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初中数学17.2 勾股定理的逆定理教学ppt课件
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这是一份初中数学17.2 勾股定理的逆定理教学ppt课件,共29页。PPT课件主要包含了c65,c85,复习引入,情景引入,大禹治水,证一证,勾股定理的逆定理,特别说明,归纳总结,练一练等内容,欢迎下载使用。
问题1 勾股定理的内容是什么?
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a,b,斜边为 c,那么 a2 + b2 = c2.
问题2 求以线段 a、b 为直角边的直角三角形的斜边 c 的长:
① a=3,b=4;② a=2.5,b=6;③ a=4,b=7.5.
思考 以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形,可不可以通过边来确定直角三角形呢?
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?
打 13 个等距的结,把一根绳子分成等长的 12 段,然后以 3 段,4 段,5 段的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角.
思考:从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗?
相传,我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角.
下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a, b, c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.问题1 分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点?
① 5,12,13 满足 52 + 122 = 132,② 7,24,25 满足 72 + 242 = 252,③ 8,15,17 满足 82 + 152 = 172.
古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗?
∵ 32 + 42 = 52, ∴ 满足.
a2 + b2 = c2
我觉得这个猜想不准确,因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨,前面我们只取了几组数据,不能由部分代表整体.
问题3 据此你有什么猜想呢?
由上面几个例子,我们猜想:命题2 如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a2 + b2 = c2,那么这个三角形是直角三角形.
已知:如图,△ABC的三边长a,b,c,满足a2+b2=c2. 求证:△ABC 是直角三角形.
构造两直角边分别为a,b 的Rt△A′B′C′
证明:作Rt△A′B′C′,使∠C′ = 90°,A′C′ = b,B′C′ = a,
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS).
∴∠C = ∠C′ = 90°, 即△ABC 是直角三角形.
如果三角形的三边长 a 、b 、c 满足 a2 + b2 = c2,那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,即已知三角形的三边长,且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方,即可判断此三角形为直角三角形 ,最长边所对应的角为直角.
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形?如果是,那么哪一个角是直角?
(1) a = 15,b = 8,c = 17;
解:(1)∵ 152 + 82 = 289,172 = 289,∴ 152 + 82 = 172,根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形,且∠C 是直角.
(2) a = 13,b = 14,c = 15.
(2) ∵ 132 + 142 = 365,152 = 225,∴ 132 + 142 ≠ 152,不符合勾股定理的逆定理,∴ 这个三角形不是直角三角形.
根据勾股定理的逆定理,判断一个三角形是不是直角三角形,只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
【变式题1】若△ABC 的三边 a,b,c 满足 a∶b∶c = 3∶4∶5,试判断 △ABC 的形状.
解:设 a = 3k,b = 4k,c = 5k (k>0),∵ (3k)2 + (4k)2 = 25k2,(5k)2 = 25k2,∴ (3k)2 + (4k)2 = (5k)2,∴△ABC 是直角三角形,且∠C 是直角.
已知三角形三边的比例关系判断三角形形状:先设出参数,表示出三条边的长,再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数,那么该三角形还是等腰三角形.
【变式题2】(1) 若△ABC 的三边 a,b,c,且 a + b = 4,ab = 1,c = ,试说明△ABC 是直角三角形.
解:∵ a + b = 4,ab = 1,∴ a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = 16 - 2 = 14.又∵ c2 = 14,∴ a2 + b2 = c2,∴△ABC 是直角三角形.
(2) 若△ABC的三边 a,b,c 满足 a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c. 试判断△ABC 的形状.
解:∵ a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c, ∴ a2-6a + 9 + b2-8b + 16 + c2-10c + 25 = 0. 即 (a-3)² + (b-4)² + (c-5)² = 0. ∴ a = 3,b = 4,c = 5, 即 a2 + b2 = c2. ∴△ABC 是直角三角形.
例2 如图,在正方形ABCD中,F是CD的中点,E为BC上一点,且CE= CB,试判断AF与EF的位置关系,并说明理由.
解:AF⊥EF.理由如下:设正方形的边长为4a, 则EC=a,BE=3a,CF=DF=2a.在Rt△ABE中,得AE2=AB2+BE2=16a2+9a2=25a2.在Rt△CEF中,得EF2=CE2+CF2=a2+4a2=5a2.在Rt△ADF中,得AF2=AD2+DF2=16a2+4a2=20a2.在△AEF中,AE2=EF2+AF2,∴△AEF为直角三角形,且AE为斜边.∴∠AFE=90°,即AF⊥EF.
1.下列各组线段中,能构成直角三角形的是( )A.2,3,4 B.3,4,6 C.5,12,13 D.4,6,7
2.一个三角形的三边的长分别是3,4,5,则这个三角形最长边上的高是 ( )A.4 B.3 C.2.5 D.2.4
3.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是_______________________.
等腰三角形或直角三角形
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形.满足 a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
3,4,5;5,12,13;6,8,10;7,24,25;8,15,17;9,40,41;10,24,26 等等.
一组勾股数,都扩大相同倍数 k(k为正整数),得到一组新数,这组数同样是勾股数.
下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6,8,10 B.7,8,9 C.0.3,0.4,0.5 D.52,122,132
方法点拨:根据勾股数的定义,勾股数必须为正整数,先排除小数,再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a,b,斜边为 c,那么 a2 + b2 = c2.
命题2 如果三角形的三边长 a 、b 、c 满足 a2 + b2 = c2,那么这个三角形是直角三角形.
前面我们学习了两个命题,分别为:
它们是题设和结论正好相反的两个命题.
问题1 两个命题的条件和结论分别是什么?
问题2 两个命题的条件和结论有何联系?
一般地,原命题成立时,它的逆命题既可能成立,也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
题设和结论正好相反的两个命题,叫做互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.
说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗?(1)两条直线平行,内错角相等;(2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等; (3)全等三角形的对应角相等; (4)在角的内部,到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
内错角相等,两条直线平行.
如果两个实数的绝对值相等,那么它们相等.
对应角相等的三角形全等 .
在角平分线上的点到角两边的距离相等.
1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3,4,7 B.5,12,13 C.1.5,2,2.5 D.1,3,5
将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
3.在△ABC 中,∠A, ∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c.①若∠C - ∠B = ∠A,则△ABC 是直角三角形;②若 c2 - b2 = a2,则△ABC是直角三角形,且∠C = 90°;③若 (c + a)(c - a) = b2,则△ABC 是直角三角形;④若∠A∶∠B∶∠C = 5∶2∶3,则△ABC是直角三角形.以上命题中的假命题有 ( )A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
4.已知 a、b、c 是△ABC 三边的长,且满足关系式 ,则△ABC 的形状是 ________________.
5.(1) 一个三角形的三边长分别为 15 cm、20 cm、25 cm,则这个三角形最长边上的高是_______cm;
(2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_______________________________________.
有两个角相等的三角形是等腰三角形
6. 已知△ABC,AB = n² - 1,BC = 2n,AC = n² + 1 (n为大于 1 的正整数). 试问△ABC 是直角三角形吗?若是,哪一条边所对的角是直角?请说明理由.
解:∵ AB² + BC² = (n² - 1)² + (2n)² = n4 - 2n² + 1 + 4n² = n4 + 2n² + 1 = (n² + 1)² = AC²,∴△ABC 是直角三角形,边 AC 所对的角是直角.
7. 如图,在四边形 ABCD 中,AB = 8,BC = 6, AC = 10, AD = CD = ,求四边形 ABCD 的面积.
∴△ ABC 是直角三角形,且∠B 是直角.
∴ △ADC 是直角三角形,且∠D 是直角.
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