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2022-2023学年上海市松江区中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年上海市松江区中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析，共49页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市松江区中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为（ ）
A. B. C. 3sinα D. 3cosα
2. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA延长线上， =2，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（ ）
A. B. C. D.
3. 将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位后得到新抛物线的表达式为（ ）
A. y=﹣（x+1）2+1 B. y=﹣（x﹣1）2+3 C. y=﹣（x+1）2+5 D. y=﹣（x+3）2+3
4. 已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 相离、相切、相交都有可能
5. 已知是单位向量，且，那么下列说法错误的是（ ）
A. ∥ B. ||=2 C. ||=﹣2|| D. =﹣
6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC＝∠DBC，那么下列结论没有一定正确的是（ ）
A. △AOD∽△BOC B. △AOB∽△DOC
C. CD＝BC D. BC•CD＝AC•OA
二、填 空 题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 若线段a、b满足，则的值为_____．
8. 正六边形的角等于______度．
9. 若抛物线 的开口向上，则 的取值范围是________．
10. 抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标为_____．
11. 已知与相似，且与的相似比为，若的面积为，则的面积等于_______．
12. 已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为_____．
13. 已知某斜面的坡度为1:，那么这个斜面的坡角等于_____度．
14. 已知点A（﹣2，m）、B（2，n）都在抛物线y=x2+2x﹣t上，则m与n的大小关系是m_____n．（填“＞”、“＜”或“=”）
15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点G是重心，联结AG，过点G作DG∥BC，DG交AB于点D，若AB=6，BC=9，则△ADG的周长等于_____．
16. 已知⊙O1半径为4，⊙O2的半径为R，若⊙O1与⊙O2相切，且O1O2=10，则R的值为_____．
17. 如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于_____．
18. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠D=60°，点E、F分别在边AB、BC上．将△BEF沿着直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于_____．
三、解 答 题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
20. 如图，△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且．
（1）求的值；
（2）联结EF，设=，=，用含、的式子表示．
21. 如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D，，联结AC、OB，若CD=40，AC=20．
（1）求弦AB的长；
（2）求sin∠ABO的值．
22. 如图，一栋居民楼AB高为16米，远处有一栋商务楼CD，小明在居民楼的楼底A处测得商务楼顶D处的仰角为60°，又在商务楼的楼顶D处测得居民楼的楼顶B处的俯角为45°．其中A、C两点分别位于B、D两点的正下方，且A、C两点在同一水平线上，求商务楼CD的高度．
（参考数据：≈1.414，≈1.732．结果到0.1米）
23. 如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB＝∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2＝DE•DF．
（1）求证：△BFD∽△CAD；
（2）求证：BF•DE＝AB•AD．
24. 在直角坐标平面内，直线y=x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y=﹣+bx+c点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．
（1）求上述抛物线的表达式；
（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；
（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．
25. 已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P没有与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．
（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；
（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．
2022-2023学年上海市松江区中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为（ ）
A. B. C. 3sinα D. 3cosα
【正确答案】A
【详解】RtABC中，∠C=90°，∴cos= ，
∵，AC=，
∴cosα= ，
∴AB= ，
故选A.
考查解直角三角形的知识；掌握和一个角的邻边与斜边有关的三角函数值是余弦值的知识是解决本题的关键．
2. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上， =2，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】只要证明，可得△BAC∽△DAE，证得∠B=∠D，即可解决问题．
【详解】解：A、 ，可得AE：AC=1：1，与已知没有成比例，故没有能判定；
B、，可得AC：AE=1：1，与已知没有成比例，故没有能判定；
C、即与已知的，可得两组边对应成比例，但夹角没有知是否相等，因此没有一定能判定；
D、，又∠BAC=∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴∠B=∠D，则DE//BC，符合题意，
故选D．
本题考查相似三角形的判定、平行线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3. 将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ）
A. y=﹣（x+1）2+1 B. y=﹣（x﹣1）2+3 C. y=﹣（x+1）2+5 D. y=﹣（x+3）2+3
【正确答案】B
【详解】解：∵将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位，∴新抛物线的表达式为y=﹣（x+1﹣2）2+3=﹣（x﹣1）2+3．故选B．
4. 已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 相离、相切、相交都有可能
【正确答案】A
【分析】先求出点P到x轴的距离，再根据直线与圆的位置关系得出即可．
【详解】解：点P(-2，3)到x轴的距离是3，
3>2，
所以圆P与轴的位置关系是相离，
故选A.
本题考查了坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系等知识点，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
5. 已知是单位向量，且，那么下列说法错误的是（ ）
A. ∥ B. ||=2 C. ||=﹣2|| D. =﹣
【正确答案】C
【详解】解：∵是单位向量，且，，
∴，， ， ，
故C选项错误，
故选C.
6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC＝∠DBC，那么下列结论没有一定正确的是（ ）
A. △AOD∽△BOC B. △AOB∽△DOC
C. CD＝BC D. BC•CD＝AC•OA
【正确答案】D
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【详解】解：∵∠DAC=∠DBC，∠AOD=∠BOC，∴∽ ，故A没有符合题意；
∵∽ ，∴AO：OD=OB：OC，∵∠AOB=∠DOC，∴∽，故B没有符合题意；
∵∽，∴∠CDB=∠CAB，
∵∠CAD=∠CAB，∠DAC =∠DBC，∴∠CDB=∠DBC，∴CD=BC；
没有条件可以证明，
故选D.
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的判定方法①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似.
二、填 空 题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 若线段a、b满足，则的值为_____．
【正确答案】
【分析】由可得b=2a，然后代入求值.
【详解】解:由可得b=2a，
所以 =，
故答案为.
本题考查分式的化简求值，掌握比例的性质是本题的解题关键.
8. 正六边形的角等于______度．
【正确答案】60°
【分析】根据正n边形角的公式直接求解即可.
【详解】解：正六边形的圆心角等于一个周角，即为，正六边形有6个角，所以每个角=
故60°
本题考查正六边形，解答本题的关键是掌握正六边形的性质，熟悉正六边形的角的概念
9. 若抛物线 的开口向上，则 的取值范围是________．
【正确答案】a＞2
【分析】利用二次函数图像的性质直接求解.
【详解】解:∵抛物线的开口向上，
∴a-2>0，
∴a＞2，
故答案为a＞2.
本题考查二次函数图像的性质，掌握二次项系数决定开口方向是本题的解题关键.
10. 抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标为_____．
【正确答案】（2，﹣1）．
详解】先把函数解析式配成顶点式得到y=（x-2）2-1，然后根据顶点式即可得到顶点坐标．
解：y=（x-2）2-1，
所以抛物线的顶点坐标为（2，-1）．
故答案为（2，-1）．
“点睛”本题考查了二次函数的性质．二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c，顶点式：y=（x-h）2+k；两根式：y=a（x-x1）（x-x2）．
11. 已知与相似，且与的相似比为，若的面积为，则的面积等于_______．
【正确答案】
【分析】直接根据相似三角形的性质即可得．
【详解】相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，
则，
，
，
解得，
故．
本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题关键．
12. 已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为_____．
【正确答案】（6﹣2）cm．
【分析】根据黄金分割点的定义和AP＜BP得出PB=AB，代入数据即可得出BP的长度．
【详解】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP＜BP，
则BP=×4=（2 -2）cm．
∴AP=4-BP=
故答案：()cm．
【点评】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的 ．
13. 已知某斜面的坡度为1:，那么这个斜面的坡角等于_____度．
【正确答案】30°
【详解】分析：画出示意图，利用坡角的定义直接得出tanA=求出∠A即可．
详解：如图所示：
∵某坡面的坡比为1:，
∴tanA==，
则它的坡角是：30∘.
故答案为30.
点睛：本题考查三角函数的知识，解题的关键是掌握角度的三角函数值，常见的角的三角函数值包括30°、60°、90°、45°的三角函数值，直接根据角度的三角函数值进行求解即可.
14. 已知点A（﹣2，m）、B（2，n）都在抛物线y=x2+2x﹣t上，则m与n的大小关系是m_____n．（填“＞”、“＜”或“=”）
【正确答案】<
【分析】根据二次函数性质得到抛物线y=x2+2x-t的开口向上，有最小值为-t-1，对称轴为直线x=-1，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，进而解答即可．
【详解】∵y=x2+2x-t=（x+1）2-t-1，
∴a=1＞0，有最小值为-t-1，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y=x2+2x-t对称轴为直线x=-1，
∵-2＜0＜2，
∴m＜n．
故＜
15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点G是重心，联结AG，过点G作DG∥BC，DG交AB于点D，若AB=6，BC=9，则△ADG的周长等于_____．
【正确答案】10
【详解】延长AG交BC于点E，
∵点G是重心，
∴AG：AE=2：3，BE =BC=4.5，
∵∠BAC=90°，∴AE=BE=4.5，
∵DG//BC，
∴△ADG∽△ABE，
∴AD：AB=DG：BE=AG：AE=2：3，
又∵AB=6，
∴AD=4，DG=3，AG=3，
∴AD+DG+AG=10，
故答案为10.
