2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高一上学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

【答案】D

【分析】根据集合元素的互异性即可判断.

【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，

则，所以一定不是等腰三角形．

故选：D．

2．设，则“”是“且”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】根据不等式的性质，利用必要不充分条件的定义判断即可.

【详解】根据不等式的性质由且能推出 ；

当，时，有  而，

则“”是“且”的必要不充分条件.

故选：B．

【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理．

3．已知a，，若，则的值为（   ）

A．1 B．0 C．－1 D．±1

【答案】C

【分析】根据集合相等及要有意义，得到，，进而得到，求出，舍去不合题意的值，再计算的值.

【详解】，因为要有意义，所以，所以，

求得：，故，

所以，解得：，

根据元素互异性，舍去，

故，

所以.

故选：C

4．已知，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由不等式的性质可求解

【详解】

，，

故选：C

5．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．

【详解】解：由题意得，

解得或，

故函数的定义域是，

故选：C．

6．若，则下面结论正确的有（     ）

A． B．若，则

C．若，则 D．若，则有最大值

【答案】B

【分析】对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可.

【详解】对于选项A：若，

由基本不等式得，即，

当且仅当时取等号；所以选项A不正确；

对于选项B：若，

，

，

当且仅当且，

即时取等号，所以选项B正确；

对于选项C：由，

，

即，

如时，，所以选项C不正确；

对于选项D：，当且仅当时取等

则有最大值，所以选项D不正确；

故选：B

7．若不等式对一切恒成立．则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】可以考虑设，然后分类讨论去绝对值号，求解出函数的最大值，然后求解出a的取值范围．

【详解】解：设，

当时，；

当时，；

当时，，

故有最大值3．

对一切恒成立，则a必大于等于的最大值3．

故取值范围为．

故选：C．

8．已知命题P：两个正实数x，y满足，且恒成立，命题Q：“，使”，若命题P与命题Q都为真命题，则实数m的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据结合求出，再由不等式恒成立，则恒成立，从而可求出，再根据，使，可求得此时的，再根据两命题都是真命题即可得解.

【详解】解：不等式恒成立，

则恒成立，

由，

得，

当且仅当，即时，取等号，

所以，

则，解得，

，使，

则，

所以，解得，

因为命题P与命题Q都为真命题，

所以，所以.

故选：A.

二、多选题

9．已知，恒成立，则的一个充分不必要条件可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】先求出命题成立的充要条件，在对照选项寻找充分不必要条件.

【详解】由，恒成立，只需，即

因充分不必要条件是充要条件的真子集，

所以AC正确.

 故选：AC

【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：

(1)若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

(2)若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

(3)若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等.

10．已知函数，若，则实数a的值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据题意，结合函数的解析式，分与两种情况讨论，求出的根，综合可得答案．

【详解】解：根据题意，函数，

当时，，

其中当时，，此时，解可得，符合题意；

当时，，此时，解可得或，符合题意；

当时，必有，

此时，变形可得或，

若，解可得，

若，无解；

综合可得：或或或，分析可得选项可得：ACD符合；

故选：ACD．

11．解关于x的不等式：，则下列说法中正确的是（    ）

A．当时，不等式的解集为

B．当时，不等式的解集为或

C．当时，不等式的解集为

D．当时，不等式的解集为

【答案】ABD

【分析】讨论参数，结合一元二次不等式的解法求解集即可判断各选项的正误.

【详解】A：，则，可得解集为，正确；

B：，则，可得解集为或，正确；

C：，当时解集为；当时无解；当时解集为，错误；

D：由C知：，即，此时无解，正确.

故选：ABD

12．已知a，b为正数，，则（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为3

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】AB

【分析】选项A：直接利用公式即可求得；

选项B：用“1”代换来求，即把求的最小值转化为求 的最小值；

选项C：利用公式即可求得；

选项D：利用选项A和选项B的结论来求.

【详解】因为，所以，即，当且仅当时，等号成立，

所以选项正确；

因为，

当且仅当时，等号成立，所以选项正确；

因为，

当时，即时等号成立，显然等号不成立，所以选项不正确；

因为，

所以，所以选项不正确．

故选：AB.

三、填空题

13．，则_______．

【答案】

【分析】利用换元法进行求解即可.

【详解】令，

于是有，

故答案为：

14．已知函数的定义域为，则的定义域为______.

【答案】

【分析】根据函数性质可知，，计算解出.

【详解】已知函数的定义域为，所以中，

综上定义域为：，取并集解得；

故答案为:

15．已知正实数a，b满足+＝1，则a+b的最小值为 ________________．

【答案】

【分析】令x＝2a+b，y＝a+2b，可得+＝1，利用基本不等式可求解.

【详解】令x＝2a+b，y＝a+2b，则+＝1，且x＞0，y＞0，

所以，

当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立，

所以a+b的最小值为.

故答案为：.

