2022-2023学年江苏省无锡市江阴高级中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省无锡市江阴高级中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，进而判断出正误.

【详解】是实数，①正确；是无理数，②错误；是整数，③错误；是自然数，④错误；0是有理数，⑤错误，所以正确的个数为1．

故选：A．

2．设全集U是实数集R，，都是U的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】题图中阴影部分表示集合，即可求

【详解】题图中阴影部分表示集合.

故选：B

3．已知函数分别由下表给出：

下列能满足的的值是（    ）A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据表格依次判断时两个函数值的大小关系即可.

【详解】对于A，当时，无意义，A错误；

对于B，当时，，无意义，B错误；

对于C，当时，，，，，则，C正确；

对于D，当时，无意义，D错误.

故选：C.

4．设集合，，若，则的值为（    ）

A．1 B． C．1或 D．

【答案】B

【分析】根据集合相等得到或，解出的值，检验是否符合即可得出结果.

【详解】因为，所以或，

解得或

经检验，知当时，集合中的元素不满足互异性，舍去；

当时，满足题意.

故选：B.

5．若函数，则函数的定义域为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由根式内部的代数式大于等于求解的定义域，再由 在的定义域内求得的范围，即可得到的定义域．

【详解】解：要使原函数有意义，则，解得．

由，得．

∴函数的定义域为．

故选：D．

6．若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为（    ）

A．2 B．2或 C．3 D．3或

【答案】B

【分析】注意讨论的情况，然后利用一次函数的单调性分类讨论可求得.

【详解】依题意，当时，，不符合题意；

当时，在区间上单调递增，所以，得；

当时，在区间上单调递减，所以，得．

综上，a的值为

故选: B.

7．已知，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，求出的值，根据的范围，即可求出答案.

【详解】设，

所以，解得：，

因为，所以，

故选：A.

8．若对于任意实数x，表示不超过x的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据高斯函数的定义以及充分必要条件的定义推导即可.

【详解】如果，则有 ，

，所以 是 的充分条件；

反之，如果 ，比如 ，则有，

根据定义， ，即不是必要条件，

故 是 的充分不必要条件；

故选：A.

二、多选题

9．中国清朝数学学李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据函数定义逐一判断即可.

【详解】A.，当，但，A不是；

B.，任意，都有，B是；

C.，当，但，C不是；

D.，任意，都有，D是；

故选：BD.

10．下列说法正确的有（    ）

A．任意非零实数，都有

B．不等式的解集是

C．函数的零点是

D．函数与为同一个函数；

【答案】BD

【分析】根据基本不等式、分式不等式的解法、二次函数零点、相同函数等知识对选项进行分析，从而确定答案.

【详解】A选项，若，则，所以A选项错误.

B选项，，解得，

所以不等式的解集是，B选项正确.

C选项，函数的零点是，C选项错误.

D选项，对于，的定义域为，

且，所以D选项正确.

故选：BD

11．已知关于的不等式的解集为，则（    ）

A．的解集为

B．的最小值为

C．不等式的解集为

D．的最小值为

【答案】AB

【分析】根据一元二次不等式的解法求得，对选项进行分析，结合一元二次不等式、二次函数的性质等知识求得正确答案.

【详解】，

由于，所以不等式的解集为，C选项错误，

所以，

A选项，，

解得，即不等式的解集为，A选项正确.

B选项，，令，

的开口向上，对称轴为，

所以当时，取得最小值为，B选项正确.

D选项，，所以D选项错误.

故选：AB

12．已知函数是上的减函数，则实数的取值可以是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】ABC

【分析】根据题意可得，解之即可得解.

【详解】解：因为函数是上的减函数，

所以，解得.

故选：ABC.

三、填空题

13．命题“，”的否定为__________．

【答案】，

【分析】根据全称命题，符号为，其否定为特称命题“存在”，符号，“”的否定为“”，即可选出答案.

【详解】解：全称命题的否定是特称命题，

命题，的否定是：，，

故答案为：，.

14．函数的单调减区间是______．

【答案】，

【分析】根据绝对值的定义去绝对值，写成分段函数形式，再根据函数单调性求得单调递减区间．

【详解】去绝对值，得函数

当 时，函数 的单调递减区间为

当 时，函数的单调递减区间为

综上，函数  的单调递减区间为，

故答案为：，

15．函数的值域是__________．

【答案】

【分析】，然后可求出答案.

