2022-2023学年四川省遂宁中学校高一上学期期中考试数学试题（解析版）

四川省遂宁市船山区

四川省遂宁中学2022～2023学年度上期半期考试

高一数学

考试时间：120分钟          满分：150分

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上.

2．选择题用2B铅笔在对应的题号涂黑答案.主观题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内.

3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡上交.

第Ⅰ卷（选择题   共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集定义运算即可

【详解】因为，所以,

故选：B.

【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.

2. 已知，，则是的（   ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分和必要条件的定义即可求解.

【详解】由，可得出，

由，得不出，

所以是的充分而不必要条件，

故选：A.

3. 已知函数，若，则实数的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的解析式求得，继而可得，可得，即可求得答案.

【详解】由题意可得，故，

所以，

故选:A

4. 下列函数中，满足“对任意，当时，都有的是（    ）

A.  B. =

C. = D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题设条件可得函数为上的减函数，结合反例或反比例函数的性质可得正确选项.

【详解】因为对任意，当时，都有，

故为上的减函数，

对于A，，故不是上的减函数；

对于B，，故不是上的减函数；

对于C，由反比例函数的单调性可得是上的减函数；

对于D，，故不是上的减函数；

故选：C.

5. 已知函数．则的值为（    ）

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，令可得的值，将的值代入，即可得答案．

【详解】解：根据题意，函数，若，解可得，

将代入，可得，

故选：．

6. 设是定义域为R的函数.命题“存在，”的否定形式是（    ）

A. 任意， B. 任意，或

C. 任意， D. 任意，或

【答案】D

【解析】

【分析】根据特称命题的否定直接求解即可.

【详解】解：命题“存在，”的否定形式是“任意，或”.

故选：D.

7. 设则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数的单调性判断大小关系，再根据幂函数在上的单调性，得大小关系，即可得结果.

【详解】解：因为

且函数在上单调递减，所以，即

又函数在上单调递增，所以，即

综上，.

故选：A.

8. 已知定义在R上的函数满足：且对任意有，若，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先由题给条件得到函数的单调性及奇偶性，进而得到关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围

【详解】定义在R上的函数满足：，

则有恒成立，则为R上的奇函数

由对任意有

可得为R上增函数

则由，可得

则有，解之得或

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9. 下列函数中为奇函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可求解.

【详解】A.因为定义域为，关于原点对称，且，故函数为奇函数，所以A选项正确；

B.函数定义域为，关于原点对称，且，故函数为奇函数，所以B选项正确；

C.函数定义域为，关于原点对称，且，故函数为偶函数，所以C错误；

D. 函数定义域，关于原点对称，且，故函数为奇函数，所以D正确，

故选：ABD.

10. 下列选项不正确的是（   ）

A. 49的平方根为7； B. ；

C. ； D. ．

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据平方根与算数平方根、绝对值、指数的基本运算，即可判断正误.

【详解】解：对于A，49的平方根为，A选项错误；

对于B，，B选项正确；

对于C，，只有，C选项错误；

对于D，，D选项错误；

故选：ACD.

11. 下列命题不正确的（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用不等式的性质，结合特殊值法、比较法逐一判断即可.

【详解】A：且，因此，

即，故本命题不正确；

B：因为，显然不成立，所以本命题不正确；

C：由，而，

所以有，而，故本命题正确；

D：若，显然成立，但是不成立，故本命题不正确，

故选：ABD

【点睛】方法点睛：关于不等式是否成立问题，一般有直接运用不等式性质法、特殊值法、比较法.

12. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式（，）叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ）

A. 若，，，则

B. 若，，，则的最小值为

C. 若，，，则的最小值为

D. 若，，，则的最小值为2

【答案】AD

【解析】

【分析】A.根据，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断；B. 令，得到，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断； C.由，得到，利用基本不等式求解判断.D. 令，得到，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断.

