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2022-2023学年天津市南开区中考数学专项突破仿真模拟试题（3月4月）含解析
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这是一份2022-2023学年天津市南开区中考数学专项突破仿真模拟试题（3月4月）含解析，共57页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津市南开区中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
第Ⅰ卷（选一选 共48分）
一、选一选（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 16的算术平方根是( )．
A. B. 4 C. -4 D. 256
2. 中国移动数据C项目近日在高新区正式开工建设，该项目建设规模12.6万平方米，建成后将成为山东省的数据业务．其中126000用科学记数法表示应为（ ）
A. 1.26×106 B. 12.6×104 C. 0.126×106 D. 1.26×105
3. 从棱长为2a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（ ）
A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°
5. 下面的图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是( )
A. B. C. D.
6. 下列计算中，正确的是（ ）．
A. B. C. D.
7. 化简等于（ ）
A. B. C. ﹣ D. ﹣
8. 东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国传统文化试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小捷从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，没有足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，直径为10的圆A点C和点O，点B是y轴右侧圆A优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为( )
A. （0，5） B. （0，） C. （0，） D. （0，）
11. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①；②点E到AB的距离是；③；④△ABF的面积为.其中一定成立的有几个( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12. 如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以2为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（ ）
A B. C. D.
第Ⅱ卷 非选一选（共102分）
二、填 空 题（本大题共6小题，每题4分，共24分.把答案填在题中的横线上）
13. 计算：2﹣1+=_____．
14. 因式分解：＝_______．
15. 某校九年级（1）班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是___岁．
16. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为_____m．
17. 如图，D，E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：16，则S△BDE与S△CDE的比是___________．
18. 如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（1，3），C（3，1）.若反比例函数在象限内的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是________.
三、解 答 题：（本大题共9小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算
（1）先化简，再求值：，其中a=1，b=.
（2）解没有等式组
20. （1）如图1，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC=∠BOD，求证：AO=OB；
（2）如图2，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．
21. 如图，在昆明市轨道交通的修建中，在A、B两地修建一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度．（结果到1m，参考数据：,）
22. 国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获补贴500元．若同样用11万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
23. 办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体》，这是中国足球史上重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请图中信息，解答下列问题：
（1）获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．
24. 如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C.
（1）求证：；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE长.
25. 如图，函数y=kx+b的图象A(0,-2),B（1，0）两点，与反比例函数的图象在象限内交于点M，△OBM的面积为2.
（1）求函数和反比例函数的表达式；
（2）求AM的长度；
（3）P是x轴上一点，当AM⊥PM时，求出点P的坐标.
26. 在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，没有需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的值．
27. 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△M面积，试求出面积．
2022-2023学年天津市南开区中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
第Ⅰ卷（选一选 共48分）
一、选一选（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 16的算术平方根是( )．
A. B. 4 C. -4 D. 256
【正确答案】B
【详解】根据算术平方根的意义，由42=16，
可知16的算术平方根为4.
故选B.
2. 中国移动数据C项目近日在高新区正式开工建设，该项目建设规模12.6万平方米，建成后将成为山东省的数据业务．其中126000用科学记数法表示应为（ ）
A. 1.26×106 B. 12.6×104 C. 0.126×106 D. 1.26×105
【正确答案】D
【分析】根据科学记数法的表示形式（a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数），即可求解．
【详解】解：126000＝1.26×105．
故选D．
3. 从棱长为2a正方体零件的一角，挖去一个棱长为a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：俯视图是从上面往下看到的图形，从上面往下看到的是大正方形的左下角有一个小正方形，故答案选B.
考点：几何体的三视图.
4. 如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（ ）
A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°
【正确答案】C
【详解】试题分析：已知m∥n，根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝70°.又因∠3是△ABD的一个外角，可得∠3＝∠2＋∠A.即∠A＝∠3－∠2＝70°－30°＝40°.故答案选C.
考点：平行线的性质.
5. 下面的图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】根据轴对称图形和对称图形的概念，可知：
A是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有正确；
B是对称图形，但没有是轴对称图形，故没有正确；
C即是对称图形，又是轴对称图形，故没有正确；
D是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有正确.
故选C.