16. 已知⊙O1的半径为4，⊙O2的半径为R，若⊙O1与⊙O2相切，且O1O2=10，则R的值为_____．
【正确答案】6或14cm．
【详解】解：当⊙O1和⊙O2内切时，⊙O2的半径为10+4=14cm；
当⊙O1和⊙O2外切时，⊙O2的半径为10﹣4=6cm；
故答案为6或14cm．
点睛：本题主要是考查两圆相切与数量关系间的联系，一定要考虑两种情况．
17. 如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于_____．
【正确答案】16
【分析】如图作BM⊥AD于M，DE⊥AB于E，BF⊥CD于F．易知四边形BEDF是矩形，理由面积法求出DE，再利用等腰三角形性质，求出DF即可解决问题．
【详解】连接BD，过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥DC于点N，
∵梯形ABCD是等距四边形，点B是等距点，
∴AB=BD=BC=10，
∵= ，
∴AM=，∴BM==3，
∵BM⊥AD，∴AD=2AM=2，
∵AB//CD，
∴S△ABD=，
∴BN=6，
∵BN⊥DC，∴DN==8，
∴CD=2DN=16，
故答案为16.
18. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠D=60°，点E、F分别在边AB、BC上．将△BEF沿着直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：如图，作GH⊥BA交BA的延长线于H，EF交BG于O．
∵四边形ABCD是菱形，∠D=60°，
∴△ABC，△ADC度数等边三角形，AB=BC=CD=AD=2，
∴∠BAD=120°，∠HAG=60°，
∵AG=GD=1，
∴AH=AG=，HG=，
在Rt△BHG中，BG=，
∵△BEO∽△BGH，
∴，
∴，
∴BE=，
故答案为．
三、解 答 题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
【正确答案】2+
【详解】试题分析：根据角三角函数值，可得答案．
试题解析：解：原式=﹣
=﹣
=2+﹣
=2+．
20. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且．
（1）求的值；
（2）联结EF，设=，=，用含、的式子表示．
【正确答案】(1)见解析；（2）=﹣．
【分析】（1）由 得，由DE//BC得，再由DF//AC即可得；
（2）根据已知可得 ， ，从而即可得.
【详解】（1）∵ ， ∴，
∵DE//BC，∴，
又∵DF//AC，∴ ；
（2）∵，∴，
∵，与方向相反 ， ∴ ，
同理： ，
又∵，∴.
21. 如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D，，联结AC、OB，若CD=40，AC=20．
（1）求弦AB的长；
（2）求sin∠ABO的值．
【正确答案】（1）40；（2）
【详解】试题分析：（1）根据，CD过圆心O，可得到CD⊥AB，AB=2AD=2BD，在Rt△ACD中利用勾股定理求得AD长即可得；
（2）利用勾股定理求得半径长，然后再根据正弦三角形函数的定义即可求得.
试题解析：（1）∵CD过圆心O， ，
∴CD⊥AB，AB=2AD=2BD，
∵CD=40， ，
又∵∠ADC=，
∴，
∴AB=2AD=40；
（2）设圆O的半径为r，则OD=40-r，
∵BD=AD=20， ∠ODB= ， ∴，
∴，
∴r=25，OD=15，
∴.
22. 如图，一栋居民楼AB的高为16米，远处有一栋商务楼CD，小明在居民楼的楼底A处测得商务楼顶D处的仰角为60°，又在商务楼的楼顶D处测得居民楼的楼顶B处的俯角为45°．其中A、C两点分别位于B、D两点的正下方，且A、C两点在同一水平线上，求商务楼CD的高度．
（参考数据：≈1.414，≈1.732．结果到0.1米）
【正确答案】商务楼的高度为37.9米．
【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及两个直角三角形，即Rt△BED和Rt△DAC，利用已知角的正切分别计算，可得到一个关于AC的方程，从而求出DC．
【详解】过点B作BE⊥CD与点E，由题意可知∠DBE=，
∠DAC=，CE=AB=16
设AC=x，则，BE=AC=x
∵
∵∴BE=DE ∴
∴
∴
∴
答： 商务楼的高度为37.9米.
23. 如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB＝∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2＝DE•DF．
（1）求证：△BFD∽△CAD；
（2）求证：BF•DE＝AB•AD．
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据已知条件证明△ADE∽△FDA，推出∠DAE=∠F，依据∠ADB＝∠CDE，推出∠FDB=∠ADC，即可得到结论；
（2）根据△BFD∽△CAD，推出，∠B=∠C，得到AB=AC，由此推出结论．
【详解】解：（1）∵AD2＝DE•DF．
∴，
又∵∠ADE=∠FDA，
∴△ADE∽△FDA，
∴∠DAE=∠F，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴∠FDB=∠ADC，
∴△BFD∽△CAD；
（2）∵△BFD∽△CAD，
∴，
∵，
∴，
∵△BFD∽△CAD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴，
∴BF•DE＝AB•AD．
此题考查相似三角形的判定及性质，熟记相似三角形的判定及性质定理并熟练应用解决问题是解题的关键．
24. 在直角坐标平面内，直线y=x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y=﹣+bx+c点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．
（1）求上述抛物线的表达式；
（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；
（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．
【正确答案】（1）y=﹣x+2；（2）；（3）（﹣，）或（﹣3，2）．
【分析】（1）由直线得到A、C的坐标，然后代入二次函数解析式，利用待定系数法即可得；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，由已知可得 ，从而可得、的长，然后再根据三角函数的定义即可得；
（3）分情况讨论即可得．
【详解】（1）令直线y=x+2中y=0得x+2=0
解得x=-4，∴A(-4，0)，
令x=0得y=2，∴C(0，2)
把A、C两点坐标代入得，
，
∴ ，
∴ ；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，
由上可知B（1，0），
∵，
∴ ，
∴，
将代入直线y=x+2，解得
∴
∴ ，
∵
∴；
（3）∵DF⊥AC ，
∴，
①若，则CD//AO ，
∴点D的纵坐标为2，
把y=2代入得x=-3或x=0（舍去），
∴D(-3，2) ；
②若时，过点D作DG⊥y轴于点G，过点C作CQ⊥DG交x轴于点Q，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
设Q(m，0)，则，
∴ ，
∴，
易证：∽ ，
∴ ，
设D(-4t，3t+2)代入得t=0(舍去)或者，
∴．
综上，D点坐标为（﹣，）或（﹣3，2）
25. 已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P没有与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．
（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；
（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．
【正确答案】（1）1；（2）y=；（3）PD的长为±1或．
【详解】试题分析：（1）根据矩形ABCD ， A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，可得， ，得一，从而可得 ；
（2）先证明∽ ，从而得到 ，由AD//BC ，可得，从而根据三角函数可得 ，由得 ，代入，即可得；
（3）分∠CPF的∠FPE的内部与外部两种情况进行讨论即可得.
试题解析：（1）∵矩形ABCD ，∴，
∴ ， ∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，
∴ ， ∴，
∴，∵，
∴ ， ∴，
∴ ；
（2）∵PF⊥BP ，∴，
∴ ，∵ ，∴，
∴， 又∵∠BAP =∠FPE，
∴∽ ，∴ ，
∵AD//BC ， ∴，
∴ ， 即 ，
∵ ， ∴ ，
∴，
∴；
（3）∠CPF=∠BPE，
①如图所示，当点F在CE上时，
∵∠BPF=∠FPD=90°，∴∠DPC=∠FPE，
∵∠FPE=∠BAP，∴∠DPC=∠BAP，
∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，
∴△PAB∽△CPD，
∴PB：CD=AB：PD，
∴PB·PD=CD·AB，
∴x（）=2×2，
∴x=；
②如图所示，当点F在EC延长线上时，
过点P作PN⊥CD于点N，在CD上取一点M，连接PM，使∠MPF=∠CPF，
则有PC：PM=CH：MH，
∵∠BPF=∠DPF=90°，∴∠BPC=∠DPM，
∵∠BPE=∠CPF，∴∠BPE=∠EPF，
∵∠BAP=∠FPE，∴∠BAP=∠DPM，
∵∠ABD=∠BDC，
∴△PAB∽△MPD，
∴PB：MD=AB：PD，
由PD=x，tan∠PDM=tan∠PFC=2，
易得：DN= ，PN=，CN=2-，
PH=2x，FH= ，CH=2-x，
由PB：MD=AB：PD可得MD= ，从而可得MN，
在Rt△PCN中利用勾股定理可得PC，
由PC：PM=CH：MH可得PM，
在在Rt△PMN中利用勾股定理可得关于x 的方程，
解得x= ，
综上：PD的长为：或 .
本题考查了相似综合题，涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质，三角函数的应用，三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例等，解题的关键是根据图形正确地确定相似的三角形，添加适当的辅助线等.
2022-2023学年上海市松江区中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列根式中，与是同类二次根式为（ ）
A. ； B. ； C. ； D.
2. 下列运算正确的是（）
A. B. C. D. ．
3. 下列图形中，既是对称又是轴对称图形的为（）
A. 正三角形 B. 等腰梯形 C. 平行四边形 D. 菱形．
4. 关于反比例函数y=，下列说法中错误的是（ ）
A. 它图象是双曲线
B. 它的图象在、三象限
C. y的值随x的值增大而减小
D. 若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上
5. 将一组数据中的每一个数都加上1得到一组新的数据，那么下列四个统计量中，值保持没有变的是（ ）
A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数
6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙B的半径为1，已知⊙A与直线BC相交，且与⊙B没有公共点，那么⊙A的半径可以是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7.
