2022-2023学年四川省宜宾市第四中学校高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省宜宾市第四中学校高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合与元素的关系，即可作出判断.

【详解】对于A，集合A为数集，集合B为点集，显然二者不等；

对于B，，显然；

对于C，当时，，所以；

对于D，当时，，所以.

故选：C

2．已知，若集合，则的值为（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【分析】根据两集合相等，对应元素相等，然后列出方程求出即可得到结果.

【详解】因为

所以有，解得或

当时，不满足集合中元素的互异性，

故

则

故选:B.

3．下列表示错误的是（    ）

A． B．

C．= D．若则

【答案】C

【分析】由元素与集合的关系可判断A；由集合与集合的包含关系可判断B；由描述法可判断C；由集合的包含关系与并集的定义可判断D

【详解】对于A：因为空集没有任何元素，故，故A正确；

对于B：因为空集是任何集合的子集，故，故B正确；

对于C：表示与的交点所构成的集合，

所以，故C错误；

对于D：若则，故D正确；

故选：C

4．因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（    ）

A．甲方案 B．乙方案 C．一样 D．无法确定

【答案】B

【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得.

【详解】设两次加油的油价分别为，（，且），甲方案每次加油的量为；乙方案每次加油的钱数为，

则甲方案的平均油价为：，乙方案的平均油价为：，

因为，

所以，即乙方案更经济．

故选：B．

5．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先判断函数是偶函数可淘汰B，然后将代入函数可淘汰D，再算出函数的零点个数可淘汰A，即可求解

【详解】由可得，所以是偶函数，故淘汰B选项；

因为，故淘汰D选项，

令，解得，故只有两个零点，故淘汰A选项，

故选：C

6．已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（    ）

A．4 B．2 C．1 D．

【答案】B

【分析】由求得，再由方程有两个正实数根，，利用根的分布得到，然后利用韦达定理求解.

【详解】因为函数（b，c为实数），，

所以，

解得，

所以，

因为方程有两个正实数根，，

所以，

解得，

所以，

当c=2时，等号成立，所以其最小值是2，

故选：B

7．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由时，恒成立，可得函数在区间上单调递增，再根据函数是偶函数，可得函数图象关于直线对称，根据函数的单调性与对称性即可得解.

【详解】解：因为当时，恒成立，

所以函数在区间上单调递增，

由于函数是偶函数，故函数图象关于y轴对称，

所以函数图象关于直线对称，

所以，，

由，函数在区间上单调递增，

所以．

故选：B.

8．已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题可得函数关于点对称，函数在R上单调递增，进而可得，利用函数的单调性即得.

【详解】由，得且函数关于点对称．

由对任意，，均有，

可知函数在上单调递增．

又因为函数的定义域为R，

所以函数在R上单调递增．

因为a，b为关于x的方程的两个解，

所以，解得，

且，即．

又，

令，则，

则由，得，

所以．

综上，t 的取值范围是.

故选：D．

二、多选题

9．已知函数，若，则实数的值为（   ）

A． B． C． D．1

【答案】CD

【分析】分和两种情况进行讨论即可

【详解】因为函数，，

所以当时，，解得；

当时，，即解得，

故选：CD

10．下列说法正确的有（    ）

A．“，”的否定是“，”

B．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是

C．若，，，则“”的充要条件是“”

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】ABD

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断A；由命题为假命题可得方程无解，则，即可判断B；根据充分条件和必要条件的定义即可判断CD.

【详解】解：对于A，因为存在量词命题的否定为全称量词命题，

所以“，”的否定是“，”，故A正确；

对于B，若命题“，”为假命题，

则方程无解，

所以，解得，

所以实数的取值范围是，故B正确；

对于C，当时，，则由不能推出，

所以“”的充要条件不是“”，故C错误；

对于D，若，则，

故由可以推出，

若当时，，则由不可以推出，

所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确.

故选：ABD.

11．已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．不等式的解集是

C．不等式的解集是

D．

【答案】BCD

【分析】根据给定的解集，结合一元二次不等式的解法确定a的符号，并用a表示b，c，再逐项判断作答.

【详解】因关于的不等式的解集是或，则是一元二次方程的二根，且，

则有，即，且，A不正确；

不等式化为：，解得，即不等式的解集是，B正确；

不等式化为：，即，解得，

因此不等式的解集是，C正确；

，D正确.

