2022-2023学年四川省成都市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析

这是一份2022-2023学年四川省成都市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析，共51页。试卷主要包含了选一选；，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年四川省成都市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选；（每小题3分，共计36分）
1. 倒数是（ ）
A. B. -3 C. 3 D.
2. 下列计算正确是（　　）
A. +＝ B. ﹣＝ C. ×＝6 D. ＝4
3. 有三张正面分别标有数字－2 ，3, 4 没有透明卡片，它们除数字没有同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后， 从中任取一张（没有放回），再从剩余的卡片中任取一张， 则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（ ）

A. B. C. D.
5. 已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（ ）
A. 13 B. 11或13 C. 11 D. 12
6. 如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．正确的个数是（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
7. 如图，菱形中，对角线相交于点O，E为边中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）


A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14
8. 若函数y=kx﹣b的图象如图所示，则关于x的没有等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为（　　）


A. x＜2 B. x＞2 C. x＜5 D. x＞5
9. 据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC为13m，河面宽AB为24m,则桥高CD为（ ）

A. 15m B. 17m C. 18m D. 20m
10. 若圆锥的轴截面为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥侧面展开图的圆心角是（ ）
A. 90° B. 120° C. 150° D. 180°
11. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（ ）

A. 45° B. 85° C. 90° D. 95°
12. 若抛物线y＝x2－(m－3)x－m能与x轴交，则两交点间的距离最值是（ ）
A. 值2， B. 最小值2 C. 值2 D. 最小值2
二、填 空 题（每题4分，共计24分）
13. 没有等式组的解集是 _____________.
14. 若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______.
15. 已知关于x的方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为__________．
16. 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA=_________°．

17. 已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45º．则图中阴影部分的面积是____________.

18. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则的长度为______．

三、解 答 题（共计80分）
19. (1)计算：
(2)先化简，再求值：，其中x是没有等式的负整数解.
20. 有甲、乙两个没有透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和－2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字－1、0和2．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为（x，y）．
（1）请用表格或树状图列出点P所有可能坐标；
（2）求点P在函数图像上的概率．
21. 如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠CBA＝50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED＝EA．
（1）求∠DOA的度数；
（2）求证：直线ED与⊙O相切．

22. 如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP＝FP＝4，EF＝4，∠BAD＝60°，且AB＞4．
（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP=6，求AE＋AF值.

23. 如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一老人坐在MN这层台阶上晒太阳．（取1.73）
（1）求楼房的高度约为多少米？
（2）过了一会儿，当α＝45°时，问老人能否还晒到太阳？请说明理由．

24. 如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上且AB＝12cm
（1）若OB＝6cm．
①求点C的坐标；
②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（2）点C与点O的距离的值是多少cm．

25. 函数y＝x的图象如图所示，它与二次函数y＝ax2－4ax＋c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为D．
①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；
②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．























2022-2023学年四川省成都市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选；（每小题3分，共计36分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. -3 C. 3 D.
【正确答案】A

【分析】先求出，再求倒数.
【详解】因为
所以的倒数是
故选A
考核知识点：值，相反数，倒数.
2. 下列计算正确的是（　　）
A. +＝ B. ﹣＝ C. ×＝6 D. ＝4
【正确答案】B

【分析】根据同类二次根式才能合并可对A进行判断；根据二次根式的乘法对B进行判断；先把 化为最简二次根式，然后进行合并，即可对C进行判断；根据二次根式的除法对D进行判断．
【详解】解：A、与没有能合并，所以A选项没有正确；
B、-=2−=，所以B选项正确；
C、×=，所以C选项没有正确；
D、=÷=2÷=2，所以D选项没有正确．
故选B．
此题考查二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．
3. 有三张正面分别标有数字－2 ，3, 4 的没有透明卡片，它们除数字没有同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后， 从中任取一张（没有放回），再从剩余的卡片中任取一张， 则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的有2种情况，
∴两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是.
故选C.
本题考查运用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以没有重复没有遗漏列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的；树状图法适合两步或两步以上完成的．
4. 随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，利用时间得出等式方程即可．
【详解】解：设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为：
．
故选D．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，列出方程即可．
5. 已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（ ）
A. 13 B. 11或13 C. 11 D. 12
【正确答案】B

【详解】试题解析：x2-8x+15=0，
分解因式得：（x-3）（x-5）=0，
可得x-3=0或x-5=0，
解得：x1=3，x2=5，
若3底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，周长为3+5+5=13；
若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，周长为3+3+5=11，
综上，△ABC的周长为11或13．
故选B.
考点：1.解一元二次方程-因式分解法；2.三角形三边关系；3.等腰三角形的性质．
6. 如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．正确的个数是（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【正确答案】A

