2022-2023学年山东省聊城市高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省聊城市高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】应用集合的交集运算求结果.

【详解】由题设.

故选：B

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】由存在量词命题的否定求解即可

【详解】命题“，”的否定是：

，，

故选：C

3．设集合，则的真子集共有（    ）

A．8个 B．7个 C．4个 D．3个

【答案】B

【分析】求出集合，再由真子集概念求解即可.

【详解】集合，

所以集合的真子集有，共7个.

故选：B.

4．使成立的一个必要不充分条件是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【分析】解绝对值不等式可得或，根据充分、必要性定义判断各项与条件间的关系即可.

【详解】由，可得或，

所以是的充分不必要条件，

是的既不充分也不必要条件，

或是的充要条件，

或是的必要不充分条件.

故选：D

5．设集合，都是实数集的子集，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题设交集的结果知，进而可得.

【详解】由知：，

所以.

故选：D

6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】A

【分析】根据题意分析，有、、三种情况.

时，函数为一次函数，可直接判断是否符合题意；

、时直接利用函数对称轴和区间的关系可求出结果.

【详解】解：当时，在区间上单调递减，不符合题意；

当时，函数对称轴为，

有或，

即.

综上所述，实数的取值范围为.

故选：A.

7．已知，，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题设，利用基本不等式求取值范围（注意等号成立条件），再应用二次函数性质及恒成立确定正实数m的范围.

【详解】由题设恒成立，

而，又仅当时等号成立，

所以，且等号成立条件同上，故.

故选：B

8．在同一坐标系中，函数，的图象不可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】讨论a的范围，结合幂函数图象的性质判断函数的可能情况，即可得答案.

【详解】当时，不过原点，在第一象限且递减，在第四象限且递增，如C所示；

当时，且，，没有符合要求的图象；

当时，在第一象限且递减，

若时，过原点，在第一象限且递增，没有符合要求的图象；

若时，过原点，在第一象限且递增，如A、B所示.

故选：D

二、多选题

9．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，且，则，至少有一个大于1

B．若，则

C．的充要条件是

D．，

【答案】AB

【分析】利用反证法，特例法，结合整数的性质、任意性和存在性的定义逐一判断即可.

【详解】A：假设，都不大于1，即，所以，因此不成立，所以假设不成立，因此本命题是真命题；

B：因为所有的整数的相反数还是整数，所以本命题是真命题；

C：当时，代数式没有意义，因此本命题是假命题；

D：因为，都有成立，所以本命题是假命题，

故选：AB

10．给定数集，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（    ）

A．集合为闭集合

B．整数集是闭集合

C．集合为闭集合

D．若集合，为闭集合，则为闭集合

【答案】AD

【分析】根据闭集合定义判断B、C正误，并结合特殊值法判断A、D的正误；

【详解】A：显然时，，故不为闭集合；

B：由任意两个整数相减或相加都是整数，所以整数集是闭集合；

C：若，且，故，，故为闭集合；

D：若，，显然有，故不为闭集合；

故选：AD

11．设，，且，则下列说法中正确的是（    ）

A．有最小值 B．有最大值

C．有最大值 D．有最小值

【答案】AD

【分析】由已知结合基本不等式分别检验计算即可判断各选项正确与否.

【详解】解：由于，，则，又得

所以，则，

解得（舍）或，当且仅当时，有最小值，故A正确，B不正确；

由，又得

所以，则，

解得（舍）或，当且仅当时，有最小值，故C不正确，D正确；

故选：AD.

12．设函数则下列说法中正确的是（    ）

A．是奇函数

B．

C．的单调递减区间是，

D．有最小值

【答案】BCD

【分析】根据奇偶性的判断，即可求解A，代入自变量即可求解B,根据二次函数的性质以及偶函数的性质即可判断C，结合函数的单调性和奇偶性即可求解D.

【详解】对于A;若，则，则，

若，则，则，

则,故为偶函数，A错误，

对于B;,故B正确，

对于C;当时，，此时在单调递减，在单调递增，由于为偶函数，故当时，在单调递减，

故的单调递减区间是，，C正确，

对于D;当时，，当时，取最小值，根据偶函数，可知在定义域内，的最小值为，

故选：BCD

三、填空题

13．设，，，，若，则______．

【答案】1

【分析】由集合相等可得，即可求目标式的值.

【详解】由题意，故.