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 因式分解：_______________________．
8. 方程的根是_______．
9. 函数的定义域是________．
10. 已知关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个没有相等的实数根，那么m的取值范围是_____．
11. 把抛物线向左平移1个单位，则平移后抛物线的表达式为________．
12. 函数的图像如图所示，则当时，的取值范围是________．
13. 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，随机投掷这枚骰子，那么向上一面的点数为合数的概率是________．
14. 某区有4000名学生参加学业水平测试，从中随机抽取500名，对测试成绩进行了统计，统计结果见下表：
成绩（x）
x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数
15
59
78
140
208
那么根据上述数据可以估计该区这次参加学业水平测试成绩小于60分的有______人．
15. 如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，且AE=2EC，如果，，那么= ．（用、表示）．
16. 一个正n边形的一个内角等于它的角的2倍，则n=___．
17. 平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=ax2上的两点A、B满足OA=OB，且tan∠OAB=，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y=x2的通径长为______．
18. 如图，已知平行四边形ABCD中，AC=BC，∠ACB=45°，将三角形ABC沿着AC翻折，点B落在点E处，联结DE，那么的值为________．
三、解 答 题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
20. 解没有等式组：并把解集表示在数轴上．
21. 如图，已知△ABC中，∠B=45°，，BC=6.
（1）求△ABC面积；
（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E. 求DE的长．
22. 某条高速铁路全长540公里，高铁列车与动车组列车在该高速铁路上运行时，高铁列车的平均速度比动车组列车每小时快90公里，因此全程少用1小时，求高铁列车全程的运行时间．
23. 如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE平分∠ABC，交CD于点E，F是AB的中点，联结AE、EF，且AE⊥BE．
求证：（1）四边形BCEF是菱形；（2）BE•AE=2AD•BC．
24. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx的顶点为C(1，﹣1)，P是抛物线上位于象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如果点P的横坐标为m，试用m的代数式表示线段BC的长；
(3)如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．
25. 如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E.
（1）求CE长；
（2）P是 CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q.
①如果△ACQ ∽△CPQ，求CP的长；
②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长.
2022-2023学年上海市松江区中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列根式中，与是同类二次根式的为（ ）
A. ； B. ； C. ； D. .
【正确答案】B
【分析】把A、B、D选项化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】A．与没有是同类二次根式，故本选项错误；
B． 与是同类二次根式，故本选项正确；
C．与没有是同类二次根式，故本选项错误；
D．与没有同类二次根式，故本选项错误．
故选B．
本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
2. 下列运算正确的是（）
A. B. C. D. ．
【正确答案】B
【详解】分析：A.没有是同类项，没有能相加减；B.同底数幂的乘法法则；C.幂的乘方法则；D.同底数幂除法法则.
详解：A.与没有是同类项，没有能合并；
B.，正确；
C.，则原计算错误；
D.，则原计算错误．
故选B.
点睛：本题考查了幂的运算法则和合并同类项法则，同底数幂相乘，底数没有变，指数相加；幂的乘方，底数没有变，指数相乘；同底数幂相除，底数没有变，指数相减；只有同类项才可合并，没有是同类项的没有能合并，合并同类项，只合并系数，字母与字母的指数没有变.
3. 下列图形中，既是对称又是轴对称图形的为（）
A. 正三角形 B. 等腰梯形 C. 平行四边形 D. 菱形．
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形与对称图形的概念求解．
【详解】A．是轴对称图形，没有是对称图形；
B．是轴对称图形，没有是对称图形；
C．没有是轴对称图形，是对称图形；
D．是轴对称图形，也是对称图形．
故选D．
掌握好对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，对称图形是要寻找对称，旋转180°后两部分重合．
4. 关于反比例函数y=，下列说法中错误的是（ ）
A. 它的图象是双曲线
B. 它的图象在、三象限
C. y的值随x的值增大而减小
D. 若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上
【正确答案】C
【分析】根据反比例函数y=的图象上点的坐标特征，以及该函数的图象的性质进行分析、解答．
【详解】A．反比例函数图像是双曲线，正确；
B．k=2＞0，图象位于一、三象限，正确；
C．在每一象限内，y的值随x的增大而减小，错误；
D．∵ab=ba，∴若点（a，b）在它的图像上，则点（b，a）也在它的图像上，故正确．
故选C．
本题主要考查反比例函数的性质．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
5. 将一组数据中的每一个数都加上1得到一组新的数据，那么下列四个统计量中，值保持没有变的是（ ）
A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数
【正确答案】A
【分析】根据平均数和方差的特点，一组数都加上或减去同一个没有等于0的常数后，方差没有变，平均数改变，即可得出答案．
【详解】一组数据x1，x2，…xa的每一个数都加上同一数1，则新数据x1+1，x2+1，…xn+1的平均数改变，但是方差没有变．
故选A．
本题考查了方差和平均数，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，掌握平均数和方差的特点是本题的关键．
6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙B的半径为1，已知⊙A与直线BC相交，且与⊙B没有公共点，那么⊙A的半径可以是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7.
【正确答案】D
【详解】分析：根据勾股定理得AB=5，⊙A与直线BC相交，从而求得⊙A的半径的取值范围；再根据⊙A与⊙B没有公共点，则两圆外离或内含，从而求得r的取值范围．
详解：根据勾股定理得：AB=5，根据题意，⊙A与直线BC相交，所以⊙A的半径的取值范围是大于3；
又⊙A与⊙B没有交点，则 r＜5-1=4或r＞5+1=6，∴3＜r＜4或r＞6．
故选D．
点睛：本题综合考查了直线和圆以及两圆的位置关系与数量之间的联系．本题需注意两圆没有公共点，应分外离和内含两种情况．
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 因式分解：_______________________．
【正确答案】
【分析】先提公因式，再用平方差公式分解．
【详解】解：
本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键．
8. 方程的根是_______．
【正确答案】
【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程，解此一元二次方程得到，，二次根式的性质，去掉增根，即可得到答案．
【详解】方程两边平方得：
∴，
∵
∴
∴没有符合题意，故舍去
∴原方程的根为
故．
本题考查了一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解．
9. 函数的定义域是________．
【正确答案】
【详解】分析：根据分式有意义的条件，分母2x≠0，就可以求得x的范围．
详解：根据分式有意义的条件，分母≠0
得：2x≠0，
解得：x≠0．
故答案为x≠0．
点睛：函数定义域一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母没有能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
10. 已知关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个没有相等的实数根，那么m的取值范围是_____．
【正确答案】m＜4
【分析】由方程有两个没有相等的实数根可得根的判别式△＞0，由此可得关于m的没有等式，解没有等式即可得出结果．
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个没有相等的实数根，
∴△＝(﹣4)2﹣4m＝16﹣4m＞0，解得：m＜4．
故答案为m＜4．
本题考查的是一元二次方程的根的判别式和一元没有等式的解法，熟知根的判别式与一元二次方程根的关系是求解的关键.