6. 下列计算中，正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：A．和没有能合并，故本选项错误；
B．，故本选项错误；
C．和没有能合并，故本选项错误；
D．，故本选项正确；
故选D．
考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．合并同类项．
7. 化简等于（ ）
A. B. C. ﹣ D. ﹣
【正确答案】B
【详解】试题分析：原式=====，故选B．
考点：分式的加减法．
8. 东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国传统文化试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小捷从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】直接利用概率公式计算即可.
【详解】共有20道试题，其中创新能力试题4道，所以从中任选一道试题，选中创新能力试题概率是＝.
故答案选A.
考点：概率公式.
9. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，没有足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱”，即可得出关于x，y的二元方程组，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：C．
本题考查了由实际问题抽象出二元方程组，找准等量关系，正确列出二元方程组是解题的关键．
10. 如图，直径为10的圆A点C和点O，点B是y轴右侧圆A优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为( )
A. （0，5） B. （0，） C. （0，） D. （0，）
【正确答案】A
【详解】首先设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，由∠COD=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ODC=30°，继而求得OC=CD=5，因此点C的坐标为：（0，5）．
故选A．
点睛：此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形思想的应用．
11. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①；②点E到AB的距离是；③；④△ABF的面积为.其中一定成立的有几个( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】根据题意，可知：
∵菱形ABCD，
∴AB=BC=6，
∵∠DAB=60°，
∴AB=AD=DB，∠ABD=∠DBC=60°，
在△ABF与△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴①正确；
过点E作EG⊥AB，过点F作MH⊥CD，MH⊥AB，如图：
∵CE=2，BC=6，∠ABC=120°，
∴BE=6﹣2=4，
∵EG⊥AB，
∴EG= 2 ，
∴点E到AB的距离是2 ，
故②正确；
∵BE=4，EC=2，
∴S△BFE：S△FEC=4：2=2：1，
∴S△ABF：S△FBE=3：2，
∴△ABF的面积为=，
故④错误；
∵，
∴，
∵，
∴FM=，
∴DM=，
∴CM=DC﹣DM=6﹣，
∴tan∠DCF==，
故③正确.
故选C.
12. 如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以2为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：如图1，CH是AB边上的高，与AB相交于点H，
∵∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，
∴AC=AB×cos30°=8×=，BC=AB×sin30°=8×=4，
∴CH=AC×BC÷AB=×4÷8=，AH=÷AB=；
（1）当0≤t≤时，S==；
（2）当时，S==；
（3）当6＜t≤8时，S=
=；
综上，可得：
S=，
∴正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是A图象．
故选A．
第Ⅱ卷 非选一选（共102分）
二、填 空 题（本大题共6小题，每题4分，共24分.把答案填在题中的横线上）
13. 计算：2﹣1+=_____．
【正确答案】
【详解】根据负整指数幂的性质和二次根式的性质，可知=.
故答案为.
14. 因式分解：＝_______．
【正确答案】
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式解题．
【详解】解：
故．
本题考查因式分解，涉及提公因式、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15. 某校九年级（1）班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是___岁．
【正确答案】15．
【分析】根据中位数的定义找出第20和21个数的平均数，即可得出答案．
【详解】解：∵该班有40名同学，
∴这个班同学年龄的中位数是第20和21个数的平均数．
∵14岁的有1人，15岁的有21人，
∴这个班同学年龄的中位数是15岁．
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），熟练掌握中位数的定义是本题的关键．
16. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为_____m．
【正确答案】7
【详解】本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出（x﹣3）（x﹣2）=20，解得：x1=7，x2=﹣2（没有合题意，舍去）即：原正方形的边长7m．
故答案为7m.
点睛：本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
17. 如图，D，E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：16，则S△BDE与S△CDE的比是___________．
【正确答案】1：3
【详解】根据相似三角形的判定，由DE∥AC，可知△DOE∽△COA，△BDE∽△BCA，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可由，求得DE：AC=1:4，即BE：BC=1:4，因此可得BE：EC=1:3，根据同高没有同底的三角形的面积可知与的比是1:3.
故答案为1:3.
18. 如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（1，3），C（3，1）.若反比例函数在象限内的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是________.