【分析】先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE∥CA，DF∥BA，得出四边形AEDF是平行四边形，故①正确；当∠BAC＝90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；如果AD平分∠BAC，通过等量代换可得∠EAD=∠EDA，可得平行四边形AEDF的一组邻边相等，即可得到四边形AEDF是菱形，故③正确；由AD⊥BC且AB＝AC，根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，同理可得四边形AEDF是菱形，故④正确；进而得到正确说法的个数．
【详解】解：∵DE∥CA，DF∥BA
∴四边形AEDF是平行四边形，①正确；
若∠BAC＝90°
∴平行四边形AEDF为矩形，②正确；
若AD平分∠BAC
∴∠EDA=∠FAD
又DE∥CA，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE．
∴平行四边形AEDF为菱形，③正确；
若AD⊥BC，AB＝AC，
∴AD平分∠BAC，
同理可得平行四边形AEDF为菱形，④正确；
故选：A．
本题考查四边形与三角形的相关知识，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形的判定定理是解答本题的关键．
7. 如图，菱形中，对角线相交于点O，E为边中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）


A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14
【正确答案】A

【分析】首先根据菱形的性质求出边长并得出，然后利用三角形中位线的性质即可求出答案．
【详解】∵菱形的周长为28，
∴，，
∵为边中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：A．
本题主要考查菱形的性质和三角形中位线定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
8. 若函数y=kx﹣b的图象如图所示，则关于x的没有等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为（　　）


A. x＜2 B. x＞2 C. x＜5 D. x＞5
【正确答案】C

【分析】根据函数图象知：函数过点（2，0）；将此点坐标代入函数的解析式中，可求出k、b的关系式；然后将k、b的关系式代入k（x﹣3）﹣b＞0中进行求解即可．
【详解】解：∵函数y=kx﹣b点（2，0），
∴2k﹣b=0，b=2k．
函数值y随x的增大而减小，则k＜0；
解关于k（x﹣3）﹣b＞0，
移项得：kx＞3k+b，即kx＞5k；
两边同时除以k，因为k＜0，因而解集是x＜5．
故选C．
本题考查函数与一元没有等式．
9. 据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC为13m，河面宽AB为24m,则桥高CD为（ ）

A. 15m B. 17m C. 18m D. 20m
【正确答案】C

【详解】连结OA，如图所示:

∵CD⊥AB，
∴AD=BD=AB=12m.
在Rt△OAD中，OA=13，OD=,
所以CD=OC+OD=13+5=18m.
故选C.
10. 若圆锥的轴截面为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥侧面展开图的圆心角是（ ）
A. 90° B. 120° C. 150° D. 180°
【正确答案】D

【分析】设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，然后设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，利用弧长的计算公式即可求解．
【详解】设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，
设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，
则=2πr，
解得：n=180°．
故选D．
考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
11. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（ ）

A. 45° B. 85° C. 90° D. 95°
【正确答案】B

【详解】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，
∵∠C=50°，∴∠BAC=40°，
∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD=∠DBC=45°，
∴∠CAD=∠DBC=45°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°，
故选B．
本题考查圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．

12. 若抛物线y＝x2－(m－3)x－m能与x轴交，则两交点间的距离最值是（ ）
A. 值2， B. 最小值2 C. 值2 D. 最小值2
【正确答案】D

【详解】设抛物线与x轴的两交点间的横坐标分别为：x1，x2，
由韦达定理得：
x1+x2=m-3，x1•x2=-m，
则两交点间的距离d=|x1-x2|== ,
∴m=1时，dmin=2．
故选D.
二、填 空 题（每题4分，共计24分）
13. 没有等式组的解集是 _____________.
【正确答案】x＜－1

【详解】
解没有等式①得:x<5,
解没有等式②得:x<-1
所以没有等式组的解集是x<-1.
故答案是:x<-1.
14. 若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______.
【正确答案】9

【详解】试题分析：此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
∵正多边形的一个内角是140°，
∴它的外角是：180°-140°=40°，
360°÷40°=9．
故答案为9．
考点：多边形内角与外角．
15. 已知关于x的方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为__________．
【正确答案】-3

【详解】试题解析：根据题意得：△=（2）2-4×1×（-k）=0，即12+4k=0，
解得：k=-3，
16. 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA=_________°．

【正确答案】125．

【分析】连接OD，根据圆的切线定理和等腰三角形的性质可得出答案.
【详解】连接OD，

则∠ODC=90°，∠COD=70°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=∠COD=35°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=125°，
故答案为125．
考点：切线的性质．
17. 已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45º．则图中阴影部分的面积是____________.

【正确答案】（－）cm2

【详解】S阴影=S扇形-S△OBD= 52-×5×5=.
故答案是: .
18. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则的长度为______．

【正确答案】

【详解】试题解析：连接AE，

在Rt三角形ADE中，AE=4，AD=2，
∴∠DEA=30°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠DEA=30°，
∴的长度为：=.
考点：弧长的计算.
三、解 答 题（共计80分）
19. (1)计算：
(2)先化简，再求值：，其中x是没有等式的负整数解.
【正确答案】（1）5；（2），3.