11. 把抛物线向左平移1个单位，则平移后抛物线的表达式为________．
【正确答案】
【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出，再展开整理即可．
【详解】∵抛物线y=-2x2向左平移1个单位，∴平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，0），∴平移后抛物线的表达式y=-2（x+1）2．
故答案为y=-2（x+1）2．
本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
12. 函数的图像如图所示，则当时，的取值范围是________．
【正确答案】
【分析】首先找到当y＜0时，图象所在位置，再根据图象可直接得到答案．
【详解】当y＜0时，图象在x轴下方．
∵与x交于（﹣1，0），
∴y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1．
故答案为x＜﹣1．
本题主要考查了函数与一元没有等式，关键是能从图象中找到对应的部分．
13. 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，随机投掷这枚骰子，那么向上一面的点数为合数的概率是________．
【正确答案】
【分析】由一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷这枚骰子，向上的一面的点数为合数的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】∵一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷这枚骰子，向上的一面的点数为合数的有2种情况，∴掷这枚骰子，向上的一面的点数为合数的概率是：．
故答案为．
本题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14. 某区有4000名学生参加学业水平测试，从中随机抽取500名，对测试成绩进行了统计，统计结果见下表：
成绩（x）
x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数
15
59
78
140
208
那么根据上述数据可以估计该区这次参加学业水平测试成绩小于60分的有______人．
【正确答案】120
【分析】利用总学生数乘成绩小于60分的人数的百分比．
【详解】4000××=120．
故答案为120．
此题主要考查了用样本估计总体，关键是知道可以用样本中成绩小于60分的人数占样本容量的百分比估计区内所有成绩小于60分的人数占区内参加学业水平测试的总学生数的百分比．
15. 如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，且AE=2EC，如果，，那么= ．（用、表示）．
【正确答案】 ;
【分析】根据三角形法则可知：=，只要求出即可解决问题．
【详解】∵D是AB的中点，
∴==．
∵AE=2EC，
∴AE=AC，
∴=
=，
∴=．
故答案为．
本题考查了平面向量等知识，解题的关键是掌握平面向量的加法法则（三角形法则），是中考常考题型．
16. 一个正n边形的一个内角等于它的角的2倍，则n=___．
【正确答案】6
【分析】根据正多边形内角和公式求出一个内角的度数，再根据角的求法求出角的度数列方程求解即可．
【详解】∵正n边形的一个内角和=（n﹣2）•180°，
∴正n边形的一个内角=．
∵正n边形的角=
=，
解得：n=6．
故答案为6．
本题比较简单，解答此题的关键是熟知正多边形的内角和公式及角的求法．
17. 平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=ax2上的两点A、B满足OA=OB，且tan∠OAB=，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y=x2的通径长为______．
【正确答案】2
【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而可以求得通径的长．
【详解】设点A的坐标为（−2a，a），点A在x轴的负半轴，
则a＝×(−2a)2，
解得，a＝0（舍去）或a＝，
∴点A的横坐标是−1，点B的横坐标是1，
∴AB＝1−（−1）＝2，
故答案为2．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
18. 如图，已知平行四边形ABCD中，AC=BC，∠ACB=45°，将三角形ABC沿着AC翻折，点B落在点E处，联结DE，那么的值为________．
【正确答案】
【分析】依据△ACF和△DEF都是等腰直角三角形，设EF=DF=1，则DE=，设AF=CF=x，则AC=EC=1+x．在Rt△ACF中，依据AF2+CF2=AC2，可得x2+x2=（x+1）2，解得x=1+，即可得到AC=2+，进而得出==．
【详解】如图，
设AD与CE交于点F，由折叠可得，∠ACE=∠ACB=45°，
而∠DAC=∠ACB=45°，
∴∠AFC=90°，∠EFD=90°，AF=CF，
由折叠可得，CE=AD，
∴EF=DF，
∴△ACF和△DEF都是等腰直角三角形，
设EF=DF=1，则DE=，
设AF=CF=x，则AC=EC=1+x．
∵Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2，
∴x2+x2=（x+1）2，解得：x=1+或x=1﹣（舍去），
∴AC=2+
==．
故答案为．
本题主要考查了折叠问题，平行四边形以及等腰直角三角形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小没有变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解 答 题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
【正确答案】
【分析】根据零指数幂的意义，值的几何意义，二次根式的性质和化简，然后求和即可．
【详解】原式=
=
=
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键．
20. 解没有等式组：并把解集表示在数轴上．
【正确答案】没有等式组的解集是, 数轴表示见解析
【分析】分别求出各没有等式的解集，再求出其公共部分并在数轴上表示出来即可．
【详解】，
由①得：x＜3，
由②得：x≥﹣2，
故没有等式组的解集为：﹣2≤x＜3．
在数轴上表示为：
．
本题考查的是解一元没有等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找没有到”的原则是解答此题的关键．
21. 如图，已知△ABC中，∠B=45°，，BC=6.
（1）求△ABC面积；
（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E. 求DE的长．
【正确答案】(1)6;(2)
【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据题意得到三角形ACH为等腰直角三角形，设AH=BH=x，根据tanC的值，表示出HC，由BC=6求出x的值，确定出AH的长，即可求出三角形ABC面积；
（2）由（1）得到AH与CH的长，利用勾股定理求出AC的长，进而确定出CD的长，根据tanC的值，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可．
【详解】（1）过点A作AH⊥BC于点H．
在Rt△ABC中，∠B=45°，设AH=x，则BH=x．
在Rt△AHC中，tanC==，
∴HC=2x．
∵BC=6，
∴x+2x=6，解得：x=2，
∴AH=2，
∴S△ABC=•BC•AH=6；
（2）由（1）得AH=2，CH=4．
在Rt△AHC中，AC==2．
∵DE垂直平分AC，
∴CD=AC=．
∵ED⊥AC，
∴在Rt△EDC中，tanC==，
∴DE=．
本题考查了解直角三角形，线段的垂直平分线，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．
22. 某条高速铁路全长540公里，高铁列车与动车组列车在该高速铁路上运行时，高铁列车的平均速度比动车组列车每小时快90公里，因此全程少用1小时，求高铁列车全程的运行时间．
【正确答案】2小时
【分析】设这辆高铁列车全程的运行时间为x小时，则动车组列车全程的运行时间为（x+1）小时，根据条件建立方程求出其解就可以得出结论．
【详解】设高铁列车全程的运行时间为x小时，
则动车组列车全程的运行时间为（x+1）小时，
∴，
．
经检验：它们都是原方程的根，但没有符合题意．
答：高铁列车全程的运行时间为2小时．
本题考查了列分式方程解实际问题运用及分式方程的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．
23. 如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE平分∠ABC，交CD于点E，F是AB的中点，联结AE、EF，且AE⊥BE．
求证：（1）四边形BCEF是菱形；（2）BE•AE=2AD•BC．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据角平分线的性质可得出∠ABE=∠CBE，由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得出EF=BF=AB，进而可得出∠FEB=∠FBE=∠CBE，由“内错角相等，两直线平行”可得出EF∥BC，AB∥CD可得出四边形BCEF是平行四边形，再由邻边EF=BF即可证出四边形BCEF是菱形；
（2）根据菱形的性质可得出BC=BF，BF=AB可得出AB=2BC，由AB∥CD可得出∠DEA=∠EAB，∠D=∠AEB=90°可证出△EDA∽△AEB，根据相似三角形的性质可得出BE•AE=AD•BA，代入BA=2BC即可证出结论．
【详解】（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°．
∵F是AB的中点，
∴EF=BF=AB，
∴∠FEB=∠FBE=∠CBE，
∴EF∥BC．
∵AB∥CD，
∴四边形BCEF是平行四边形．
∵EF=BF，
∴四边形BCEF是菱形．
（2）∵四边形BCEF是菱形，
∴BC=BF．
∵BF=AB，
∴AB=2BC．
∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAB．
∵∠D=∠AEB=90°，
∴△EDA∽△AEB，
∴=，
∴BE•AE=AD•BA，
∴BE•AE=2AD•BC．
本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的判定与性质、梯形以及直角三角形，解题的关键是：（1）熟练掌握菱形的判定定理；（2）利用两角对应相等两三角形相似找出△EDA∽△AEB．
24. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx的顶点为C(1，﹣1)，P是抛物线上位于象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如果点P的横坐标为m，试用m的代数式表示线段BC的长；
(3)如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．
【正确答案】(1) y=x2-2x；(2)BC=m-1;(3) P的坐标为（）
【分析】（1）由对称轴公式，以及已知顶点C坐标，利用待定系数法确定出解析式即可；
（2）设出P坐标，令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N，表示出PN，ON，OM，利用比例表示出BM，进而表示出BC即可；
（3）设出P坐标，由两三角形面积相等得到AC=AP，过点P作PQ⊥BC交BC于点Q，列出关于t的方程，求出方程的解确定出t的值，即可求出P坐标．
【详解】∵抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，﹣1），
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为：y=x2﹣2x；
（2）∵点P的横坐标为m，
∴点P的纵坐标为：m2﹣2m，
令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N．
∵P是抛物线上位于象限内的一点，
∴PN=m2﹣2m，ON=m，OM=1，由=，得：=，
∴BM=m﹣2．
∵点C的坐标为（1，﹣1），
∴BC=m﹣2+1=m﹣1；
（3）令P（t，t2﹣2t）．
∵△ABP的面积等于△ABC的面积，
∴AC=AP，过点P作PQ⊥BC交BC于点Q，
∴CM=MQ=1，可得：t2﹣2t=1，解得：t=1+（t=1﹣舍去），
∴P的坐标为（1+，1）．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
25. 如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E.
（1）求CE的长；
（2）P CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q.
①如果△ACQ ∽△CPQ，求CP的长；
②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长.
【正确答案】（1）CE=；（2）①；②
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得：．再由BC=DC，得到BE=AE．设CE=x，则AE=BE=x+2．在Rt△ACE中，由勾股定理即可得出结论．
（2）①由△ACQ ∽△CPQ，得到∠ACQ=∠P．再由平行线的性质得到∠ACQ=∠CAE，则∠CAE=∠P，即可证明△ACE ∽△PCA，由相似△的性质即可得到结论．
②设CP=t，则 ．在Rt△ACP中，由勾股定理得： ．再由平行线分线段成比例定理得，可求出．然后分两种情况讨论：①若两圆外切，则，②若两圆内切，则，解方程即可．
【详解】详解：（1）∵AE∥CD，
∴．
∵BC=DC，
∴BE=AE．
设CE=x，则AE=BE=x+2．
∵ ∠ACB=90°，
∴ ，
即，
∴，即．
（2）①∵△ACQ ∽△CPQ，∠QAC>∠P，
∴∠ACQ=∠P．
又∵AE∥CD，
∴∠ACQ=∠CAE，
∴∠CAE=∠P，
∴△ACE ∽△PCA，
∴，
即，
∴ ．
②设CP=t，则 ．
∵∠ACB=90°，∴ ．
∵AE∥CD，
∴，即，
∴．
若两圆外切，那么，此时方程无实数解．
若两圆内切，那么，
∴ ，
解得．
又∵，
∴．
本题是圆的综合题．考查了圆与圆的位置关系、平行线分线段成比例定理以及相似三角形的性质．解答（2）②注意要分两种情况讨论．
2022-2023学年上海市松江区中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为（ ）
A. B. C. 3sinα D. 3cosα
2. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA延长线上， =2，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（ ）
