2022-2023学年天津市河北区高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年天津市河北区高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．下列说法中正确的是（    ）

A．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同

B．零向量是最小的向量

C．若向量与向量平行，向量与向量平行，则向量与向量一定平行

D．单位向量的长度为1

【答案】D

【分析】利用向量的定义与性质即可判断AB，利用零向量的特殊性即可判断C，根据单位向量的定义即可判断D.

【详解】对A，若向量方向不同，则终点不同，故A错误；

对B，向量无大小之分，故B错误；

对C，若，根据零向量与任何向量共线，则与可能不平行，故C错误；

对D，根据单位向量的定义知，单位向量的长度为1，故D正确.

故选：D.

2．若复数满足，则的虚部是（    ）

A．3 B．-3 C． D．

【答案】B

【分析】根据虚部的定义直接得到答案.

【详解】复数满足，则的虚部是.

故选：B

3．已知，且点，则点B的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设点B的坐标为，化简即得解.

【详解】解：设点B的坐标为，则，

所以，即点B的坐标为．

故选：B

4．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ）

A． 是棱台 B． 是圆台

C． 不是棱柱 D． 是棱锥

【答案】D

【分析】根据棱台，圆台，棱柱，棱锥的概念即可判断．

【详解】对A，侧棱延长线不交于一点，不符合棱台的定义，所以A错误；

对B，上下两个面不平行，不符合圆台的定义，所以B错误；

对C，将几何体竖直起来看，符合棱柱的定义，所以C错误；

对D，符合棱锥的定义，正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查棱台，圆台，棱柱，棱锥的概念的理解，属于基础题．

5．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（    ）

A． B．8 C．6 D．

【答案】B

【分析】根据斜二测画法得出原图形四边形的性质，然后可计算周长．

【详解】由题意，所以原平面图形四边形中，，，，所以，

所以四边形的周长为：．

故选：B．

6．在中，，则（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】B

【分析】根据三角形内角和先求出角，再根据正弦定理即得．

【详解】因为，所以，

由正弦定理可得，，即，

解得．

故选：B．

7．已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（    ）

A．1 B． C．1或 D．或

【答案】B

【分析】利用向量共线的充要条件，再根据题设条件建立方程组，求出结果.

【详解】由于与反向共线，则存在实数k，使得，

则有，即，

又向量，不共线，所以，

消整理得，解得或，又因为，所以， 故.

故选：B.

8．在中，内角、、的对边分别为，，，且，则的形状是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】利用正弦定理将边化角得到，再由诱导公式及两角和的正弦公式判断即可．

【详解】解：在中，，

由正弦定理得，又，

，

即，

，

在中，，

，又，

．

是直角三角形．

故选：B．

9．某人向东偏北60°方向走50步，记为向量；向北偏西60°方向走100步，记为向量；向正北方向走200步，记为向量．假设每步的步长都相等，则向量可表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可.

【详解】如图，由步为单位长度，建立平面直角坐标系，

则，，，

由可得，解得，

所以，

故选：A

10．“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明.它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上.此模型的体积为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可求出内、外侧圆柱的高分别为，底面半径为则模型的体积为.

【详解】内层圆柱的底面半径，外层圆柱底面半径，

内外层的底面圆周都在一个直径为的球上，球的半径，

如图，以内层圆柱为例，

∵内层圆柱的底面圆周在球面上，

∴球心与内层圆柱的底面圆心的连线垂直于底面圆，

则，∴，

根据球的对称性可得，内层圆柱的高为，

同理可得，外层圆柱的高为，

故此模型的体积为：.

故选：C.

二、双空题

11．已知i是虚数单位，化简的结果为______；的值为______.

【答案】     /    

【分析】空1：利用复数的除法计算即可；空2：根据复数模的定义即可得到答案.

【详解】，

则.

故答案为：；.

12．一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是______；与“你”字相对的字是______.

【答案】     前     程

【分析】将展开图还原为四棱台即可得到答案.

【详解】通过还原得几何体为四棱台，则与“祝”字相对的子是“前”，与“你”相对应的字为“程”.

故答案为：前；程.

三、填空题

13．若向量满足，则_________.

【答案】

【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案

【详解】∵

∴

∴.

故答案为：.

14．已知是关于的方程的一个根，则______.

【答案】18

【分析】将代入方程，即可得到关于的方程组，解出即可.

【详解】将代入方程得，

即，则，解得，

故，

故答案为：18.

15．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________

【答案】

【分析】利用计算即可.

【详解】

因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点

所以

故答案为：

【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.

四、解答题

16．已知复数，.

(1)若是实数，求的值；

(2)若是纯虚数，求的值；

(3)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.

【答案】(1)或；

(2)；

(3)

【分析】（1）根据虚部为零列方程求解；

（2）根据实部为零，虚部不为零列方程求解；

（3）根据实部大于零，虚部小于零列不等式求解；

【详解】（1）解：，且是实数，

，

解得或；

（2）解：是纯虚数，

，

解得；

（3）解：在复平面内对应的点在第四象限，

，

解得.

17．已知向量，.

(1)求的值；

(2)求及向量在向量上的投影向量的坐标；

(3)若，求实数的值.

【答案】(1)

(2)，

(3)

【分析】（1）求出的坐标，进而可得模；

（2）直接利用数量积的坐标运算求，至于投影向量也直接用公式求解即可；

（3）求出的坐标，然后利用求解实数的值即可.

【详解】（1），，

，

；

（2），，

，

向量在向量上的投影向量为；

（3）由已知，

，

，解得.

18．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，.

(1)用，表示，.

(2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.

【答案】(1)；

(2)，证明见解析

【分析】（1）根据向量加减法法则和向量数乘即可求解；

（2）证明即可判断EF⊥EG.

【详解】（1）；

.

（2）.

证明如下：

由（1）知，，，

.

，.

19．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且.

(1)求角；

(2)若，，求边及的面积；

(3)在（2）的条件下，求的值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用平行向量的坐标关系得，结合正弦定理与角度关系，即可得角；

（2）根据余弦定理求得边长，再利用面积公式求解即可.

（3）利用正弦定理求出，再求出，再利用二倍角公式求出，最后再利用两角和与差的正弦公式即可.

【详解】（1）因为向量，，且

所以，由正弦定理得，

又，则，显然，

则，又，所以.

（2）由余弦定理的，

整理得，解得或（舍），

所以的面积.

（3）由正弦定理得，即，解得，

因为，故角为锐角，故，

，

，

.