2022-2023学年四川省遂宁市遂宁高级实验学校高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省遂宁市遂宁高级实验学校高二上学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由直线方程求出斜率，根据斜率求出倾斜角.

【详解】设直线倾斜角为，

由，可得，

所以斜率为，

由，可知倾斜角为.

故选：D.

2．以点为圆心且与直线相切的圆的方程是

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：由题意，因此圆方程为．

【解析】圆的标准方程．

3．已知直线与直线平行，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．0

【答案】C

【分析】由直线的位置关系列式求解，

【详解】由题意知，则，得，经检验，时，

故选：C

4．《算法统宗》是由明代数学家程大位所著的一部应用数学著作，其完善了珠算口诀，确立了算盘用法，并完成了由筹算到珠算的彻底转变，该书清初又传入朝鲜、东南亚和欧洲，成为东方古代数学的名著.书中卷八有这样一个问题：“今有物靠壁，一面尖堆，底脚阔一十八个，问共若干？”如图所示的程序框图给出了解决该题的一个算法，执行该程序框图，输出的S即为该物的总数S，则总数S=（    ）

A．136 B．153 C．171 D．190

【答案】C

【分析】执行程序框图，计算S

【详解】由图可知，输出

故选：C

5．关于直线、与平面、，有以下四个命题：

①若，且，则；

②若，且，则；

③若，且，则；

④若，且，则.

其中真命题的序号是（    ）

A．①② B．③④ C．①④ D．②③

【答案】D

【分析】根据①②③④中的已知条件判断直线、的位置关系，可判断①②③④的正误.

【详解】对于①，若，且，则与平行、相交或异面，①错误；

对于②，如下图所示：

设，因为，在平面内作直线，由面面垂直的性质定理可知，

，，，，，因此，，②正确；

对于③，若，，则，

因为，过直线作平面使得，由线面平行的性质定理可得，

，，则，因此，③正确；

对于④，若，且，则与平行、相交或异面，④错误.

故选：D.

【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．

6．方程表示的曲线为（    ）

A．圆 B．圆的右半部分

C．圆 D．圆的上半部分

【答案】D

【分析】平方后可判断曲线的形状.

【详解】因为，所以，

即，

故方程表示的曲线为圆的上半部分.

故选：D.

7．若、满足约束条件，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解.

【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

联立可得，即点，

平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，

此时取最大值，即.

故选：C.

8．已知实数满足，那么的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将配方得，由几何意义可知，表示直线上的动点与的距离的平方，根据点到直线的距离公式计算点到直线的距离，即可求解出最小值.

【详解】由可得，

可以看作直线上的动点与的距离的平方，

又因为点与的最小距离为到直线的距离，

为，

故的最小值为.

故选：A.

9．已知三棱锥的底面是正三角形，平面，且，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】如图所示，连接各线段，证明平面，得到即为直线与平面所成角，再计算线段长度得到答案.

【详解】如图所示：为中点，连接，，作于.

平面，平面，故，，，

故平面，平面，故，又，，

故平面，即即为直线与平面所成角.

设，则，，

故.

故选：B

10．已知函数，若，且，则坐标原点O与圆的位置关系是（    ）

A．点O在圆内 B．点O在圆上 C．点O在圆外 D．不能确定

【答案】C

【分析】画出分段函数的图象，求出关系，进而根据点与圆的位置关系定义，可得答案．

【详解】画出的图象如图：

，且，

且，，

，得，即，则，（当且仅当时，取得等号，故等号取不到），

圆，圆心坐标，半径为，

坐标原点到圆心的距离，

故坐标原点在圆外.

故选：C．

11．已知实数，满足：，则的取值范围为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】A

【分析】确定圆心和半径，将题目转化为点和点直线的斜率，画出图像，计算角度，计算斜率得到答案.

【详解】表示圆心为，半径的圆，

表示点和点直线的斜率，

如图所示：直角中，，故，

，故，同理可得，对应的斜率为和.

故，

故选：A

12．已知圆，圆，过圆上任意一点作圆的两条切线、切点分别为、，则的最小值是（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】C

【分析】两圆的圆心距为4，大于两圆的半径之和，可以知道两圆相离，结合图形，

的最小值是，利用向量数量积公式计算即可.

【详解】解：由题意可知，圆的圆心为，半径为1，圆的圆心，半径为2，

所以，

而，所以两圆相离，

，要使取得最小值，

需要和越小，且越大才能取到，

设直线CM和圆交于H，G两点（如下图），

则的最小值是，

，，

则，

所以，

故选：C.

二、填空题

13．过点且与直线平行的直线的方程是__________________.

【答案】

【分析】设与直线平行的直线的方程为，代点P计算即可.

【详解】设与直线平行的直线的方程为，

代入点得，解得

所以过点且与直线平行的直线的方程是

故答案为：

14．已知直线过点，且斜率为1，若圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为__________.

【答案】

【分析】由于圆上恰有3个点到的距离为1，则圆心到直线的距离等于半径减去1，列方程即可求解．

【详解】由于直线过点且斜率为1，

则直线，

圆上恰有3个点到的距离为1，

圆心到直线的距离等于半径减去1，

圆心到直线的距离为，解得，

因为，所以.

故答案为：.

15．已知正方体的棱长为2，点M、N在正方体的表面上运动，分别满足：，平面，设点M、N的运动轨迹的长度分别为m、n，则_______________.

【答案】##

【分析】的轨迹为半径为2的球与正方体表面的交线，即3个半径为2的圆弧，要满足平面，则N在平行于平面的平面与正方体表面的交线上，可证得为，最后求值即可得

【详解】点M、N在正方体的表面上运动，由，则的轨迹为半径为2的球与正方体表面的交线，即3个半径为2的圆弧，故.