A. B. C. D.
3. 将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位后得到新抛物线的表达式为（ ）
A. y=﹣（x+1）2+1 B. y=﹣（x﹣1）2+3 C. y=﹣（x+1）2+5 D. y=﹣（x+3）2+3
4. 已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 相离、相切、相交都有可能
5. 已知是单位向量，且，那么下列说法错误的是（ ）
A. ∥ B. ||=2 C. ||=﹣2|| D. =﹣
6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC＝∠DBC，那么下列结论没有一定正确的是（ ）
A. △AOD∽△BOC B. △AOB∽△DOC
C. CD＝BC D. BC•CD＝AC•OA
二、填 空 题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 若线段a、b满足，则的值为_____．
8. 正六边形的角等于______度．
9. 若抛物线 的开口向上，则 的取值范围是________．
10. 抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标为_____．
11. 已知与相似，且与的相似比为，若的面积为，则的面积等于_______．
12. 已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为_____．
13. 已知某斜面的坡度为1:，那么这个斜面的坡角等于_____度．
14. 已知点A（﹣2，m）、B（2，n）都在抛物线y=x2+2x﹣t上，则m与n的大小关系是m_____n．（填“＞”、“＜”或“=”）
15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点G是重心，联结AG，过点G作DG∥BC，DG交AB于点D，若AB=6，BC=9，则△ADG的周长等于_____．
16. 已知⊙O1半径为4，⊙O2的半径为R，若⊙O1与⊙O2相切，且O1O2=10，则R的值为_____．
17. 如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于_____．
18. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠D=60°，点E、F分别在边AB、BC上．将△BEF沿着直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于_____．
三、解 答 题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
20. 如图，△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且．
（1）求的值；
（2）联结EF，设=，=，用含、的式子表示．
21. 如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D，，联结AC、OB，若CD=40，AC=20．
（1）求弦AB的长；
（2）求sin∠ABO的值．
22. 如图，一栋居民楼AB高为16米，远处有一栋商务楼CD，小明在居民楼的楼底A处测得商务楼顶D处的仰角为60°，又在商务楼的楼顶D处测得居民楼的楼顶B处的俯角为45°．其中A、C两点分别位于B、D两点的正下方，且A、C两点在同一水平线上，求商务楼CD的高度．
（参考数据：≈1.414，≈1.732．结果到0.1米）
23. 如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB＝∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2＝DE•DF．
（1）求证：△BFD∽△CAD；
（2）求证：BF•DE＝AB•AD．
24. 在直角坐标平面内，直线y=x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y=﹣+bx+c点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．
（1）求上述抛物线的表达式；
（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；
（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．
25. 已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P没有与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．
（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；
（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．
2022-2023学年上海市松江区中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为（ ）
A. B. C. 3sinα D. 3cosα
【正确答案】A
【详解】RtABC中，∠C=90°，∴cos= ，
∵，AC=，
∴cosα= ，
∴AB= ，
故选A.
考查解直角三角形的知识；掌握和一个角的邻边与斜边有关的三角函数值是余弦值的知识是解决本题的关键．
2. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上， =2，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】只要证明，可得△BAC∽△DAE，证得∠B=∠D，即可解决问题．
【详解】解：A、 ，可得AE：AC=1：1，与已知没有成比例，故没有能判定；
B、，可得AC：AE=1：1，与已知没有成比例，故没有能判定；
C、即与已知的，可得两组边对应成比例，但夹角没有知是否相等，因此没有一定能判定；
D、，又∠BAC=∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴∠B=∠D，则DE//BC，符合题意，
故选D．
本题考查相似三角形的判定、平行线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3. 将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ）
A. y=﹣（x+1）2+1 B. y=﹣（x﹣1）2+3 C. y=﹣（x+1）2+5 D. y=﹣（x+3）2+3
【正确答案】B
【详解】解：∵将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位，∴新抛物线的表达式为y=﹣（x+1﹣2）2+3=﹣（x﹣1）2+3．故选B．
4. 已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 相离、相切、相交都有可能
【正确答案】A
【分析】先求出点P到x轴的距离，再根据直线与圆的位置关系得出即可．
【详解】解：点P(-2，3)到x轴的距离是3，
3>2，
所以圆P与轴的位置关系是相离，
故选A.
本题考查了坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系等知识点，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
5. 已知是单位向量，且，那么下列说法错误的是（ ）
A. ∥ B. ||=2 C. ||=﹣2|| D. =﹣
【正确答案】C
【详解】解：∵是单位向量，且，，
∴，， ， ，
故C选项错误，
故选C.
6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC＝∠DBC，那么下列结论没有一定正确的是（ ）
A. △AOD∽△BOC B. △AOB∽△DOC
C. CD＝BC D. BC•CD＝AC•OA
【正确答案】D
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【详解】解：∵∠DAC=∠DBC，∠AOD=∠BOC，∴∽ ，故A没有符合题意；
∵∽ ，∴AO：OD=OB：OC，∵∠AOB=∠DOC，∴∽，故B没有符合题意；
∵∽，∴∠CDB=∠CAB，
∵∠CAD=∠CAB，∠DAC =∠DBC，∴∠CDB=∠DBC，∴CD=BC；
没有条件可以证明，
故选D.
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的判定方法①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似.
二、填 空 题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 若线段a、b满足，则的值为_____．
【正确答案】
【分析】由可得b=2a，然后代入求值.
【详解】解:由可得b=2a，
所以 =，
故答案为.
本题考查分式的化简求值，掌握比例的性质是本题的解题关键.
8. 正六边形的角等于______度．
【正确答案】60°
【分析】根据正n边形角的公式直接求解即可.
【详解】解：正六边形的圆心角等于一个周角，即为，正六边形有6个角，所以每个角=
故60°
本题考查正六边形，解答本题的关键是掌握正六边形的性质，熟悉正六边形的角的概念
9. 若抛物线 的开口向上，则 的取值范围是________．
【正确答案】a＞2
【分析】利用二次函数图像的性质直接求解.
【详解】解:∵抛物线的开口向上，
∴a-2>0，
∴a＞2，
故答案为a＞2.
本题考查二次函数图像的性质，掌握二次项系数决定开口方向是本题的解题关键.
10. 抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标为_____．
【正确答案】（2，﹣1）．
详解】先把函数解析式配成顶点式得到y=（x-2）2-1，然后根据顶点式即可得到顶点坐标．
解：y=（x-2）2-1，
所以抛物线的顶点坐标为（2，-1）．
故答案为（2，-1）．
“点睛”本题考查了二次函数的性质．二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c，顶点式：y=（x-h）2+k；两根式：y=a（x-x1）（x-x2）．
11. 已知与相似，且与的相似比为，若的面积为，则的面积等于_______．
【正确答案】
【分析】直接根据相似三角形的性质即可得．
【详解】相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，
则，
，
，
解得，
故．
本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题关键．
12. 已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为_____．
【正确答案】（6﹣2）cm．
【分析】根据黄金分割点的定义和AP＜BP得出PB=AB，代入数据即可得出BP的长度．
【详解】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP＜BP，
则BP=×4=（2 -2）cm．
∴AP=4-BP=
故答案：()cm．
【点评】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的 ．
13. 已知某斜面的坡度为1:，那么这个斜面的坡角等于_____度．
【正确答案】30°
【详解】分析：画出示意图，利用坡角的定义直接得出tanA=求出∠A即可．
详解：如图所示：
∵某坡面的坡比为1:，
∴tanA==，
则它的坡角是：30∘.
故答案为30.
点睛：本题考查三角函数的知识，解题的关键是掌握角度的三角函数值，常见的角的三角函数值包括30°、60°、90°、45°的三角函数值，直接根据角度的三角函数值进行求解即可.
14. 已知点A（﹣2，m）、B（2，n）都在抛物线y=x2+2x﹣t上，则m与n的大小关系是m_____n．（填“＞”、“＜”或“=”）
【正确答案】<
【分析】根据二次函数性质得到抛物线y=x2+2x-t的开口向上，有最小值为-t-1，对称轴为直线x=-1，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，进而解答即可．
【详解】∵y=x2+2x-t=（x+1）2-t-1，
∴a=1＞0，有最小值为-t-1，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y=x2+2x-t对称轴为直线x=-1，
∵-2＜0＜2，
∴m＜n．
故＜
15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点G是重心，联结AG，过点G作DG∥BC，DG交AB于点D，若AB=6，BC=9，则△ADG的周长等于_____．
【正确答案】10
【详解】延长AG交BC于点E，
∵点G是重心，
∴AG：AE=2：3，BE =BC=4.5，
∵∠BAC=90°，∴AE=BE=4.5，
∵DG//BC，
∴△ADG∽△ABE，
∴AD：AB=DG：BE=AG：AE=2：3，
又∵AB=6，
∴AD=4，DG=3，AG=3，
∴AD+DG+AG=10，
故答案为10.