【详解】试题分析:(1) 原式先计算乘方运算，再计算乘运算，算加减运算即可得到结果；
（2）先化简,再求得x的值,代入计算即可．
试题解析:
（1）原式＝1－2＋1×2＋4＝5；
（2）原式＝×＝，
当3x＋7＞1,即 x＞－2时的负整数时，（x＝－1）时，原式＝＝3..
20. 有甲、乙两个没有透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和－2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字－1、0和2．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为（x，y）．
（1）请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标；
（2）求点P在函数图像上的概率．
【正确答案】（1）答案见解析；
（2）．

【分析】（1）画出树状图，根据树状图列出点P所有可能的坐标即可；
（2）根据（1）的所有结果，计算出这些结果中点P在函数图像上的个数，即可求得点P在函数图像上的概率．
【小问1详解】
画树状图：
【小问2详解】
∴点P所有可能的坐标为（1，-1），（1，0）（1，2）（-2，-1），（-2，0）（-2，2）
∵只有（1，2）与（-2，-1）这两个点在函数图像上，
∴点P在函数图像上的概率为．
本题主要考查了用列举法（树状图或列表法）求概率，解题的关键是根据题意正确完成树状图或列表．
21. 如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠CBA＝50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED＝EA．
（1）求∠DOA的度数；
（2）求证：直线ED与⊙O相切．

【正确答案】（1）∠DOA =100°；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据∠CBA=50°，利用圆周角定理即可求得∠DOA的度数；
（2）连接OE，利用SSS证明△EAO≌△EDO，根据全等三角形的性质可得∠EDO=∠EAO=90°，即可证明直线ED与⊙O相切．
【详解】解：（1）∵∠DBA=50°，
∴∠DOA=2∠DBA=100°；
（2）证明：连接OE，

在△EAO和△EDO中，
AO=DO，EA=ED，EO=EO，
∴△EAO≌△EDO，
得到∠EDO=∠EAO=90°，
∴直线ED与⊙O相切．
22. 如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP＝FP＝4，EF＝4，∠BAD＝60°，且AB＞4．
（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP=6，求AE＋AF的值.

【正确答案】（1）∠EPF＝120°；（2）AE＋AF＝6.

【详解】试题分析: （1）过点P作PG⊥EF于G，解直角三角形即可得到结论；
（2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，证明△ABC≌△ADC，Rt△PME≌Rt△PNF，问题即可得证.
试题解析:
（1）如图1，过点P作PG⊥EF于G，
∵PE=PF，
∴FG=EG=EF=2，∠FPG=∠EPG＝∠EPF，
在△FPG中，sin∠FPG= ，
∴∠FPG=60°，
∴∠EPF=2∠FPG=120°；

（2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，DC=BC，
∴∠DAC=∠BAC，
∴PM=PN，
在Rt△PME于Rt△PNF中，
，
∴Rt△PME≌Rt△PNF，
∴FN=EM，在Rt△PMA中，∠PMA=90°，∠PAM= ∠DAB=30°，
∴AM=AP•cos30°=3 ，同理AN=3 ，
∴AE+AF=（AM-EM）+（AN+NF）=6.
运用了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，最值问题，等腰三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23. 如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一老人坐在MN这层台阶上晒太阳．（取1.73）
（1）求楼房的高度约为多少米？
（2）过了一会儿，当α＝45°时，问老人能否还晒到太阳？请说明理由．

【正确答案】（1）楼房的高度约为17.3米；（2）当α＝45°时，老人仍可以晒到太阳．理由见解析

【分析】（1）在Rt△ABE中，根据∠α的正切值即可求得楼高；
（2）当时，从点B射下的光线与地面AD的交点为F，与MC的交点为点H.可求得AF=AB=17.3米，又因CF=CH=17.3-17.2=0.1米，CM=0.2，所以大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，即老人仍可晒到太阳．
【详解】解：（1）当α=60°时，在Rt△ABE中，
∵,
∴BA=10tan60°=米.
即楼房的高度约为17.3米；

（2）当时，老人仍可晒到太阳；理由如下：
假设没有台阶，当时，从点B射下的光线与地面AD的交点为F，与MC的交点为点H，
∵∠BFA=45°，
∴，此时的影长AF=BA=17.3米，
所以CF=AF-AC=173-17.2=0.1，
∴CH=CF=0.1米，
∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上．
∴老人仍可晒到太阳．
本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的知识是解题的关键．
24. 如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上且AB＝12cm
（1）若OB＝6cm．
①求点C的坐标；
②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（2）点C与点O的距离的值是多少cm．

【正确答案】（1）①点C的坐标为（－3，9）；②滑动的距离为6（﹣1）cm；（2）OC值12cm．

【分析】（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，根据30°的直角三角形的性质解答即可；
②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，根据锐角三角函数和勾股定理解答即可；
（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，证得△ACE∽△BCD，利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：（1）①过点C作y轴垂线，垂足为D，如图1：