【正确答案】2≤x≤4
【详解】根据△ABC三顶点的坐标可知，当k最小是反比例函数过点A，当k取值时，反比例函数与直线相切，且切点在线段BC上，由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的最小值k=1×2=2，再由点B、C的坐标利用待定系数法，设直线BC的解析式为y=ax+b，得到，解得：，求出直线BC的解析式y=-x+4，将其代入反比例函数中，得：-x+4=，即x2-4x+k=0，由反比例函数图象与直线BC只有一个交点，可令△=0即可求出k的值k=4，从而得出2≤k≤4．
故答案为2≤k≤4.
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及根的判别式，解题的关键是求出k的最小值与值．本题属于中档题，难度没有大，解决该题型题目时，由点的坐标利用待定系数法求出直线解析式，将其代入反比例函数中利用相切求出k值是关键．
三、解 答 题：（本大题共9小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算
（1）先化简，再求值：，其中a=1，b=.
（2）解没有等式组
【正确答案】(1);（2）-1≤x≤2.
【详解】试题分析： （1）根据整式的乘法，由完全平方公式和单项式乘以多项式进行计算化简，然后代入求值；
（2）分别求解两个没有等式，然后取其解集的公共部分即可.
试题解析：（1）原式
当a=1，时，原式
（2）
由①得：
由②得：
∴没有等式的解集是：
20. （1）如图1，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC=∠BOD，求证：AO=OB；
（2）如图2，AB是⊙O直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）25°.
【详解】试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC，根据矩形对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC，根据三角形全等的判定AAS证得△AOD≌△BOC，从而得证结论．
（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．
试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD
∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD
即∠AOD=∠BOC
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=90°，AD=BC
∴
∴AO=OB
（2）解：∵AB是的直径，PA与相切于点A，
∴PA⊥AB，
∴∠A=90°.
又∵∠OPA=40°，
∴∠AOP=50°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB.
又∵∠AOP=∠B+∠OCB，
∴.
21. 如图，在昆明市轨道交通的修建中，在A、B两地修建一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度．（结果到1m，参考数据：,）
【正确答案】546m.
【详解】试题分析：过点C作CD⊥AB于D，则由已知求出CD和BD，也能求出AD，从而求出这段地铁AB的长度．
试题解析：过点C作CD⊥AB于D，由题意知：∠CAB=45°，∠CBA=30°，
∴CD=BC=200（m），
BD=CBcos（90°﹣60°）=400×=200（m），
AD=CD=200（m），
∴AB=AD+BD=200+200≈546（m），
答：这段地铁AB的长度为546m．
考点：实际问题转化为直角三角形中的数学问题．
22. 国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获补贴500元．若同样用11万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
【正确答案】3000元．
【分析】根据题意找到等量关系：补贴后可购买的台数比补贴前多20%，设出未知数，列方程求解即可．
【详解】设该款空调补贴前的售价为每台x元，
由题意，得：
解得：x=3000．
经检验得：x=3000是原方程的根．
答：该款空调补贴前的售价为每台3000元．
此题主要考查了分式方程的应用，解题关键是确定问题的等量关系，设出未知数，列方程求解，注意分式方程一定要检验：是方程的解且符合实际．
23. 办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请图中信息，解答下列问题：
（1）获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．
【正确答案】（1）30人；（2）.
【分析】（1）先由三等奖求出总人数，再求出一等奖人数所占的比例，即可得到获得一等奖的学生人数；
（2）用列表法求出概率．
【详解】解：（1）由图可知三等奖占总的25%，总人数为人，一等奖占，所以，一等奖的学生为人；
（2）列表：
从表中我们可以看到总的有12种情况，而AB分到一组的情况有2种，故总的情况为．
考点：1．扇形统计图；2．列表法与树状图法．
24. 如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C.
（1）求证：；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长.
【正确答案】(1)见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）可通过证明∠BAF=∠AED，∠AFB=∠D，证得△ABF∽△EAD；
（2）先证出∠ABE=90°，再运用三角函数即可求出AE.
试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，
∴∠C+∠ADE=180°
∵BFE=∠C，
∴∠AFB=∠EDA
又∵AB//DC
∴∠BAE=∠AED
∴.