16. 已知⊙O1的半径为4，⊙O2的半径为R，若⊙O1与⊙O2相切，且O1O2=10，则R的值为_____．
【正确答案】6或14cm．
【详解】解：当⊙O1和⊙O2内切时，⊙O2的半径为10+4=14cm；
当⊙O1和⊙O2外切时，⊙O2的半径为10﹣4=6cm；
故答案为6或14cm．
点睛：本题主要是考查两圆相切与数量关系间的联系，一定要考虑两种情况．
17. 如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于_____．
【正确答案】16
【分析】如图作BM⊥AD于M，DE⊥AB于E，BF⊥CD于F．易知四边形BEDF是矩形，理由面积法求出DE，再利用等腰三角形性质，求出DF即可解决问题．
【详解】连接BD，过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥DC于点N，
∵梯形ABCD是等距四边形，点B是等距点，
∴AB=BD=BC=10，
∵= ，
∴AM=，∴BM==3，
∵BM⊥AD，∴AD=2AM=2，
∵AB//CD，
∴S△ABD=，
∴BN=6，
∵BN⊥DC，∴DN==8，
∴CD=2DN=16，
故答案为16.
18. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠D=60°，点E、F分别在边AB、BC上．将△BEF沿着直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：如图，作GH⊥BA交BA的延长线于H，EF交BG于O．
∵四边形ABCD是菱形，∠D=60°，
∴△ABC，△ADC度数等边三角形，AB=BC=CD=AD=2，
∴∠BAD=120°，∠HAG=60°，
∵AG=GD=1，
∴AH=AG=，HG=，
在Rt△BHG中，BG=，
∵△BEO∽△BGH，
∴，
∴，
∴BE=，
故答案为．
三、解 答 题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
【正确答案】2+
【详解】试题分析：根据角三角函数值，可得答案．
试题解析：解：原式=﹣
=﹣
=2+﹣
=2+．
20. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且．
（1）求的值；
（2）联结EF，设=，=，用含、的式子表示．
【正确答案】(1)见解析；（2）=﹣．
【分析】（1）由 得，由DE//BC得，再由DF//AC即可得；
（2）根据已知可得 ， ，从而即可得.
【详解】（1）∵ ， ∴，
∵DE//BC，∴，
又∵DF//AC，∴ ；
（2）∵，∴，
∵，与方向相反 ， ∴ ，
同理： ，
又∵，∴.
21. 如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D，，联结AC、OB，若CD=40，AC=20．
（1）求弦AB的长；
（2）求sin∠ABO的值．
【正确答案】（1）40；（2）
【详解】试题分析：（1）根据，CD过圆心O，可得到CD⊥AB，AB=2AD=2BD，在Rt△ACD中利用勾股定理求得AD长即可得；
（2）利用勾股定理求得半径长，然后再根据正弦三角形函数的定义即可求得.
试题解析：（1）∵CD过圆心O， ，
∴CD⊥AB，AB=2AD=2BD，
∵CD=40， ，
又∵∠ADC=，
∴，
∴AB=2AD=40；
（2）设圆O的半径为r，则OD=40-r，
∵BD=AD=20， ∠ODB= ， ∴，
∴，
∴r=25，OD=15，
∴.
22. 如图，一栋居民楼AB的高为16米，远处有一栋商务楼CD，小明在居民楼的楼底A处测得商务楼顶D处的仰角为60°，又在商务楼的楼顶D处测得居民楼的楼顶B处的俯角为45°．其中A、C两点分别位于B、D两点的正下方，且A、C两点在同一水平线上，求商务楼CD的高度．
（参考数据：≈1.414，≈1.732．结果到0.1米）
【正确答案】商务楼的高度为37.9米．
【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及两个直角三角形，即Rt△BED和Rt△DAC，利用已知角的正切分别计算，可得到一个关于AC的方程，从而求出DC．
【详解】过点B作BE⊥CD与点E，由题意可知∠DBE=，
∠DAC=，CE=AB=16
设AC=x，则，BE=AC=x
∵
∵∴BE=DE ∴
∴
∴
∴
答： 商务楼的高度为37.9米.
23. 如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB＝∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2＝DE•DF．
（1）求证：△BFD∽△CAD；
（2）求证：BF•DE＝AB•AD．
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据已知条件证明△ADE∽△FDA，推出∠DAE=∠F，依据∠ADB＝∠CDE，推出∠FDB=∠ADC，即可得到结论；
（2）根据△BFD∽△CAD，推出，∠B=∠C，得到AB=AC，由此推出结论．
【详解】解：（1）∵AD2＝DE•DF．
∴，
又∵∠ADE=∠FDA，
∴△ADE∽△FDA，
∴∠DAE=∠F，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴∠FDB=∠ADC，
∴△BFD∽△CAD；
（2）∵△BFD∽△CAD，
∴，
∵，
∴，
∵△BFD∽△CAD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴，
∴BF•DE＝AB•AD．
此题考查相似三角形的判定及性质，熟记相似三角形的判定及性质定理并熟练应用解决问题是解题的关键．
24. 在直角坐标平面内，直线y=x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y=﹣+bx+c点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．
（1）求上述抛物线的表达式；
（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；
（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．
【正确答案】（1）y=﹣x+2；（2）；（3）（﹣，）或（﹣3，2）．
【分析】（1）由直线得到A、C的坐标，然后代入二次函数解析式，利用待定系数法即可得；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，由已知可得 ，从而可得、的长，然后再根据三角函数的定义即可得；
（3）分情况讨论即可得．
【详解】（1）令直线y=x+2中y=0得x+2=0
解得x=-4，∴A(-4，0)，
令x=0得y=2，∴C(0，2)
把A、C两点坐标代入得，
，
∴ ，
∴ ；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，
由上可知B（1，0），
∵，
∴ ，
∴，
将代入直线y=x+2，解得
∴
∴ ，
∵
∴；
（3）∵DF⊥AC ，
∴，
①若，则CD//AO ，
∴点D的纵坐标为2，
把y=2代入得x=-3或x=0（舍去），
∴D(-3，2) ；
②若时，过点D作DG⊥y轴于点G，过点C作CQ⊥DG交x轴于点Q，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
设Q(m，0)，则，
∴ ，
∴，
易证：∽ ，
∴ ，
设D(-4t，3t+2)代入得t=0(舍去)或者，
∴．
综上，D点坐标为（﹣，）或（﹣3，2）
25. 已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P没有与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．
（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；
（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．
【正确答案】（1）1；（2）y=；（3）PD的长为±1或．
【详解】试题分析：（1）根据矩形ABCD ， A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，可得， ，得一，从而可得 ；
（2）先证明∽ ，从而得到 ，由AD//BC ，可得，从而根据三角函数可得 ，由得 ，代入，即可得；
（3）分∠CPF的∠FPE的内部与外部两种情况进行讨论即可得.
试题解析：（1）∵矩形ABCD ，∴，
∴ ， ∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，
∴ ， ∴，
∴，∵，
∴ ， ∴，
∴ ；
（2）∵PF⊥BP ，∴，
∴ ，∵ ，∴，
∴， 又∵∠BAP =∠FPE，
∴∽ ，∴ ，
∵AD//BC ， ∴，
∴ ， 即 ，
∵ ， ∴ ，
∴，
∴；
（3）∠CPF=∠BPE，
①如图所示，当点F在CE上时，
∵∠BPF=∠FPD=90°，∴∠DPC=∠FPE，
∵∠FPE=∠BAP，∴∠DPC=∠BAP，
∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，
∴△PAB∽△CPD，
∴PB：CD=AB：PD，
∴PB·PD=CD·AB，
∴x（）=2×2，
∴x=；
②如图所示，当点F在EC延长线上时，
过点P作PN⊥CD于点N，在CD上取一点M，连接PM，使∠MPF=∠CPF，
则有PC：PM=CH：MH，
∵∠BPF=∠DPF=90°，∴∠BPC=∠DPM，
∵∠BPE=∠CPF，∴∠BPE=∠EPF，
∵∠BAP=∠FPE，∴∠BAP=∠DPM，
∵∠ABD=∠BDC，
∴△PAB∽△MPD，
∴PB：MD=AB：PD，
由PD=x，tan∠PDM=tan∠PFC=2，
易得：DN= ，PN=，CN=2-，
PH=2x，FH= ，CH=2-x，
由PB：MD=AB：PD可得MD= ，从而可得MN，
在Rt△PCN中利用勾股定理可得PC，
由PC：PM=CH：MH可得PM，
在在Rt△PMN中利用勾股定理可得关于x 的方程，
解得x= ，
综上：PD的长为：或 .
本题考查了相似综合题，涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质，三角函数的应用，三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例等，解题的关键是根据图形正确地确定相似的三角形，添加适当的辅助线等.
2022-2023学年上海市松江区中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列根式中，与是同类二次根式为（ ）
A. ； B. ； C. ； D.
2. 下列运算正确的是（）
A. B. C. D. ．
3. 下列图形中，既是对称又是轴对称图形的为（）
A. 正三角形 B. 等腰梯形 C. 平行四边形 D. 菱形．
4. 关于反比例函数y=，下列说法中错误的是（ ）
A. 它图象是双曲线
B. 它的图象在、三象限
C. y的值随x的值增大而减小
D. 若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上
5. 将一组数据中的每一个数都加上1得到一组新的数据，那么下列四个统计量中，值保持没有变的是（ ）
A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数
6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙B的半径为1，已知⊙A与直线BC相交，且与⊙B没有公共点，那么⊙A的半径可以是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7.
