2022-2023学年上海市曹杨第二中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市曹杨第二中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，设集合，，则（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的并集和补集运算即可.

【详解】解：因为，，所以或

则.

故选：D.

2．已知、、．若，则下列不等式中恒成立的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的性质，取特殊值检验，可得答案.

【详解】对于A，当时，由，则；当时，由，则，故A错误；

对于B，当至少一个为时，不等式不成立，故B错误；

对于C，当时，由，则，故C错误；

对于D，由，则，由，则，故D正确.

故选：D.

3．已知不等式的解集为，不等式的解集为，其中、是非零常数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】A

【分析】对、的符号以及、是否相等分情况讨论，得出的充要条件，即可判断出“”是“”的充要条件关系.

【详解】（1）若，.

①若，不等式即为，则，不等式即为，得，，；

②若，不妨设，不等式即为，则，不等式即为，得，，则；

（2）同理可知，当，时，，不一定为；

（3）若，.

①若，不等式即为，则，不等式即为，则，此时，；

②若，不妨设，不等式即为，则，不等式即为，则，此时，；

（4）同理，当，时，.

综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

故选A.

【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也考查补集思想的应用，在解题时需要对参数的符号进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.

4．已知集合．若，且对任意，，均有，则集合中元素个数的最大值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据，转化为任意两点连线的斜率不存在或小于等于零，分析要使这样的点最多，点的分布情况，即可得解.

【详解】由题知：集合，若，且对任意、，均有，作如下等价转化：

考虑，是平面内的满足题目条件的任意两点，

“”等价于“或”

即这个集合中的任意两个点连线的斜率不存在或斜率小于等于零，

要使集合中这样的点最多，就是直线两条直线上的整数点，共19个，

（当然也可考虑直线两条直线上的整数点，共19个）

故选：D

二、填空题

5．关于与的二元一次方程组的解集为________．（用列举法表示）

【答案】

【分析】解方程组即可.

【详解】由题知，集合为点集，

因为

解得

所以解集为，

故答案为：

6．若，则实数________．

【答案】

【分析】本题考查集合元素的特征，注意检验互异性.

【详解】，则或，

当解得，代入检验不成立；

当解得或，分别代入检验知：满足.

故答案为：

7．陈述句“或”的否定形式是________.

【答案】且.

【解析】含有“或”联结词的否定是“且”.

【详解】解：或的否定是：且.

故答案为：且.

8．已知集合，，则________．

【答案】

【分析】解集合B中的不等式，得到集合B，再求.

【详解】不等式，等价于或，解得或，

所以 或，则.

故答案为：

9．满足的集合的个数是__________．

【答案】

【分析】由题意可知,可在或不在集合中,即可求得的个数．

【详解】,

,可在或不在集合中,

集合的个数是,

故答案为:．

【点睛】本题主要考查子集个数公式,等价转化的数学思想等知识.将原问题转化为子集个数公式的问题是解本题关键.

10．已知全集．若集合、满足，，则________．

【答案】

【分析】充分理解集合的运算的定义即可得出答案.

【详解】说明；

说明，所以.

或解：

故答案为：

11．不等式的解集用区间表示为________．

【答案】

【分析】分式不等式先转化为与之等价的整式不等式，然后再用数轴穿根法解.

【详解】原式等价于

等价于，

数轴穿根法易得：.

故答案为：

12．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】二次不等式恒成立问题可以考虑判别式.

【详解】的解集为则有，

解之：.

故答案为：

13．已知是关于的方程的两个实数根，若，则实数________．

【答案】

【分析】本题考查根与系数的关系，设而不求的思想，注意检验实数根是否存在.

【详解】有解，则有

韦达定理代入得：，

整理得：，

解之或，

经判别式检验知，

故答案为：

14．设为常数，已知集合，，．若集合中所有元素之和为，则的值为________．

【答案】或

【分析】根据集合，，可得：，

再结合且集合中所有元素之和为，可得：或，再根据集合元素的互异性可知：或，进而求出结果.

【详解】因为集合，，

所以集合中的元素为：，又因为，且集合中所有元素之和为，

所以或，根据集合元素的互异性可得：或，

故答案为：或.

15．若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】一元二次不等式组有且仅有两个整数解，分类讨论，即可.

【详解】由，解得或，

由，解得或，

当时，的解为，

因为不等式有且仅有两个整数解，

所以，解得，

当时，的解为，

因为不等式有且仅有两个整数解，

所以，解得，

综上所述，实数的取值范围是

故答案为：.

16．设为常数，若关于的不等式组在区间上有解，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】根据题意列方程组解决即可.

【详解】由题知，不等式组在区间上有解，

所以，解得，

故答案为：.

三、解答题

17．设、为正实数，试比较与的值的大小，并说明理由．

【答案】，理由见解析

【分析】比较两个表达式的大小可以考虑作差法，作差之后分解为一些容易判断正负的表达式乘积再判断，作差之后和0比较.

【详解】．

由于、为正实数，故，

又，于是有．

因此，

等号当且仅当时成立．

18．已知，设命题：，命题：关于的一元二次方程有两个不相等的正根．

(1)若为真命题，求的取值范围；

(2)若、中有且仅有一个是真命题，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）把1带入不等式成立可解出；（2）需要分类讨论、两个命题谁真谁假.

【详解】（1）若为真命题，则，

解得．

（2）若为真命题，则解得．

若为真命题且为假命题，则或；

若为假命题且为真命题，则，

综上知

19．已知，设集合，．

(1)求集合；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）将1移到左边通分之后可解出不等式的解；（2）先判断两个集合的关系，然后分类讨论子集是否为空集即可.

【详解】（1）

解得．

（2）由于，故．

若，则，解得；

若，则解得．

综上知．

20．已知集合（，）具有性质：对任意的、（），与两数中至少有一个属于．

(1)分别判断集合与是否具有性质，并说明理由；

(2)证明：若集合具有性质，则且．

【答案】(1)具有性质，不具有性质P,理由见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据性质的定义带入数值判断即可；（2）采用构造对应的方法构造一个新的相等的集合，对其元素进行排序后对应相等可解.

【详解】（1）对于集合，取，，

则，，故不具有性质．

对于集合，

若，则；

若，则；

若，则；

若，，则，

综上知具有性质．

（2）首先取，

由于，故，有，

于是，因此．

当时，，命题成立．

当时，取，，

则，故，有．

由于，且它们均为集合的元素，

故有，，…，，

结合，，

将上述个等式相加得，

因此．

【点睛】对于阅读型题目，必须先看清楚题目是如何定义的，然后依据定义小心验证自己的理解是否有偏差.题目了解之后再考虑如何从第一第二小问的方法中提炼第三小问的解决方法.本题采用了构造一个新的集合与原集合相等，得到答案.