故选：BCD

12．若实数满足，则下列选项正确的是（    ）

A．最大值是 6 B．的最小值是

C．的最大值是 D．的最大值是 3

【答案】ACD

【分析】根据基本不等式判断各选项．

【详解】，当且仅当时等号成立，

，则，，时等号成立，A正确；

，，时等号成立，D正确；

．，当且仅当时取等号，

，，所以时，取得最大值，B错C正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．函数的定义域为__________.

【答案】

【分析】根据二次根式，分式，零次幂的性质列出不等式求解函数的定义域即可.

【详解】解：因为

所以函数的定义域满足：，解得：且

所以函数的定义域为：.

故答案为：.

14．函数的单调减区间是______．

【答案】，

【分析】根据绝对值的定义去绝对值，写成分段函数形式，再根据函数单调性求得单调递减区间．

【详解】去绝对值，得函数

当 时，函数 的单调递减区间为

当 时，函数的单调递减区间为

综上，函数  的单调递减区间为，

故答案为：，

15．已知集合，，“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______．

【答案】

【分析】根据命题的充分必要性可得集合间关系，进而可得参数范围.

【详解】由“”是“”的充分不必要条件，

得，

所以，

解得，

故答案为：.

16．已知，对于任意的，都存在，使得成立，其中，则m的范围是______.

【答案】

【分析】对双变量问题，先处理不含参部分，根据存在性问题可得，结合二次函数的对称性可求得最值，进而可得，再根据恒成立问题结合参变分离运算求解.

【详解】∵存在，使得，则

的对称轴为，则当时，取到最大值为

∴，则

∵任意的，，则

在上单调递增，则当时取到最小值

故m的范围是

故答案为：.

四、解答题

17．（1）已知，计算：；

（2）设，，求的值．

【答案】（1）4；（2）27

【分析】（1）对两边平方，求出，再对此式两边平方，化简可得，从而代入可求结果，

（2）将等式两边化为同底数幂的形式，然后可得关于的方程组，求出的值，从而可求得的值

【详解】（1）因为，所以，

所以，所以，                        

所以，即，所以，

所以．                        

（2）因为，所以，即．

又，所以，即，

由，解得，

故的值为27．

18．已知集合，，.

(1)求，；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)或.

【分析】（1）根据集合的交并运算求得，；

（2）根据是否为空集进行分类讨论，由此求得的取值范围.

【详解】（1），，

∴，.

（2），

当时，，∴．

当时，，∴．

综上所述，或.

19．已知不等式的解集为或，其中．

(1)求实数，的值；

(2)当时，解关于的不等式（用表示）．

【答案】(1)、

(2)答案见解析

【分析】（1）依题意、为方程的两根，代入方程得到关于、的方程组，解得即可；

（2）由（1）可得不等式即，即，分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.

【详解】（1）解：依题意、为方程的两根，

所以，解得或，因为，

所以、；

（2）解：由（1）可得不等式，即，

即，

当时原不等式即，解得，所以不等式的解集为；

当时解得，即不等式的解集为；

当时解得，即不等式的解集为；

综上可得：当时不等式的解集为，

当时不等式的解集为，

当时不等式的解集为.

20．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.

(1)求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；

(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.

【答案】(1)

(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元

【分析】（1）由题意可知时，R=4000，代入函数中可求出，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式，

（2）分别当和求出函数的最大值，比较即可得答案

【详解】（1）由题意知，当时，，所以a=300.

当时，；

当时，.

所以，

（2）当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；

当时，，

当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.

因为，

所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.

21．设定义在上的函数，对任意，恒有．若时，．

(1)判断的奇偶性，并加以证明；

(2)判断的单调性，并加以证明；

(3)设为实数，若，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)是奇函数；证明见解析

(2)为减函数；证明见解析

(3)

【分析】（1）令可求得，令可得，由此可得奇偶性；

（2）设，由可得，由此可得单调性；

（3）利用单调性可将恒成立的不等式化为，利用二次函数性质可求得，由此可得的取值范围.

【详解】（1）令，则；

令，则，即，

为定义在上的奇函数.

（2）设，则，，

又，，为定义在上的减函数.

（3）由得：，

在上单调递减，；

当时，取得最大值，最大值为，

，即实数的取值范围为.

22．已知是定义在上的奇函数，当时，．

(1)求在上的解析式；

(2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用为奇函数得到，设，利用奇函数的运算即可得到答案；

（2）题意可整理得在上有解，令，求其最小值即可求解

【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，时，，

所以，解得，

所以时，，

当时，，所以，

又，所以，

所以在上的解析式为；

（2）由（1）知，时，，

所以可整理得，

令，根据指数函数单调性可得，为减函数，

因为存在，使得不等式成立，等价于在上有解，

所以，只需，

所以实数的取值范围是