（2）∵AB//CD，BE⊥CD，
∴∠ABE=90°，
又∵AB=4，∠BAE=30°
设AE=x，则
由勾股定理得
解得.
点睛：本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数的运用；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
25. 如图，函数y=kx+b的图象A(0,-2),B（1，0）两点，与反比例函数的图象在象限内交于点M，△OBM的面积为2.
（1）求函数和反比例函数的表达式；
（2）求AM的长度；
（3）P是x轴上一点，当AM⊥PM时，求出点P的坐标.
【正确答案】（1）直线解析式为y=2x-2;反比例函数解析式为：；（2）；（3）点P的坐标为（11，0）.
【详解】试题分析： （1）根据函数y=k1x+b的图像A、B可得b、k1的方程组，进而求得函数的解析式，设M（m，n）作MD⊥x轴于点D，由△OBM的面积为2可求出n的值，将M（m，4）代入y=2x-2求出m的值，由M点在双曲线上求出k2，进而得到反比例函数的解析式；
（2）根据已知构造直角三角形进而利用勾股定理求出AM的长；
（3）过点M作MP⊥AM交x轴于点P，由MD⊥BP求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由锐角三角形函数的定义求出OP的值，进而可得出结论.
试题解析：（1）∵直线的图象、两点
∴，
∴解得：
∴函数的表达式为，
∴设，作MD⊥x轴于点D
∵，
∴，
∴，
∴n=4，
∴将代入得，
∴m=3
∵在双曲线上，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）过点M作MF⊥y轴于点F，
则FM=3，AF=4+2=6，
∴；
（3）过点作MP⊥AM交x轴于点P，
∵MD⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴，
∴在Rt△PDM中，，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11
∴当PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）.
点睛：此题主要考查了反比例函数与函数的交点问题，涉及到的知识点为用待定系数法求函数的解析式与反比例函数的解析式、锐角三角形函数的定义，熟知以上知识点是解答此题的关键.
26. 在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，没有需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的值．
【正确答案】（1）AE=DF，AE⊥DF，理由见解析；（2）成立，CE:CD=或2；（3）
【详解】试题分析：（1）根据正方形的性质，由SAS先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；
（2）有两种情况：①当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC=CE=a即可；②当AE=AC时，设正方形的边长为a，由勾股定理求出AC=AE=a，根据正方形的性质知∠ADC=90°，然后根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a即可；
（3）由（1）（2）知：点P的路径是一段以AD为直径的圆，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．
试题解析：（1）AE=DF，AE⊥DF，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，
∴DE=CF，
在△ADE和△DCF中
，
∴，
∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，
∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°，
∴∠ADP+∠DAE=90°，
∴∠APD=180°-90°=90°，
∴AE⊥DF；
（2）（1）中的结论还成立，
有两种情况：
①如图1，当AC=CE时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得，
，
则；
②如图2，当AE=AC时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，
∴DE=CD=a，
∴CE:CD=2a:a=2；
即CE:CD=或2；
（3）∵点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是以AD为直径的圆，
如图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，
此时CP的长度，
∵在Rt△QDC中，
∴，
即线段CP的值是.
点睛：此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，能综合运用性质进行推挤是解此题的关键，用了分类讨论思想，难度偏大.
27. 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△M面积，试求出面积．
【正确答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△M面积，面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②PB=PC；③BP=BC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△M=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△M面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【详解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△M=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
当点M出发1秒到达D点时，△M面积，面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
2022-2023学年天津市南开区中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. -2的倒数是（ ）
A. -2 B. C. D. 2
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
3. 如图，直线l1∥l2，等腰直角△ABC的两个顶点A、B分别落在直线l1、l2上，∠ACB=90°，若∠1=15°，则∠2的度数是( )