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 因式分解：_______________________．
8. 方程的根是_______．
9. 函数的定义域是________．
10. 已知关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个没有相等的实数根，那么m的取值范围是_____．
11. 把抛物线向左平移1个单位，则平移后抛物线的表达式为________．
12. 函数的图像如图所示，则当时，的取值范围是________．
13. 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，随机投掷这枚骰子，那么向上一面的点数为合数的概率是________．
14. 某区有4000名学生参加学业水平测试，从中随机抽取500名，对测试成绩进行了统计，统计结果见下表：
成绩（x）
x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数
15
59
78
140
208
那么根据上述数据可以估计该区这次参加学业水平测试成绩小于60分的有______人．
15. 如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，且AE=2EC，如果，，那么= ．（用、表示）．
16. 一个正n边形的一个内角等于它的角的2倍，则n=___．
17. 平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=ax2上的两点A、B满足OA=OB，且tan∠OAB=，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y=x2的通径长为______．
18. 如图，已知平行四边形ABCD中，AC=BC，∠ACB=45°，将三角形ABC沿着AC翻折，点B落在点E处，联结DE，那么的值为________．
三、解 答 题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
20. 解没有等式组：并把解集表示在数轴上．
21. 如图，已知△ABC中，∠B=45°，，BC=6.
（1）求△ABC面积；
（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E. 求DE的长．
22. 某条高速铁路全长540公里，高铁列车与动车组列车在该高速铁路上运行时，高铁列车的平均速度比动车组列车每小时快90公里，因此全程少用1小时，求高铁列车全程的运行时间．
23. 如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE平分∠ABC，交CD于点E，F是AB的中点，联结AE、EF，且AE⊥BE．
求证：（1）四边形BCEF是菱形；（2）BE•AE=2AD•BC．
24. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx的顶点为C(1，﹣1)，P是抛物线上位于象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如果点P的横坐标为m，试用m的代数式表示线段BC的长；
(3)如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．
25. 如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E.
（1）求CE长；
（2）P是 CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q.
①如果△ACQ ∽△CPQ，求CP的长；
②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长.
2022-2023学年上海市松江区中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列根式中，与是同类二次根式的为（ ）
A. ； B. ； C. ； D. .
【正确答案】B
【分析】把A、B、D选项化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】A．与没有是同类二次根式，故本选项错误；
B． 与是同类二次根式，故本选项正确；
C．与没有是同类二次根式，故本选项错误；
D．与没有同类二次根式，故本选项错误．
故选B．
本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
2. 下列运算正确的是（）
A. B. C. D. ．
【正确答案】B
【详解】分析：A.没有是同类项，没有能相加减；B.同底数幂的乘法法则；C.幂的乘方法则；D.同底数幂除法法则.
详解：A.与没有是同类项，没有能合并；
B.，正确；
C.，则原计算错误；
D.，则原计算错误．
故选B.
点睛：本题考查了幂的运算法则和合并同类项法则，同底数幂相乘，底数没有变，指数相加；幂的乘方，底数没有变，指数相乘；同底数幂相除，底数没有变，指数相减；只有同类项才可合并，没有是同类项的没有能合并，合并同类项，只合并系数，字母与字母的指数没有变.
3. 下列图形中，既是对称又是轴对称图形的为（）
A. 正三角形 B. 等腰梯形 C. 平行四边形 D. 菱形．
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形与对称图形的概念求解．
【详解】A．是轴对称图形，没有是对称图形；
B．是轴对称图形，没有是对称图形；
C．没有是轴对称图形，是对称图形；
D．是轴对称图形，也是对称图形．
故选D．
掌握好对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，对称图形是要寻找对称，旋转180°后两部分重合．
4. 关于反比例函数y=，下列说法中错误的是（ ）
A. 它的图象是双曲线
B. 它的图象在、三象限
C. y的值随x的值增大而减小
D. 若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上
【正确答案】C
【分析】根据反比例函数y=的图象上点的坐标特征，以及该函数的图象的性质进行分析、解答．
【详解】A．反比例函数图像是双曲线，正确；
B．k=2＞0，图象位于一、三象限，正确；
C．在每一象限内，y的值随x的增大而减小，错误；
D．∵ab=ba，∴若点（a，b）在它的图像上，则点（b，a）也在它的图像上，故正确．
故选C．
本题主要考查反比例函数的性质．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
5. 将一组数据中的每一个数都加上1得到一组新的数据，那么下列四个统计量中，值保持没有变的是（ ）
A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数
【正确答案】A
【分析】根据平均数和方差的特点，一组数都加上或减去同一个没有等于0的常数后，方差没有变，平均数改变，即可得出答案．
【详解】一组数据x1，x2，…xa的每一个数都加上同一数1，则新数据x1+1，x2+1，…xn+1的平均数改变，但是方差没有变．
故选A．
本题考查了方差和平均数，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，掌握平均数和方差的特点是本题的关键．
6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙B的半径为1，已知⊙A与直线BC相交，且与⊙B没有公共点，那么⊙A的半径可以是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7.
【正确答案】D
【详解】分析：根据勾股定理得AB=5，⊙A与直线BC相交，从而求得⊙A的半径的取值范围；再根据⊙A与⊙B没有公共点，则两圆外离或内含，从而求得r的取值范围．
详解：根据勾股定理得：AB=5，根据题意，⊙A与直线BC相交，所以⊙A的半径的取值范围是大于3；
又⊙A与⊙B没有交点，则 r＜5-1=4或r＞5+1=6，∴3＜r＜4或r＞6．
故选D．
点睛：本题综合考查了直线和圆以及两圆的位置关系与数量之间的联系．本题需注意两圆没有公共点，应分外离和内含两种情况．
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 因式分解：_______________________．
【正确答案】
【分析】先提公因式，再用平方差公式分解．
【详解】解：
本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键．
8. 方程的根是_______．
【正确答案】
【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程，解此一元二次方程得到，，二次根式的性质，去掉增根，即可得到答案．
【详解】方程两边平方得：
∴，
∵
∴
∴没有符合题意，故舍去
∴原方程的根为
故．
本题考查了一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解．
9. 函数的定义域是________．
【正确答案】
【详解】分析：根据分式有意义的条件，分母2x≠0，就可以求得x的范围．
详解：根据分式有意义的条件，分母≠0
得：2x≠0，
解得：x≠0．
故答案为x≠0．
点睛：函数定义域一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母没有能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
10. 已知关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个没有相等的实数根，那么m的取值范围是_____．
【正确答案】m＜4
【分析】由方程有两个没有相等的实数根可得根的判别式△＞0，由此可得关于m的没有等式，解没有等式即可得出结果．
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个没有相等的实数根，
∴△＝(﹣4)2﹣4m＝16﹣4m＞0，解得：m＜4．
故答案为m＜4．
本题考查的是一元二次方程的根的判别式和一元没有等式的解法，熟知根的判别式与一元二次方程根的关系是求解的关键.