四、双空题

16．已知集合，集合A中的元素，，定义为，，中的最小值，记为：．

（1）若，，，则____________；

（2）若，为集合A中的元素，且，则n的取值范围为____________．

【答案】         

【分析】（1）由题意求得，的值，然后计算其差值即可；

（2）将原问题进行等价转化，然后分类讨论即可求得实数n的取值范围．

【详解】解：（1）由题意可得：，

，

则．

（2）由题意可得：，

则：或，由可得或，

由可得或，即当或时，，

由可得或，由可得或，

即当或时，或，

综上可得，实数n的取值范围是．

故答案为：；．

五、解答题

17．已知集合，，.

（1）若，求集合.

（2）从集合B，C中任选一个，补充在下面的问题中.

已知，______，则p是q的必要不充分条件，若存在实数m，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）若选集合B，m的取值范围为；若选集合C，m的取值范围为.

【分析】（1）m=2代入求出集合B，进而求出；

（2）若选B，求出B，再根据范围的大小即可求出m的取值范围；同样的方法求出选C时，对应的m的取值范围.

【详解】（1）由m=2及得：，解得，

所以，又，所以.

（2）若选B：由，得，

∴，∴.

由p是q的必要非充分条件，得集合B是集合A的真子集，

∴（两端等号不会同时取得），

所以m的取值范围为.

若选C：由，得，∴.

由p是q的必要非充分条件，得集合C是集合A的真子集，

（两端等号不会同时取得），

所以m的取值范围为.

18．已知正数a、b满足a＋b－ab＝0．

(1)求4a＋b的最小值；

(2)求的最小值．

【答案】(1)9

(2)16

【分析】（1）基本不等式“1”的妙用求最值；

（2）利用，结合基本不等式求最值.

【详解】(1)因为，所以，

又因为、是正数，

所以，

当且仅当时等号成立，

故的最小值为；

(2)因为且、为正数，

所以，，所以，，

则，

当且仅当、时等号成立，

故的最小值为．

19．（1）若不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．

（2）若不等式对一切恒成立，求实数x的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）对二次项系数分类讨论，结合判别式可得结果；

（2）变换主元，结合一次函数的性质可得结果.

【详解】（1）因为对一切恒成立

①当a=3时，恒成立，所以a=3符合题意

②当时，，则

综上，a的取值范围为.

（2）因为不等式对一切恒成立

所以对一切恒成立

令，则

，

所以

所以a的取值范围为.

20．精准扶贫是巩固温饱成果､加快脱贫致富､实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量万件（生产量与销售量相等）与推广促销费万元之间的函数关系为.已知加工此农产品还要投入成本万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为元/件.

（1）试将该批产品的利润万元表示为推广促销费万元的函数；（利润=销售额-成本-推广促销费）

（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？

【答案】（1）；（2）当推广促销费投入万元时，利润最大，最大利润为万元.

【分析】（1）根据利润的求法求得函数解析式.

（2）结合基本不等式求得利润的最大值以及此时对应的促销费.

【详解】（1）依题意

.

（2）由于，

，

当且仅当，即时等号成立，

所以当推广促销费投入3万元时，此批产品的利润最大为27万元.

21．回答下列问题：

(1)用综合法和分析法两种方法证明基本不等式()．

(2)对于4个正数a，b，c，d尝试证明．

【答案】(1)证明详见解析

(2)证明详见解析

【分析】（1）根据分析法、综合法的知识进行证明不等式成立.

（2）利用基本不等式证得不等式成立.

【详解】(1)分析法：

要证     ，

只要证    ，

只要证    ，

只要证    ，

只要证     ，

上式显然成立，当且仅当a=b时等号成立．

所以     .

综合法：

因为     ，

所以     ，

所以     ，

所以      ，

当且仅当a=b时等号成立.

(2)因为a，b，c，d均为正数，

所以

，

当且仅当a=b=c=d时取“=”.

22．已知二次函数，且关于x的不等式的解集是．

(1)若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；

(2)设，且对任意，，都有，求实数m的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用不等式的解集，推出方程的两个根，利用根与系数的关系可得a，b的值，从而可得的解析式，将不等式恒成立转化为在上恒成立，当时，不等式恒成立，则，当时，利用参变量分离法可得恒成立，求出和，即可求解k的取值范围；

（2）利用基本不等式求出的最大值和最小值，即可求解m的最小值．

【详解】(1)（1）不等式的解集是，

所以与之对应的二次方程的两个根为，4，

由根与系数关系得，，所以，

若不等式在上恒成立，

即在上恒成立，

即在上恒成立，

当时，不等式恒成立，则；

当时，不等式可化为恒成立，

即，

因为，当且仅当，即时等号成立，

所以，

因为在上单调递增，所以，

所以，即实数k的取值范围是．

(2)因为，，

当时，，当且仅当，即时等号成立；

当时，，当且仅当，即时等号成立，综上可知，，

对任意，，都有，

则，

所以实数m的最小值为．