在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，则sin∠BAO=
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，
又∵在Rt△ACB中，∠CBA=60°，
∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，BC=AB·sin30°=6
∴BD=BC·sin30°=3，CD=BC·cos30°=3，
∴OD=OB+BD=9
∴点C的坐标为（﹣3，9）；
②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：

AO=12×cos∠BAO=12×cos30°=6．
∴A'O=6﹣x，B'O=6+x，A'B'=AB=12
在△A'O B'中，由勾股定理得，
（6﹣x）2+（6+x）2=122，解得：x=6（﹣1），
∴滑动的距离为6（﹣1）；
（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：

则OE=﹣x，OD=y，
∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠DCB，
又∵∠AEC=∠BDC=90°，
∴△ACE∽△BCD，
∴，即，
∴y=﹣x，
OC2=x2+y2=x2+（﹣x）2=4x2，
∴当|x|取值时，即C到y轴距离时，OC2有值，即OC取值，
如图，即当C'B'旋转到与y轴垂直时．此时|x|=6，OC=，
故点C与点O的距离的值是12cm．
考点：相似三角形综合题．
25. 函数y＝x图象如图所示，它与二次函数y＝ax2－4ax＋c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为D．
①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；
②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．

【正确答案】（1）点C（2，）；（2）①y＝x2－x； ②y＝x2－x－3或y＝－x2＋2x＋．

【详解】（1）y＝ax2－4ax＋c＝a（x－2）2－4a＋c．
∴二次函数图像的对称轴为直线x＝2．
当x＝2时，y＝x＝，
∴C（2，）；
（2）①∵点D与点C关于x轴对称，
∴D（2，－），
∴CD＝3，
设A（m，m） （m<2），
由S△ACD＝3，得×3×（2－m）＝3，解得m＝0，
∴A（0，0）.
由A（0，0）、 D（2，－）得，解得a＝，c＝0，
∴y＝x2－x；
②设A（m，m）（m<2），过点A作AE⊥CD于E，则AE＝2－m，CE＝－m，
AC＝＝（2－m），

∵CD＝AC，
∴CD＝（2－m）.
由S△ACD＝10得×（2－m）2＝10，解得m＝－2或m＝6（舍去），
∴m＝－2．
∴A（－2，－），CD＝5，
若a＞0，则点D在点C下方，
∴D（2，－），
由A（－2，－）、D（2，－）得，解得，
∴y＝x2－x－3，
若a＜0，则点D在点C上方，
∴D（2，），
由A（－2，－）、D（2，）得，解得
∴y＝－x2＋2x＋.
考点：二次函数与函数的综合题.
































2022-2023学年四川省成都市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选(每小题只有一个正确答案，共12小题，满分36分)
1. 下列各数中为无理数的是（    ）
A B. 3.14 C. D.
2. 如图，下列表示角的方法，错误的是（　　）

A. ∠1与∠AOB表示同一个角 B. ∠AOC也可以用∠O来表示
C. ∠β表示的是∠BOC D. 图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
3. 函数y＝中自变量x的取值范围为（　　）．
A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≤2
4. 如图是由四个完全相同的正方体组成的几何体，这个几何体的左视图是（　　）

A. B. C. D.
5. 下列计算正确的是（　　）
A x+x2=x3 B. C. （x3）2=x6 D. x9÷x3=x3
6. 双曲线y= （k≠0）（1，﹣4），下列各点在此双曲线上的是（   ）
A. （﹣1，﹣4）         B. （4，1） C. （﹣2，﹣2） D. （，﹣4）
7. 关于4，3，8，5，5这五个数，下列说确的是（ ）．
A. 众数是5 B. 平均数是4 C. 方差是5 D. 中位数是8
8. 如图．Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是弧AB 的中点，CD与AB的交点为E，则 等于（   ）

A. 4                              B. 3.5 C. 3 D. 2.8
9. 下列说法中错误的是( 　　 ) ．
A. 一个三角形中至少有一个角没有少于60°
B. 三角形的中线没有可能在三角形的外部
C. 直角三角形只有一条高
D. 三角形的中线把三角形的面积平均分成相等的两部分
10. 方程x2﹣x+1=0与方程x2﹣5x﹣1=0的所有实数根的和是（　　）
A. 6 B. 5 C. 3 D. 2
11. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　)

A. 4 B. 8 C. 6 D. 10
12. 如图，在边长为的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（ ）

A. B. C. D. 1
二、填 空 题（共6小题；共18分）
13. 分解因式：2x3﹣4x2+2x＝_____．
14. 已知点P的坐标是（2，﹣3），那么点P关于原点的对称点P1的坐标是_____．
15. 一组数据1，2，3，x，5的平均数是3，则该组数据的方差是_____．
16. 若一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为（2，5），则另一个交点坐标为_________________．
17. 若一个圆锥的底面积是侧面积的，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是____度．
18. 如图，矩形中，分别为的中点，沿将折叠，若点恰好落在上，则________________．