正方体中，平面，平面，故平面平面，

当在上时，即满足平面且N在正方体的表面上，故，故.

故答案为：

16．在棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，给出下列命题：

①四点共面；

②三棱锥的体积与的取值有关；

③当时，；

④当时，过三点的平面截正方体所得截面的面积为.

其中正确的有__________（填写序号）.

【答案】①③

【分析】对于①，根据相交直线确定唯一平面即可判断；对于②，转化顶点即可判断；对于③，建立空间直角坐标系，当时，即可判断；对于④，当时，为的中点，过作且，则易证，易得过三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形，再计算等腰梯形的面积即可判断.

【详解】

对于①，易知，

因为，

所以四点共面，故①正确；

对于②，因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，

又易知到底面的距离等于定值，而的面积一定，

所以三棱锥的体积为定值，故②错误；

对于③，建立如图所示空间直角坐标系，

所以由题知，,

所以,

因为，

所以,

所以，

当时，，解得

所以与重合，

所以，故③正确；

对于④，当时，为的中点，

过作且，则易证，

所以易得过三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形，

又易知，

从而可得等腰梯形的高为，

所以截面等腰梯形的面积为，故④错误、

故答案为：①③

三、解答题

17．已知直角坐标平面内的两点，.

(1)求线段的中垂线所在直线的方程；

(2)一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，求反射光线所在的直线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出的中点坐标及中垂线的斜率，进而求出方程；

（2）求出关于轴对称点的坐标，即可求反射光线所在的直线方程．

【详解】（1）∵，

∴中点为.且.

∴线段的中垂线的斜率为1，

∴由直线方程的点斜式可得线段的中垂线所在直线方程为即.

（2）∵关于轴的对称点，

∴

所以直线的方程为：，

即反射光线所在的直线方程为

18．已知圆过两点，，且圆心在直线上．

(1)求该圆的方程；

(2)求过点的直线被圆截得弦长最小时的直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出的中垂线，根据求出圆心坐标，求出半径即可得解；

（2）直线被圆截得的弦长最小时是垂直于圆的直径所在的直线，求出直线方程.

【详解】（1）解：因为圆过两点，，设的中点为，则，

因为，所以的中垂线方程为y-2=(x-0)，即，

又因为圆心在直线上，，

解得，圆心，，

故圆的方程为．

（2）解：因为直线被圆截得弦长最小时CP⊥，

由过点，的斜率为，=-1，

所以直线的方程为，故直线的方程为．

19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是4长为的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为PA的中点，PA＝PD＝．

(1)求证：PC∥平面BMD；

(2)求二面角M－BD－P的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】连接AC交BD于N，连接由三角形中位线知MN∥PC即得证；

取AD的中点O，连接OP，说明OP、OD、ON两两相互垂直，则分别以OD、ON、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系利用向量法即可求出二面角的大小.

【详解】（1）连接AC交BD于N，连接

在正方形ABCD中，，

∴N是AC的中点.

又M是AP的中点，

∴MN是的中位线，，

∵面BMD，面BMD，

∴∥平面BMD，

（2）取AD的中点O，连接OP，

在中，，O是AD的中点，

∴，

又平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，

∴平面

在正方形ABCD中，O，N分别是AD、BD的中点，

∴，

∴OP，OD，ON两两相互垂直，分别以OD，ON，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系

，，，，

∴，，

设平面MBD的一个法向量，

则，即

取，得，

∴是平面MBD的一个法向量：

同理，是平面PBD的一个法向量，

∴，

设二面角的大小为，

由图可知，，，且为锐角，

∴，

故二面角的大小是

20．如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2，AC=BC，F 是AB上一点，且AF=AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知：,   

（1）求证：AD⊥平面BCE；

（2）求三棱锥A﹣CFD的体积．

【答案】（1）见解析；（2） .

【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，得到AD⊥BD，结合CE⊥平面ADB得AD⊥CE，所以AD⊥平面BCE；

（2）由已知条件求出F到AD的距离等于E到AD的距离，由VA﹣CFD＝VC﹣AFD，利用等积法能求出三棱锥A﹣CFD的体积．

【详解】（1）证明：依题AD⊥BD，

∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD，

∵BD∩CE=E，

∴AD⊥平面BCE．

（2）由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，

且ED=BD﹣BE=1，

∴F到AD的距离等于E到AD的距离为1．

∴S△FAD==．

∵CE⊥平面ABD，

∴VA﹣CFD=VC﹣AFD===．

【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：

（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；

（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；

（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.

（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何体的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.

21．如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点．

(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设，则圆为：，，从而得到，由此能求出圆的标准方程．

（2）由题意得，，设，则圆心到直线的距离：，由此能求出直线的方程．

【详解】（1）解： 在直线上，设，

圆与轴相切，圆为：，，

又圆与圆外切，圆，即圆，圆心，半径；

，解得，

圆的标准方程为．

（2）解：由题意得，，设，

则圆心到直线的距离：，

则，，即，

解得或，

直线的方程为：或．

22．已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．

（1）求圆的圆心坐标；

（2）求线段的中点的轨迹的方程；

（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．

【分析】（1）通过将圆的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线的方程为y=kx，通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式△=0及轨迹的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论

【详解】（1）由得，

∴ 圆的圆心坐标为；

（2）设，当x=3时，符合题意；

当x不等于3时，

∵ 点为弦中点即，

∴即，

∴ 线段的中点的轨迹的方程为；

（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点，

当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点．

【解析】1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程