FN＝FD．
∴．
在Rt△DNC中，
∵tan∠NDC＝，
∴NC＝．
∴＝×＝．
同理：S△DHF＝S△AGE＝S△ABE＝S△BEM＝．
∴S1＝S矩形ABCD﹣S△NFC﹣S△DFC﹣S△DHF﹣S△MBE﹣S△ABE﹣S△AGE＝ab﹣；
如图2，过点H作HM⊥AD于M，过点G作GN⊥AB于点N，
由题意：∠HEF＝∠HGF＝∠GAB＝∠EDC＝60°，
GA＝AB＝CD＝ED＝EC＝GB．
∴∠HAD＝∠HDA＝30°，
∴HA＝HD．
∵HM⊥AD，
∴AM＝AD＝a．
∵tan∠MAH＝，
∴MH＝AM×tan30°＝，
∴AD×MH＝．
同理：．
∵△GAB为等边三角形，GN⊥AB，
∴AN＝AB＝b，
∵AG＝AB＝b，
∴GN＝．
∴．
同理：．
∴S2＝S△ABG+S△CDE+S△ADH+S△BFC﹣S矩形ABCD＝．
∵＝8，
∴．
∴．
解得：a＝或a＝．
由题意可知：a＜b，
∴a＝．
∴．
故选：B．
8．（2021•北碚区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线BD、AC交于点O，过点A、B分别作BD、AC的平行线交于点E．
（1）求证：四边形AEBO是菱形：
（2）若∠ACB＝30°，AD＝4，求四边形AEBO的面积．
【答案】（1）略 （2）2
【解答】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，OB＝BD，OA＝AC，
∴OB＝OA，
∴四边形AEBO是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，
∵∠ACB＝30°，
∴∠BAO＝60°，AB＝BC•tan30°＝4×＝，
∵AO＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴S△ABO＝AB＝×＝1，
∴菱形AEBO的面积＝2S△ABO＝2．
9．（2021•普宁市模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O，连接AN、CM．
（1）求证：四边形AMCN是菱形；
（2）若AB＝3，AD＝6，求出AE的长．
【答案】（1）略 （2）
【解答】（1）证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AMO＝∠CNO，
在△AOM和△CON中
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∴AM＝CM＝CN＝AN，
∴四边形AMCN是菱形；
（2）解：连接CE，如图所示：
∵MN是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，则DE＝6﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDE＝90°，CD＝AB＝3，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+DE2＝CE2，
即32+（6﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
即AE的长为．
10．（2021•张湾区模拟）如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长．
【答案】（1） 略 （2）DG＝．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝EC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC，
在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，
根据勾股定理，得
AE＝＝＝5，
∵四边形AECF是菱形，
∴EC＝AE＝5，
∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠AEB，
∵DG⊥AE，
∴∠DGA＝∠B＝90°，
∴△ADG∽△EAB，
∴＝，
即＝，
∴DG＝．