三、解 答 题（共8小题；共72分）
19. 计算：+2sin60°+|3﹣|﹣（﹣π）0 ．
20. 解没有等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
21. 已知关于x的函数的图象点(，6)．
(1)求m的值；
(2)画出此函数的图象；
(3)平移此函数的图象，使得它与两坐标轴所围成的图形的面积为4，请直接写出此时图象所对应的函数关系式．

22. 如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．
（1）求线段PQ的长；
（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．

23. “赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时默写50首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
请图表完成下列各题：
（1）①表中a的值为 ，中位数在第 组；
②频数分布直方图补充完整；
（2）若测试成绩没有低于80分为，则本次测试的率是多少？
（3）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小明与小强两名男同学能分在同一组的概率．
组别
成绩x分
频数（人数）
第1组
50≤x＜60
6
第2组
60≤x＜70
8
第3组
70≤x＜80
14
第4组
80≤x＜90
a
第5组
90≤x＜100
10

24. 某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）该校打算用1000元购买篮球和足球，问恰好用完1000元，并且篮球、足球都买有的购买有哪几种？
25. 如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=，点P在AB边上，⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B没有重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N．

（1）求⊙P半径；
（2）当AP=时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．
26. 抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)求直线BC表达式；
(2)抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB＝∠ABC，利用图①求点P的坐标；
(3)点Q在y轴右侧抛物线上，利用图②比较∠OCQ与∠OCA的大小，并说明理由．

2022-2023学年四川省成都市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选(每小题只有一个正确答案，共12小题，满分36分)
1. 下列各数中为无理数的是（    ）
A. B. 3.14 C. D.
【正确答案】D

【详解】【分析】根据无理数和有理数的概念逐项进行判断即可得.
【详解】A. =4，有理数，没有符合题意；
B. 3.14 ，是有理数，没有符合题意；
C. ，是有理数，没有符合题意；
D. ，是无理数，符合题意，
故选D.
本题考查了无理数的判断，判断无理数时通常有理数来进行，熟练掌握有理数和无理数的概念是解题的关键.
2. 如图，下列表示角的方法，错误的是（　　）

A. ∠1与∠AOB表示同一个角 B. ∠AOC也可以用∠O来表示
C. ∠β表示的是∠BOC D. 图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
【正确答案】B

【详解】解：由于顶点O处，共有3个角，所以∠AOC没有可以用∠O来表示，故B错误．故选B．
3. 函数y＝中自变量x的取值范围为（　　）．
A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≤2
【正确答案】B

【分析】根据二次根式有意义的条件被开方数大于等于0，列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，x−2≥0
解得：x≥2
故选：B．
本题考查自变量的取值范围．掌握二次根式有意义的条件被开方数大于等于0是解题关键．
4. 如图是由四个完全相同的正方体组成的几何体，这个几何体的左视图是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】从正面看易得层有1个正方形，第二层有1个正方形．
故选B．
5. 下列计算正确的是（　　）
A. x+x2=x3 B. C. （x3）2=x6 D. x9÷x3=x3
【正确答案】C

【分析】
【详解】试题分析：根据同类项的知识，可知x+没有能继续进行计算，故A没有正确；
根据同底数幂相乘，底数没有变，指数相加，可得，故B没有正确；
根据幂的乘方，底数没有变，指数相乘，可得，故C正确；
根据同底数幂相除，底数没有变，指数相减，可得，故D没有正确．
故选C
考点：幂的运算
6. 双曲线y= （k≠0）（1，﹣4），下列各点在此双曲线上的是（   ）
A. （﹣1，﹣4）         B. （4，1） C. （﹣2，﹣2） D. （，﹣4）
【正确答案】D

【详解】【分析】将（1，﹣4）代入y= 即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．
【详解】∵双曲线y= （k≠0）（1，﹣4），
∴k=1×（﹣4）=﹣4，
四个选项中只有D、×（﹣4）=﹣4符合，
故选D．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上点的横、纵坐标之积都等于k是解题的关键.
7. 关于4，3，8，5，5这五个数，下列说确的是（ ）．
A. 众数是5 B. 平均数是4 C. 方差是5 D. 中位数是8
【正确答案】A

【详解】试题分析：根据众数、平均数、方差和中位数的意义和计算公式分别对每一项进行分析即可得出答案．A、在4，3，8，5，5中，5出现了2次，出现的次数至多，则众数是5，故本选项正确；B、平均数是（4+3+8+5+5）÷5=5，故本选项错误；C、方差是：[（4﹣5）2+（3﹣5）2+（8﹣5）2+（5﹣5）2+（5﹣5）2]=，故本选项错误；D、把这组数据从小到大排列为：3，4，5，5，8，最中间的数是5，则中位数是5，故本选项错误．
故选A．
考点：方差；加权平均数；中位数；众数．
8. 如图．Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是弧AB 的中点，CD与AB的交点为E，则 等于（   ）