A. 35° B. 30° C. 25° D. 20°
4. 将数据0.0000025用科学记数法表示（ ）
A. B. C. D.
5. 在坐标平面内，点P（4﹣2a，a﹣4）在第三象限．则a的取值范围是（ ）
A. a＞2 B. a＜4 C. 2＜a＜4 D. 2≤a≤4
6. 下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是【 】
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，点（4sin45°，2cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 以上三者都有可能
8. 下列函数中，对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＜y2是（ ）
A. y＝－3x＋2 B. y＝2x＋1 C. y＝2x2＋1 D. y＝
9. 二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（ ）
A. x＜﹣1 B. x＞2 C. ﹣1＜x＜2 D. x＜﹣1或x＞2
10. 某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为( )
A. B. C. D.
11. 关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为-2，则另一个根是（ ）
A. -6 B. -3 C. 3 D. 6
12. 观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去（如图2，图3…），则图6中挖去三角形的个数为（ ）
A. 121 B. 362 C. 364 D. 729
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
13. 计算：（）﹣2﹣×=______．
14. 如图，在直径为AB的⊙O中，C，D是⊙O上的两点，∠AOD=58°，CD∥AB，则∠ABC的度数为______．
15. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为AB上一点，将△BCE沿CE翻折至△FCE，EF与AD相交于点G，且AG=FG，则线段AE的长为__________．
16. 如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为______米．
17. 如图，已知等边三角形OAB的顶点O（0，0），A（0，3），将该三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则旋转2018次后，顶点B的坐标为_____．
三、解 答 题
18. 先化简，再求值：÷﹣3，其中a=．
19. 电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对七年级部分学生的课外阅读量进行了随机，整理结果发现，学生课外阅读的本书至少的有5本，至多的有8本，并根据结果绘制了没有完整的图表，如下所示：
（1）统计表中的a＝________，b＝___________，c＝____________；
（2）请将频数分布表直方图补充完整；
（3）求所有被学生课外阅读的平均本数；
（4）若该校七年级共有1200名学生，请你分析该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数．
20. 如图，在中，、分别是、的中点，，垂足为；，垂足为，与相交于点.
（1）证明：；
（2）若，求四边形的对角线的长.
21. 某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？
22. 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在A、B两处，甲测得点D仰角为45°，乙测得点C的仰角为60°，已知两人使用的测角仪的高度AF、BG相等，且A、B、E三点在一条直线上，AB=8m，BE=15m．求广告牌CD的高（到1m）．
23. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数(m≠0)图象交于点A(3，1)，且过点B(0，-2)．
(1)求反比例函数和函数的表达式．
(2)如果点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，且ΔABP的面积是3，求点P的坐标．
24. 如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求⊙O半径．
25. 已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(3，0)，B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P没有与点A重合)，过点P作PD⊥y轴交直线AC于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的值；
(3)△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若没有能请说明理由；
(4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|？若存在请求出点M的坐标，若没有存在请说明理由．
2022-2023学年天津市南开区中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. -2的倒数是（ ）
A. -2 B. C. D. 2
【正确答案】B
【分析】根据倒数的定义求解．
【详解】解：-2的倒数是-，
故选：B．
本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
3. 如图，直线l1∥l2，等腰直角△ABC的两个顶点A、B分别落在直线l1、l2上，∠ACB=90°，若∠1=15°，则∠2的度数是( )
A. 35° B. 30° C. 25° D. 20°
【正确答案】B
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得答案．
【详解】解：是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故选：B．
此题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．
4. 将数据0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故选．
此题考查科学记数法，解题关键在于掌握其一般形式.