【详解】A.因为，，，所以，

当且仅当，即时，等号成立，故正确；

B. 因为，，，令，则，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，故B错误；

C. 因为，，，所以，

则，当且仅当，即时，等号成立，故错误；

D. 令，则，，则，

而，

当且仅当，即时，等号成立，故正确；

故选：AD

第Ⅱ卷（非选择题   共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知,，则,的大小关系是 _____．

【答案】

【解析】

分析】利用作差法直接比较大小.

【详解】解：因为,

所以

所以.

故答案为：.

14. 已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.

【答案】-1

【解析】

【分析】根据幂函数，当为奇数时，函数为奇函数，时，函数在(0，＋∞)上递减，即可得出答案.

【详解】解：∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴可取－1，1，3，

又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故＝－1.

故答案为：-1.

15. 若函数恒满足对称，则实数m的取值为______

【答案】

【解析】

【详解】根据确定函数图象的对称轴，结合二次函数对称轴方程即可求得答案.

函数恒满足对称，

则图象关于直线对称，则，

故答案为：

16. 对任意的，使不等式恒成立，则的取值范围 __________.

【答案】

【解析】

【分析】将不等式变形后看作为的一次函数，从而只需，解出答案.

【详解】由题知，不等式即，

设，则在上恒成立

因为为一次函数，所以只需，即，

解得或，

所以的取值范围为

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分（10+12×5）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知函数.

（1）求的定义域；

（2）计算.

可参考：，其中，

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据偶次根式的被开方数大于等于零、分式分母不为零列出不等式组，解之即可；

(2)判断变量是否有意义，然后代入计算即可.

【小问1详解】

要使函数有意义，则有，

解之可得：函数定义域为，

【小问2详解】

因为，

所以

.

18. 已知，

（1）在所给坐标系中画出的图象；

（2）直接写出的值域.

【答案】（1）作图见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据分段函数作图，注意端点值的取舍；（2）根据值域的定义结合图象求解.

【小问1详解】

函数图象如下所示：

小问2详解】

当时，则；

当时，则；

结合图象可得：函数的值域为.

19. 已知.

（1）求ab的最大值；

（2）求的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；

（2）利用“1”的代换，将原式变形后再利用基本不等式求解即可.

【小问1详解】

因为，，所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以ab的最大值为.

【小问2详解】

因为，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为.

20. 已知函数．

（1）判断并证明的奇偶性；

（2）判断函数在上的单调性，并证明．

【答案】（1）是奇函数，证明见解析   

（2）在上单调递增，证明见解析

【解析】

【分析】（1）求出函数定义域，然后利用函数奇偶性的定义即可证明；

（2）根据函数单调性的定义证明即可.

【小问1详解】

解：是奇函数，

证明：，其定义域为，关于原点对称，

又由，

所以是奇函数；

【小问2详解】

解：在上单调递增．

证明：设，则

因，所以，，

则，即，

所以在上单调递增.

21. 吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）

（1）求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；

（2）当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？

【答案】（1）   

（2）70万盒

【解析】

【分析】（1）根据题意分和两种情况求解即可；

（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.

【小问1详解】

当产量小于或等于50万盒时，，

当产量大于50万盒时，，

故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为

【小问2详解】

当时，；

当时，，

当时，取到最大值，为1200．                   

因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．

22. 给定函数．且用表示，的较大者，记为．

（1）若，试写出的解析式，并求的最小值；

（2）若函数的最小值为，试求实数的值．

【答案】（1），；（2）或．

【解析】

【分析】由的定义可得，（1）将代入，写出解析式，结合分段区间，求，的最小值并比较大小，即可得的最小值；（2）结合的解析式及对称轴，讨论、、分别求得对应最小值关于的表达式，结合已知求值.

【详解】由题意，

当时，，

当时，，

∴

（1）当时，，

∴当时，，此时，

当时，，此时，

.

（2），且对称轴分别为，

①当时，即时，在单调递减，单调递增；

，即，（舍去），

②当，即时，在单调递减，单调递增；

，有，故此时无解.

③当，即时，在单调递减，单调递增；

，即，（舍去）

综上，得：或.

【点睛】关键点点睛：写出的解析式，第二问需结合各分段上的函数性质-对称轴，讨论参数范围求最小值关于参数的表达式，进而求参数值.