A. 4                              B. 3.5 C. 3 D. 2.8
【正确答案】C

【详解】【分析】如图，连接DO，交AB于点F，由垂径定理知识可得出DO⊥AB，AF=BF，进而得出DF的长和△DEF∽△CEA，再利用相似三角形的性质求出即可．
【详解】如图，连接DO，交AB于点F，
∵D是的中点，
∴DO⊥AB，AF=BF，
∵AB=4，
∴AF=BF=2，
∴FO是△ABC的中位线，AC∥DO，
∵BC为直径，AB=4，AC=3，
∴BC=5，FO=AC=1.5，
∴DO=2.5，
∴DF=2.5﹣1.5=1，
∵AC∥DO，
∴△DEF∽△CEA，
∴，
∴ =3，
故选C．

本题考查了垂径定理、相似三角形的判定与性质，有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理进行解题是关键.
9. 下列说法中错误的是( 　　 ) ．
A. 一个三角形中至少有一个角没有少于60°
B. 三角形的中线没有可能在三角形的外部
C 直角三角形只有一条高
D. 三角形的中线把三角形的面积平均分成相等的两部分
【正确答案】C

【分析】分别根据三角形内角和定理，三角形的角平分线、中线和高对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A、∵三角形的内角和等于180°，
∴一个三角形中至少有一个角没有少于60°，故本选项正确；
B、三角形的中线一定在三角形的内部，故本选项正确；
C、直角三角形有三条高，故本选项错误；
D、三角形的中线把三角形的面积平均分成相等的两部分，故本选项正确，
故选C．
本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
10. 方程x2﹣x+1=0与方程x2﹣5x﹣1=0的所有实数根的和是（　　）
A. 6 B. 5 C. 3 D. 2
【正确答案】B

【详解】【分析】先判断方程x2﹣x+1=0没有实数解，然后再利用根与系数的关系进行求解即可．
【详解】∵方程x2﹣x+1=0中 △=(-1)2-4×1×1<0，∴方程x2﹣x+1=0没有实数解，
又∵方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根的和为5，
∴方程x2﹣x+1=0与方程x2﹣5x﹣1=0的所有实数根的和是5，
故选B．
本题考查了一元二次方程的送别式、根与系数的关系等，熟练应用根的判别式、根与系数的关系是解题的关键.
11. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　)

A. 4 B. 8 C. 6 D. 10
【正确答案】B

【详解】解：设AG与BF交点为O，
∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，
∴∠BAO=∠FAO，
∴△ABO≌△AFO（SAS），
∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，
∵AB=5，
∴，
∵AF∥BE，
∴∠FAO=∠BOE，
又∵OB=OE，∠AOE=∠EOB，
∴△AOF≌△EOB（AAS），
∴AO=EO，
∴AE=2AO=8，
故选B．


本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．

12. 如图，在边长为的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（ ）

A. B. C. D. 1
【正确答案】D

【详解】试题分析：∵△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，∴∠PBC=∠ABC=30°，∵PC⊥BC，∴∠PCB=90°，在Rt△PCB中，PC=BC•tan∠PBC==1，∴点P到边AB所在直线的距离为1，故选D．
考点：1．角平分线的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形；4．勾股定理．
二、填 空 题（共6小题；共18分）
13. 分解因式：2x3﹣4x2+2x＝_____．
【正确答案】2x（x-1）2

【详解】2x3﹣4x2+2x=
14. 已知点P的坐标是（2，﹣3），那么点P关于原点的对称点P1的坐标是_____．
【正确答案】（﹣2，3）

【详解】试题解析：∵点P的坐标是（2，﹣3），
∴点P关于原点对称点P1的坐标是（﹣2，3）．
故答案为（﹣2，3），
点睛：关于原点对称的点的坐标的横坐标与纵坐标互为相反数
15. 一组数据1，2，3，x，5的平均数是3，则该组数据的方差是_____．
【正确答案】2

【分析】先用平均数是3可得x的值，再方差公式计算即可．
【详解】平均数是3（1+2+3+x+5），解得：x=4，
∴方差是S2[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]10=2．
故答案为2．
本题考查了平均数和方差的概念，解题的关键是牢记方差的计算公式，难度没有大．
16. 若一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为（2，5），则另一个交点坐标为_________________．
【正确答案】（﹣2，﹣5）

【详解】∵另一个交点的坐标与点（2，5）关于原点对称，
∴另一交点的坐标为（-2，-5）．
故答案是：(-2,-5) .
17. 若一个圆锥的底面积是侧面积的，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是____度．
【正确答案】120

【详解】根据圆锥的底面积是侧面积的得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数
18. 如图，矩形中，分别为的中点，沿将折叠，若点恰好落在上，则________________．

【正确答案】

【分析】连接EF，则可证明△EA′F≌△EDF，从而根据BF=BA′+A′F，得出BF的长，在Rt△BCF中，利用勾股定理可求出BC，即得AD的长度．
【详解】解：如图

连接EF，
∵点E、点F是AD、DC的中点，
∴AE=ED，CF=DF=CD=AB=1，
由折叠的性质可得AE=A′E，
∴A′E=DE，
在Rt△EA′F和Rt△EDF中，