【详解】，

因为，所以，所以，

所以，

故答案为：

四、双空题

16．设集合，，，，都是的含有两个元素的子集，则______；若集合A是由这个元素中的若干个组成的集合，且满足：对任意的，（，，，，）都有，则A中元素个数的最大值是______

【答案】     10     6

【分析】根据集合，写出其含有两个元素的所有子集，即可得k的值；根据，排除掉不符合题意的集合，即可得到符合题意的集合个数的最大值.

【详解】集合的含有两个元素的子集有，，，，，，，，，，共10个，故．

因为，所以，，中只能取一个作为A中的元素，，中只能取一个作为A中的元素，，中只能取一个作为A中的元素，故10个元素中至少有4个不出现在集合A中，故A中元素个数的最大值为6．

故答案为:10;6

五、解答题

17．已知全集，集合，．

(1)若且，求实数的值；

(2)设集合，若的真子集共有个，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求得和，进而求得，再根据求解即可；

（2）分情况讨论与分析即可.

【详解】（1）因为，，

因此，．若，则或，解得或．

又，所以．

（2），，

当时，，此时集合共有个真子集，不符合题意，

当时，，此时集合共有个真子集，符合题意，

综上所述，．

18．已知集合，．

(1)当时，求；

(2)若__________，求实数的取值范围．

请从①“”是“”的必要条件；②，；③，；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

【答案】(1)

(2)选①：；选②：；选③：

【分析】（1）解不等式求得集合，由交集定义可得结果；

（2）若选①，由必要条件定义可知，可分别在、和的情况下，由包含关系构造不等式求得的范围；若选②，由全称命题可知，分别在、和的情况下，由交集结果构造不等式求得的范围；若选③，由存在性命题可得，分别在、和的情况下，由交集结果构造不等式求得的范围.

【详解】（1）当时，，又，

.

（2）若选条件①：若“”是“”的必要条件，则；

当时，，不合题意；

当时，，又，，解得：（舍）；

当时，，又，，解得：或，；

综上所述：实数的取值范围为.

若选条件②：，，；

当时，，满足题意；

当时，，又，，解得：或（舍），；

当时，，又，，解得：，；

综上所述：实数的取值范围为.

若选条件③：，，；

当时，，则，又，，满足题意；

当时，，则，又，，

解得：或（舍），；

当时，，则，又，，

解得：，；

综上所述：实数的取值范围为.

19．已知函数.

(1)求函数的解析式；

(2)设，若存在使成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由配凑法得，再结合，即可求出的解析式；

（2）先求出，将题设转化为在上有解，换元后利用二次函数的性质求出最小值即可求解.

【详解】（1），则，又，则；

（2），又存在使成立，即在上有解，

令，设，易得在单减，则，

即，故实数的取值范围为.

20．已知函数，且

(1)求实数a的值；

(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；

(3)求函数在上的值域．

【答案】(1)

(2)函数在上的单调递增，证明见解析

(3)

【分析】（1）利用待定系数法，即可求出结果；

（2）根据函数单调性定义，证明即可得到结果；

（3）由（2）可知在上单调递增，利用单调性即可求出函数的值域.

【详解】（1）解： ，，解得.

（2）解：由（1）得

函数在上的单调递增，证明如下：

设，且，则有

，，，，

，即，

∴函数在上的单调递增.

（3）解： 由（2）得函数在上的单调递增，

，在上单调递增，

又，

在上的值域是.

21．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)在（1）的条件下，设中的最小的数为，正数满足，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将表示为分段函数的形式，由此解不等式.

（2）结合基本不等式求得的最小值.

【详解】（1），

不等式可化为，或，或，

解得，所以.

（2）由（1）可知，所以，

所以

当且仅当，，即时等号成立，

所以的最小值为．

22．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元)

(1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式；

(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)；

(2)4千克，480元﹒

【分析】(1)用销售额减去成本投入得出利润的解析式；

(2)分段判断的单调性，求出的最大值即可．

【详解】（1）依题意，又，

∴．

（2）当时，，开口向上，对称轴为，

在，上单调递减，在，上单调递增，

在，上的最大值为．

当时，，

当且仅当时，即时等号成立．

∵，∴当时，．

∴当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．