故答案为：1

14．若关于的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数的取值范围为______．

【答案】或

【分析】先按实数分类讨论求得不等式的解集，再利用题给条件列出实数的不等式，进而求得实数的取值范围

【详解】由，可得

①当时，不等式的解集为

若中恰有3个正整数，则；

②当时，不等式的解集为，不符合题意；

③当时，不等式的解集为

若中恰有3个正整数，则

综上，实数的取值范围为或

故答案为：或

15．若，，，则的取值范围为______．

【答案】

【分析】将用和表示，利用不等式的同向可加性，求出的范围.

【详解】设，则，

解得，所以，

因为，，所以，，

所以.

故答案为：.

16．已知函数，，给出以下结论：

（1）若对任意，，且，都有，则为上的增函数；

（2）若为上的奇函数，且在内是增函数，．则的解集为；

（3）若为上的奇函数，则是上的偶函数；

（4）若，则．

其中正确的结论是______．

【答案】（2）（4）

【分析】由函数的单调性，奇偶性，换元法求解析式对结论逐一判断，

【详解】对于（1），若对任意，，且，都有，

故在上单调递减，故（1）错误，

对于（2），若为上的奇函数，且在内是增函数，

则或时，，或时，，

等价于或，

故的解集为，故（2）正确，

对于（3），对于，，

故是上的奇函数，故（3）错误，

对于（4），令，则，，故（4）正确，

故答案为：（2）（4）

四、解答题

17．已知集合，．

(1)求集合；

(2)设集合，且，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）进行补集和交集的运算即可；

（2）根据可得出，然后即可得出，然后解出的范围即可．

【详解】（1），则，

又，

所以；

（2）∵，

∴，且，

∴，解得，

∴实数的取值范围为:

18．已知函数，的解集为或．

(1)求实数，的值；

(2)，，当时，有成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）由是的两个实根，结合根与系数关系列方程求参数值；

（2）将问题转化为，结合基本不等式“1”的代换求最小值，再解一元二次不等式求参数范围.

【详解】（1）由题设是的两个实根，故，可得.

（2）由（1）知：，，当时成立，

而，

当且仅当，即时等号成立，

所以，即，可得或.

19．函数的函数值表示不超过的最大整数，如，．

(1)若，求实数的取值范围；

(2)当时，写出函数的解析式．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用的定义求解；

（2）当时，将的解析式写成分段函数.

【详解】（1）若，则 ，表示不超过的最大整数知.

（2）当时，

20．已知函数的图象过点．

(1)求函数的解析式，并判断奇偶性；

(2)判断函数的在的单调性，并用定义证明你的结论．

【答案】(1)且，为奇函数，证明见解析；

(2)在上递增，证明见解析.

【分析】（1）将已知点代入解析式求得，再根据奇偶性定义判断奇偶性；

（2）利用单调性定义判断的单调性.

【详解】（1）由题设，则，故且定义域为，

又，即为奇函数.

（2）在上递增，证明如下：

令，则，

又，则，故.

所以在上递增.

21．某服装厂计划投入80万元，全部用于甲、乙两种服装的生产，每种服装生产至少要投入10万元．在对市场进行调研分析发现生产甲服装的收益，生产乙服装的收益与投入（单位：万元），满足，．设投入（单位：万元）生产甲服装，两种服装的总收益为．

(1)当甲服装的投入为36万元时，求生产两种服装的总收益；

(2)试问如何安排两种服装的生产投入，才能使总收益最大？

【答案】(1)万元

(2)甲服装厂投入生产万元，乙服装厂投入生产万元.

【分析】(1)结合所给的关系式求解甲服装的投入为36万元时，生产两种服装的总收益即可；

(2)首先确定函数的定义域，然后结合分段函数的解析式分类讨论确定最大收益的安排方法即可.

【详解】（1）当甲服装的投入为36万元时，生产两种服装的总收益为(万元).

（2）由已知可得：生产两种服装的总收益，

当时，，

当时，总收益最大为(万元)，

当时，(万元)，

综上所述：甲服装厂投入生产万元，乙服装厂投入生产万元时取得最大总收益最大.

22．已知二次函数的图象如图：

(1)求实数，的值；

(2)若为奇函数，求实数的值；

(3)若在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据二次函数的图象列式求解即可得实数，的值；

（2）由（1）得，即可得的解析式，根据奇函数的定义即可得实数的值；

（3）由于在上恒成立，转化为在上恒成立，根据二次函数单调性即可得得最值，从而得实数的取值范围．

【详解】（1）解：根据二次函数图象可得

，所以；

（2）解：由（1）得，

所以，则，所以，

由于为奇函数，则，所以，解得：；

（3）解：在上恒成立，则在上恒成立

又，所以在上单调递增

所以

则.