∴Rt△EA′F≌Rt△EDF（HL），
∴A′F=DF=1，
∴BF=BA′+A′F=AB+DF=2+1=3，
在Rt△BCF中，
BC=,
∴AD=BC=．
故
本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是连接EF，证明Rt△EA′F≌Rt△EDF，得出BF的长，注意掌握勾股定理的表达式．
三、解 答 题（共8小题；共72分）
19. 计算：+2sin60°+|3﹣|﹣（﹣π）0 ．
【正确答案】5

【详解】【分析】按顺序先进行算术平方根的计算、角的三角函数值、值的化简、0次幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可得.
【详解】原式=3+2×+3﹣﹣1
=3++2﹣
=5 .
本题考查了实数的混合运算，涉及到角的三角函数值、0次幂等运算，熟练掌握相关运算的运算法则以及实数混合运算的运算顺序是解题的关键.
20. 解没有等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【正确答案】-3≤x＜1，

【详解】解：
解没有等式①得：x＜1，
解没有等式②得：x≥－3，
把没有等式①和②的解集在数轴上表示出来：

所以没有等式组的解集为-3≤x＜1
解一元没有等式组，先求出没有等式组中每一个没有等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小解没有了（无解）．没有等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个没有等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与没有等式的个数一样，那么这段就是没有等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
21. 已知关于x的函数的图象点(，6)．
(1)求m的值；
(2)画出此函数的图象；
(3)平移此函数的图象，使得它与两坐标轴所围成的图形的面积为4，请直接写出此时图象所对应的函数关系式．

【正确答案】（1）m的值为﹣2；（2）画函数图象见解析；（3）函数解析式是：y=﹣2x+4.

【详解】（1）将x=﹣2，y=6代入y=mx+2，得
6=﹣2m+2，
解得m=﹣2；
（2）由（1）知，该函数是函数：y=﹣2x+2，
令x=0，则y=2；
令y=0，则x=1，
所以该直线点（0，2），（1，0）．
其图象如图所示：
；
（3）根据上图知，直线y=﹣2x+2与坐标轴所围成的三角形的面积是×1×2=1，
所以，平移此函数的图象，使得它与两坐标轴所围成的图形的面积为4时，
函数解析式可以是：y=﹣2x+4或y=﹣2x﹣4．
22. 如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．
（1）求线段PQ的长；
（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．

【正确答案】（1）1（2）点P是AB的中点

【详解】试题分析：（1）由题意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD边长为1，易证得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性质，求得线段PQ的长；
（2）易证得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根据相似三角形的对应边成比例，可得证得PA=PB，则可求得答案．
试题解析：（1）根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠APD+∠QPE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠QPE，
∵EQ⊥AB，
∴∠A=∠Q=90°，
在△ADP和△QPE中，
，
∴△ADP≌△QPE（AAS），
∴PQ=AD=1；
（2）∵△PFD∽△BFP，
∴，
∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，
∴△DAP∽△PBF，
∴，
∴，
∴PA=PB，
∴PA=AB=
∴当PA=，即点P是AB的中点时，△PFD∽△BFP．

考点：1、相似三角形的判定与性质，2、正方形的性质，3、全等三角形的判定与性质
23. “赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时默写50首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
请图表完成下列各题：
（1）①表中a的值为 ，中位数在第 组；
②频数分布直方图补充完整；
（2）若测试成绩没有低于80分为，则本次测试的率是多少？
（3）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小明与小强两名男同学能分在同一组的概率．
组别
成绩x分
频数（人数）
第1组
50≤x＜60
6
第2组
60≤x＜70
8
第3组
70≤x＜80
14
第4组
80≤x＜90
a
第5组
90≤x＜100
10

【正确答案】（1）①12，3. ②详见解析.（2）.

【详解】分析：（1）①根据题意和表中的数据可以求得a的值；②由表格中的数据可以将频数分布表补充完整；
（2）根据表格中的数据和测试成绩没有低于80分为，可以求得率；
（3）根据题意可以求得所有的可能性，从而可以得到小明与小强两名男同学能分在同一组的概率．
详解：（1）①a=50﹣（6+8+14+10）=12，
中位数为第25、26个数的平均数，而第25、26个数均落在第3组内，
所以中位数落在第3组，
故答案为12，3；
②如图，

（2）×=44%，
答：本次测试的率是44%；
（3）设小明和小强分别为A、B，另外两名学生为：C、D，
则所有的可能性为：（AB﹣CD）、（AC﹣BD）、（AD﹣BC）.
所以小明和小强分在一起的概率为：．
点睛：本题考查列举法求概率、频数分布表、频数分布直方图、中位数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，可以将所有的可能性都写出来，求出相应的概率．
24. 某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）该校打算用1000元购买篮球和足球，问恰好用完1000元，并且篮球、足球都买有的购买有哪几种？
【正确答案】（1）篮球和足球的单价各是100元，60元；（2）详见解析


