2022-2023学年天津市河北区高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年天津市河北区高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析判断.

【详解】由题，故A错；

∵，，∴，B正确；

，C错；

，D错；

故选:B

2．若集合且，则实数m的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解方程得集合A，分为，，，分别求出的值，综合可得答案.

【详解】由于，，

对B分3种情况讨论：，即方程无解，可得；

，即方程的解为，即，可得；

，即方程的解为，即，可得；

综上可得：实数的值组成的集合为；

故选：A.

【点睛】本题主要考查集合间的包含关系的运用，注意集合可能为空集，属于基础题.

3．“为整数”是“为整数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由当为整数时，必为整数；当为整数时，比一定为整数；即可选出答案.

【详解】当为整数时，必为整数；

当为整数时，比一定为整数，

例如当时，.

所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.

故选：A.

4．命题，的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】由存量量词命题的否定规则求解即可

【详解】因为命题，的否定是：

，，

故选：C

5．下列函数中与函数是同一函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】逐一判断四个选项中函数的定义域与对应法则是否与一致，进而得出答案.

【详解】函数的定义域为

对于A项，的定义域为，对应法则与一致，则A正确；

对于B项，的对应法则与不一致，则B错误；

对于C项，的定义域为，则C错误；

对于D项，的定义域为，则D错误；

故选：A

6．下列不等式中成立的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】A，如时，，所以该选项错误；BCD，利用作差法比较大小分析得解.

【详解】A. 若，则错误，如时，，所以该选项错误；    

B. 若，则，所以该选项正确；

C. 若，则，所以该选项错误；

D. 若，则，所以该选项错误.

故选：B

7．函数的图象为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】化简函数解析式，即可得出合适的选项.

【详解】因为，故函数的图象如D选项中的图象.

故选：D.

8．已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（    ）

A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数

D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

【答案】D

【分析】利用幂函数的定义求得指数的值，得到幂函数的解析式，进而结合幂函数的图象判定单调性和奇偶性

【详解】设幂函数的解析式为，

将点的坐标代入解析式得，解得，

∴，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数，

故选：D.

9．定义在上的奇函数在是减函数，且，则满足的x的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据奇函数的性质，求得不等式的解集.

【详解】由于是奇函数，故.由于奇函数在是减函数，所以在上是减函数.由得，所以，解得.

故选C.

【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.

10．已知，，若恒成立，则实数的取值范围是

A．或 B．或

C． D．

【答案】C

【分析】利用基本不等式求的最小值为，由恒成立得到，解不等式得到的范围.

【详解】因为，等号成立当且仅当，

所以，解得：.

【点睛】利用基本不等式求最值，注意“一正、二定、三等”三个条件，要确保等号能取到.

二、填空题

11．函数的定义域为______.

【答案】

【分析】利用二次根式被开方数非负和分式分母不为零，列不等式组可求得答案

【详解】由题意得，解得且，

所以函数的定义域为，

故答案为：

12．集合，用列举法表示是___________.

【答案】

【分析】直接根据条件写出结果.

【详解】

故答案为：.

13．设函数，若，则实数的值为_____．

【答案】

【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则即可求解.

【详解】由题意知，；

当时，有，解得(舍去)；

当时，有，解得(舍去)或．

所以实数的值是：．

故答案为：.

14．计算：___________．

【答案】6

【分析】根据根式指数幂的互化，以及指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.

【详解】根据根式指数幂的互化，以及指数幂的运算性质，

可得．

故答案为：

15．已知函数（，且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，则的最小值为___________.

【答案】##

【分析】先根据指数函数求定点，再结合基本不等式中“1”的灵活运算求解.

【详解】令，即，则，

∴函数（，且）的图象恒过定点，

由题意可得：，

∴，当且仅当时等号成立，

故的最小值为.

故答案为：.

三、解答题

16．已知集合，或，全集．

(1)若，求，；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）将代入集合中确定出，求出与的交集，求出的补集，求出与补集的交集即可；

（2）根据交集的定义可得答案.

【详解】（1）将代入集合中的不等式得：，

∵或，

∴，，

则；

（2）∵，或，

因为，所以不是空集，

因为，所以，

解得，

所以实数的取值范围为.

17．已知函数（，且）.

(1)若函数的图象过点，求实数a的值；

(2)若，当时，求函数的取值范围；

(3)求关于x的不等式的解集.

【答案】(1)

(2)

(3)见解析

【分析】（1）由题意列式求解，

（2）由指数函数性质求解，

（3）由指数函数性质，根据的取值分类讨论求解，

【详解】（1）由题意得，，故，

（2），当时，，

由指数函数性质得

（3）不等式即，

当时，由得，原不等式的解集为，

当时，由得，原不等式的解集为，

18．已知函数，点，是图象上的两点.

(1)求a，b的值；

(2)根据定义证明函数的奇偶性；

(3)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)在上单调递增，证明见解析

【分析】（1）将函数图象上的点的坐标代入函数解析式得到关于a，b的方程组，解方程组得到a，b的值；

（2）根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；

（3）根据函数单调性的定义，利用作差法比较函数值大小，进而判断函数的单调性.

【详解】（1）因为点，是图象上的两点，

所以，

解得.

（2）函数为奇函数，理由如下：

由（1）得，

易得函数的定义域为，

且对任意，有，

所以函数为奇函数.

（3）设，

则，

因为，

所以，

则，即，

所以函数

因为在上单调递增.

19．已知函数，.

(1)若函数的图像经过点，求不等式的解集；

(2)若关于x的不等式对一切实数x都成立，求b的取值范围；

(3)当时，函数的最小值为1，求当时，函数的最大值.

【答案】(1)

(2)

(3)当时，的最大值为13，当时，最大值为

【分析】（1）把图像上的点代入函数解析式，求出未知系数，解一元二次不等式即可；

（2）恒成立，转化为，利用二次函数的性质，得到，解方程可得的范围；

（3）分类讨论函数单调区间，找到最小值点，由最小值为1，求出系数b，再求函数在区间内的最大值.

【详解】（1）由题可得，∴，

由，解得，

所以，不等式的解集为；

（2）恒成立，转化为，，

当且仅当时，取最小值，故，化简得，

，解得

（3）因为是二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴为，

①若，则在上是增函数，∴，解得，∴；

②若，则在上是减函数，∴，解得（舍）；

③若，则在上是减函数，在上是增函数；∴，解得或（舍）．∴；

综上，当时，的最大值为13，当时，最大值为．