11. 把抛物线向左平移1个单位，则平移后抛物线的表达式为________．
【正确答案】
【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出，再展开整理即可．
【详解】∵抛物线y=-2x2向左平移1个单位，∴平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，0），∴平移后抛物线的表达式y=-2（x+1）2．
故答案为y=-2（x+1）2．
本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
12. 函数的图像如图所示，则当时，的取值范围是________．
【正确答案】
【分析】首先找到当y＜0时，图象所在位置，再根据图象可直接得到答案．
【详解】当y＜0时，图象在x轴下方．
∵与x交于（﹣1，0），
∴y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1．
故答案为x＜﹣1．
本题主要考查了函数与一元没有等式，关键是能从图象中找到对应的部分．
13. 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，随机投掷这枚骰子，那么向上一面的点数为合数的概率是________．
【正确答案】
【分析】由一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷这枚骰子，向上的一面的点数为合数的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】∵一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷这枚骰子，向上的一面的点数为合数的有2种情况，∴掷这枚骰子，向上的一面的点数为合数的概率是：．
故答案为．
本题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14. 某区有4000名学生参加学业水平测试，从中随机抽取500名，对测试成绩进行了统计，统计结果见下表：
成绩（x）
x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数
15
59
78
140
208
那么根据上述数据可以估计该区这次参加学业水平测试成绩小于60分的有______人．
【正确答案】120
【分析】利用总学生数乘成绩小于60分的人数的百分比．
【详解】4000××=120．
故答案为120．
此题主要考查了用样本估计总体，关键是知道可以用样本中成绩小于60分的人数占样本容量的百分比估计区内所有成绩小于60分的人数占区内参加学业水平测试的总学生数的百分比．
15. 如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，且AE=2EC，如果，，那么= ．（用、表示）．
【正确答案】 ;
【分析】根据三角形法则可知：=，只要求出即可解决问题．
【详解】∵D是AB的中点，
∴==．
∵AE=2EC，
∴AE=AC，
∴=
=，
∴=．
故答案为．
本题考查了平面向量等知识，解题的关键是掌握平面向量的加法法则（三角形法则），是中考常考题型．
16. 一个正n边形的一个内角等于它的角的2倍，则n=___．
【正确答案】6
【分析】根据正多边形内角和公式求出一个内角的度数，再根据角的求法求出角的度数列方程求解即可．
【详解】∵正n边形的一个内角和=（n﹣2）•180°，
∴正n边形的一个内角=．
∵正n边形的角=
=，
解得：n=6．
故答案为6．
本题比较简单，解答此题的关键是熟知正多边形的内角和公式及角的求法．
17. 平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=ax2上的两点A、B满足OA=OB，且tan∠OAB=，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y=x2的通径长为______．
【正确答案】2
【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而可以求得通径的长．
【详解】设点A的坐标为（−2a，a），点A在x轴的负半轴，
则a＝×(−2a)2，
解得，a＝0（舍去）或a＝，
∴点A的横坐标是−1，点B的横坐标是1，
∴AB＝1−（−1）＝2，
故答案为2．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
18. 如图，已知平行四边形ABCD中，AC=BC，∠ACB=45°，将三角形ABC沿着AC翻折，点B落在点E处，联结DE，那么的值为________．
【正确答案】
【分析】依据△ACF和△DEF都是等腰直角三角形，设EF=DF=1，则DE=，设AF=CF=x，则AC=EC=1+x．在Rt△ACF中，依据AF2+CF2=AC2，可得x2+x2=（x+1）2，解得x=1+，即可得到AC=2+，进而得出==．
【详解】如图，
设AD与CE交于点F，由折叠可得，∠ACE=∠ACB=45°，
而∠DAC=∠ACB=45°，
∴∠AFC=90°，∠EFD=90°，AF=CF，
由折叠可得，CE=AD，
∴EF=DF，
∴△ACF和△DEF都是等腰直角三角形，
设EF=DF=1，则DE=，
设AF=CF=x，则AC=EC=1+x．
∵Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2，
∴x2+x2=（x+1）2，解得：x=1+或x=1﹣（舍去），
∴AC=2+
==．
故答案为．
本题主要考查了折叠问题，平行四边形以及等腰直角三角形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小没有变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解 答 题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
【正确答案】
【分析】根据零指数幂的意义，值的几何意义，二次根式的性质和化简，然后求和即可．
【详解】原式=
=
=
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键．
20. 解没有等式组：并把解集表示在数轴上．
【正确答案】没有等式组的解集是, 数轴表示见解析
【分析】分别求出各没有等式的解集，再求出其公共部分并在数轴上表示出来即可．
【详解】，
由①得：x＜3，
由②得：x≥﹣2，
故没有等式组的解集为：﹣2≤x＜3．
在数轴上表示为：
．
本题考查的是解一元没有等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找没有到”的原则是解答此题的关键．
21. 如图，已知△ABC中，∠B=45°，，BC=6.
（1）求△ABC面积；
（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E. 求DE的长．
【正确答案】(1)6;(2)
【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据题意得到三角形ACH为等腰直角三角形，设AH=BH=x，根据tanC的值，表示出HC，由BC=6求出x的值，确定出AH的长，即可求出三角形ABC面积；
（2）由（1）得到AH与CH的长，利用勾股定理求出AC的长，进而确定出CD的长，根据tanC的值，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可．
【详解】（1）过点A作AH⊥BC于点H．
在Rt△ABC中，∠B=45°，设AH=x，则BH=x．
在Rt△AHC中，tanC==，
∴HC=2x．
∵BC=6，
∴x+2x=6，解得：x=2，
∴AH=2，
∴S△ABC=•BC•AH=6；
（2）由（1）得AH=2，CH=4．
在Rt△AHC中，AC==2．
∵DE垂直平分AC，
∴CD=AC=．
∵ED⊥AC，
∴在Rt△EDC中，tanC==，
∴DE=．
本题考查了解直角三角形，线段的垂直平分线，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．
22. 某条高速铁路全长540公里，高铁列车与动车组列车在该高速铁路上运行时，高铁列车的平均速度比动车组列车每小时快90公里，因此全程少用1小时，求高铁列车全程的运行时间．
【正确答案】2小时
【分析】设这辆高铁列车全程的运行时间为x小时，则动车组列车全程的运行时间为（x+1）小时，根据条件建立方程求出其解就可以得出结论．
【详解】设高铁列车全程的运行时间为x小时，
则动车组列车全程的运行时间为（x+1）小时，
∴，
．
经检验：它们都是原方程的根，但没有符合题意．
答：高铁列车全程的运行时间为2小时．
本题考查了列分式方程解实际问题运用及分式方程的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．
23. 如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE平分∠ABC，交CD于点E，F是AB的中点，联结AE、EF，且AE⊥BE．
求证：（1）四边形BCEF是菱形；（2）BE•AE=2AD•BC．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据角平分线的性质可得出∠ABE=∠CBE，由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得出EF=BF=AB，进而可得出∠FEB=∠FBE=∠CBE，由“内错角相等，两直线平行”可得出EF∥BC，AB∥CD可得出四边形BCEF是平行四边形，再由邻边EF=BF即可证出四边形BCEF是菱形；
（2）根据菱形的性质可得出BC=BF，BF=AB可得出AB=2BC，由AB∥CD可得出∠DEA=∠EAB，∠D=∠AEB=90°可证出△EDA∽△AEB，根据相似三角形的性质可得出BE•AE=AD•BA，代入BA=2BC即可证出结论．
【详解】（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°．
∵F是AB的中点，
∴EF=BF=AB，
∴∠FEB=∠FBE=∠CBE，
∴EF∥BC．
∵AB∥CD，
∴四边形BCEF是平行四边形．
∵EF=BF，
∴四边形BCEF是菱形．
（2）∵四边形BCEF是菱形，
∴BC=BF．
∵BF=AB，
∴AB=2BC．
∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAB．
∵∠D=∠AEB=90°，
∴△EDA∽△AEB，
∴=，
∴BE•AE=AD•BA，
∴BE•AE=2AD•BC．
本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的判定与性质、梯形以及直角三角形，解题的关键是：（1）熟练掌握菱形的判定定理；（2）利用两角对应相等两三角形相似找出△EDA∽△AEB．
24. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx的顶点为C(1，﹣1)，P是抛物线上位于象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如果点P的横坐标为m，试用m的代数式表示线段BC的长；
(3)如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．
【正确答案】(1) y=x2-2x；(2)BC=m-1;(3) P的坐标为（）
【分析】（1）由对称轴公式，以及已知顶点C坐标，利用待定系数法确定出解析式即可；
（2）设出P坐标，令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N，表示出PN，ON，OM，利用比例表示出BM，进而表示出BC即可；
（3）设出P坐标，由两三角形面积相等得到AC=AP，过点P作PQ⊥BC交BC于点Q，列出关于t的方程，求出方程的解确定出t的值，即可求出P坐标．
【详解】∵抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，﹣1），
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为：y=x2﹣2x；
（2）∵点P的横坐标为m，
∴点P的纵坐标为：m2﹣2m，
令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N．
∵P是抛物线上位于象限内的一点，
∴PN=m2﹣2m，ON=m，OM=1，由=，得：=，
∴BM=m﹣2．
∵点C的坐标为（1，﹣1），
∴BC=m﹣2+1=m﹣1；
（3）令P（t，t2﹣2t）．
∵△ABP的面积等于△ABC的面积，
∴AC=AP，过点P作PQ⊥BC交BC于点Q，
∴CM=MQ=1，可得：t2﹣2t=1，解得：t=1+（t=1﹣舍去），
∴P的坐标为（1+，1）．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
25. 如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E.
（1）求CE的长；
（2）P CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q.
①如果△ACQ ∽△CPQ，求CP的长；
②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长.
【正确答案】（1）CE=；（2）①；②
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得：．再由BC=DC，得到BE=AE．设CE=x，则AE=BE=x+2．在Rt△ACE中，由勾股定理即可得出结论．
（2）①由△ACQ ∽△CPQ，得到∠ACQ=∠P．再由平行线的性质得到∠ACQ=∠CAE，则∠CAE=∠P，即可证明△ACE ∽△PCA，由相似△的性质即可得到结论．
②设CP=t，则 ．在Rt△ACP中，由勾股定理得： ．再由平行线分线段成比例定理得，可求出．然后分两种情况讨论：①若两圆外切，则，②若两圆内切，则，解方程即可．
【详解】详解：（1）∵AE∥CD，
∴．
∵BC=DC，
∴BE=AE．
设CE=x，则AE=BE=x+2．
∵ ∠ACB=90°，
∴ ，
即，
∴，即．
（2）①∵△ACQ ∽△CPQ，∠QAC>∠P，
∴∠ACQ=∠P．
又∵AE∥CD，
∴∠ACQ=∠CAE，
∴∠CAE=∠P，
∴△ACE ∽△PCA，
∴，
即，
∴ ．
②设CP=t，则 ．
∵∠ACB=90°，∴ ．
∵AE∥CD，
∴，即，
∴．
若两圆外切，那么，此时方程无实数解．
若两圆内切，那么，
∴ ，
解得．
又∵，
∴．
本题是圆的综合题．考查了圆与圆的位置关系、平行线分线段成比例定理以及相似三角形的性质．解答（2）②注意要分两种情况讨论．
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