【分析】（1）首先设足球单价为x元，则篮球单价为（x+40）元，根据题意可得等量关系：1500元购进的篮球个数=900元购进的足球个数，由等量关系可得方程，再解方程可得答案；
（2）设恰好用完1000元，可购买篮球m个和购买足球n个，根据题意可得篮球的单价×篮球的个数m+足球的单价×足球的个数n=1000，再求出整数解即可．
【详解】（1）设足球单价为x元，则篮球单价为（x+40）元，由题意得：
，
解得：x=60，
经检验：x=60是原分式方程的解，
则x+40=100，
答：篮球和足球的单价各是100元，60元；
（2）设恰好用完1000元，可购买篮球m个和购买足球n个，
由题意得：100m+60n=1000，
整理得：m=10-n，
∵m、n都是正整数，
∴①n=5时，m=7，②n=10时，m=4，③n=15，m=1；
∴有三种：
①购买篮球7个，购买足球5个；
②购买篮球4个，购买足球10个；
③购买篮球1个，购买足球15个．
25. 如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=，点P在AB边上，⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B没有重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N．

（1）求⊙P的半径；
（2）当AP=时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．
【正确答案】（1）半径为3；（2）相似，理由见解析．

【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；
（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出、的值，得出=，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明．
【详解】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，

∵⊙P与边AC相切，
∴BD就是⊙P的半径，
在Rt△ABD中，tanA= ，
设BD=x，则AD=2x，
∴x2+(2x)2=152，
解得：x=3，
∴半径为3；
（2）相似，理由见解析，
如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，
∴PH垂直平分MN，
∴PM=PN，
在Rt△AHP中，tanA=，
设PH=y，AH=2y，
y2+（2y）2=（6）2
解得：y=6（取正数），
∴PH=6，AH=12，
在Rt△MPH中，
MH==3，
∴MN=2MH=6，
∴AM=AH-MH=12-3=9，
NC=AC-MN-AM=20-6-9=5，
∴，，
∴=，
又∵PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM，
∴∠AMP=∠PNC，
∴△AMP∽△PNC．

本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键．
26. 抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)求直线BC的表达式；
(2)抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB＝∠ABC，利用图①求点P的坐标；
(3)点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图②比较∠OCQ与∠OCA的大小，并说明理由．

【正确答案】（1）y＝－x＋3（2）P点的坐标为(1，2＋2)或(1，－2－2)（3）当Q点的横坐标为5时，∠OCA＝∠OCQ；当Q点的横坐标大于5时，则∠OCQ逐渐变小，故∠OCA＞∠OCQ；当Q点的横坐标小于5且大于0时，则∠OCQ逐渐变大，故∠OCA＜∠OCQ.

【详解】试题分析：（1）由抛物线解析式可求B、C的坐标，利用待定系数法可求直线BC的解析式；
（2）由直线BC的解析式可知∠APB=∠ABC=45°，设抛物线对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，二次函数的对称性可得PB=PD，根据勾股定理求出BD的长，从而求出PE的长，进而求出P的坐标；
（3）设Q（x，－x2＋2x＋3），当∠OCA=∠OCQ时，利用三角形相似可得到关于x的方程，求出Q点的横坐标，再图形比较两角的大小.
试题解析：(1)在y＝－x2＋2x＋3中，令y＝0可得0＝－x2＋2x＋3，解得x＝－1或x＝3，令x＝0可得y＝3，∴B(3，0)，C(0，3)．∴可设直线BC的表达式为y＝kx＋3，把B点坐标代入可得3k＋3＝0，解得k＝－1，∴直线BC的表达式为y＝－x＋3.
(2)∵OB＝OC，∴∠ABC＝45°.∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.

设抛物线的对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，当点P在x轴上方时，如图甲，∵∠APB＝∠ABC＝45°，且PA＝PB，∴∠PBA＝67.5°，∠DPB＝∠APB＝22.5°，∴∠PBD＝22.5°，∴∠DPB＝∠DBP，∴DP＝DB.在Rt△BDE中，BE＝DE＝2，∴BD＝2，∴PE＝2＋2，∴P(1，2＋2)；
当点P在x轴下方时，由对称性可知P点坐标为(1，－2－2)．
综上可知，P点的坐标为(1，2＋2)或(1，－2－2)．

(3)设Q(x，－x2＋2x＋3)，当点Q在x轴下方时，如图乙，过点Q作QF⊥y轴于点F，则CF＝x2－2x.当∠OCA＝∠OCQ时，则△QFC∽△AOC，∴，即，解得x＝0(舍去)或x＝5.
∴当Q点的横坐标为5时，∠OCA＝∠OCQ；当Q点的横坐标大于5时，则∠OCQ逐渐变小，故∠OCA＞∠OCQ；当Q点的横坐标小于5且大于0时，则∠OCQ逐渐变大，故∠OCA＜∠OCQ.