5. 在坐标平面内，点P（4﹣2a，a﹣4）在第三象限．则a的取值范围是（ ）
A. a＞2 B. a＜4 C. 2＜a＜4 D. 2≤a≤4
【正确答案】C
【详解】解：∵点P（4﹣2a，a﹣4）在第三象限，∴，解得：2＜a＜4．故选C．
6. 下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是【 】
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】分别判断每个选项中的正视图是否满足条件即可．
【详解】解：A的主视图是矩形，没有满足条件．
B的主视图是矩形，没有满足条件．
C的主视图是三角形，满足条件．
D的主视图是矩形，没有满足条件．
故选：C．
本题主要考查空间几何体的三视图的判断，要求熟练掌握常见空间几何体的三视图．
7. 在平面直角坐标系中，点（4sin45°，2cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 以上三者都有可能
【正确答案】D
【详解】解：设直线的点为A．∵点A的坐标为（4sin45°，2cos30°），∴OA=．∵圆的半径为2，∴OA＞2，∴点A在圆外，∴直线和圆相交，相切、相离都有可能．故选D．
8. 下列函数中，对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＜y2的是（ ）
A. y＝－3x＋2 B. y＝2x＋1 C. y＝2x2＋1 D. y＝
【正确答案】A
【详解】试题分析：根据题意可知：这个函数必须为减函数，根据函数、二次函数和反比例函数的性质可得：只有A选项为减函数，故选A．
9. 二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（ ）
A. x＜﹣1 B. x＞2 C. ﹣1＜x＜2 D. x＜﹣1或x＞2
【正确答案】C
【详解】解：由x2﹣x﹣2=0可得：x1=﹣1，x2=2，
观察函数图象可知，当﹣1＜x＜2时，
函数值y＜0．
故选C．
10. 某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】设3辆车分别为A，B，C，
共有9种情况，小王与小菲在同一辆车的情况数有3种，
所以坐同一辆车的概率为 ．
故答案为A．
考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．
11. 关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为-2，则另一个根是（ ）
A. -6 B. -3 C. 3 D. 6
【正确答案】B
【详解】分析：根据一元二次方程的两根之和等于－5求解.
详解：设另一个根为a，则根据根与系数的关系可得－2＋a＝－5，解得a＝－3.
故选B.
点睛：已知一元二次方程的一个根，求所含的字母系数的方法有：①把已知的根代入到原方程中，求出字母系数，再把字母系数的值代回到原方程求出另一个根；②用两根之和或者两根之积求解.
12. 观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去（如图2，图3…），则图6中挖去三角形的个数为（ ）
A 121 B. 362 C. 364 D. 729
【正确答案】C
【详解】解：①图1，0×3+1=1；
②图2,1×3+1=4；
③图3,4×3+1=13；
④图4,13×3+1=40；
⑤图5,40×3+1=121；
⑥图6,121×3+1=364；
故选：C.
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
13. 计算：（）﹣2﹣×=______．
【正确答案】﹣8．
【详解】解：原式=4﹣2×=4﹣2×6=4﹣12=﹣8．故答案为﹣8．
14. 如图，在直径为AB的⊙O中，C，D是⊙O上的两点，∠AOD=58°，CD∥AB，则∠ABC的度数为______．
【正确答案】61°．
【详解】解：∵∠AOD=58°，∴∠ACD=∠AOD=29°．∵CD∥AB，∴∠CAB=∠ACD=29°．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°﹣29°=61°．故答案为61°．
15. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为AB上一点，将△BCE沿CE翻折至△FCE，EF与AD相交于点G，且AG=FG，则线段AE的长为__________．
【正确答案】1
【详解】解：如图所示．∵四边形ABCD矩形，∴∠D=∠B=∠A=90°，AB=CD=4，AD=BC=6，根据题意得：△BCE≌△CEF，∴EF=BE，∠F=∠B=90°，CF=BC=6．在△GAE和△GFH中，，∴△GAE≌△GFH（ASA），∴EG=GH，AE=FH，∴AH=EF，设BE=EF=x，则AE=FH=4﹣x，AH=x，∴DH=6﹣x，CH=6﹣（4﹣x）=2+x，根据勾股定理得：DC2+DH2=CH2，即42+（6﹣x）2=（x+2）2，解得：x=3，∴BE=3，∴AE=1．故答案为1．
点睛：本题考查的是翻折变换的性质和勾股定理的应用，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小没有变，位置变化，对应边和对应角相等．
16. 如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为______米．
【正确答案】12．
【分析】由题意可得四边形AEFD是矩形，由AB的坡角α=45°，得出AE的长，利用背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值）得出∠C的度数，即可求解．
【详解】解：∵AE⊥BC、DF⊥BC，AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°，∠AEF=∠DFE=∠DFC=90°，
∴四边形AEFD是矩形，∴DF=AE，
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=6 ，∠ABE=45°，
∴AE=AB·sin∠ABE=6，
∴DF=6，
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，DF：FC=i=1：=tan∠C，
∴∠C=30°，∴CD=2DF=12，
即背水坡CD在坡长为12米，
故12．
本题考查了坡度坡角问题．解决此类问题的关键是构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解．
17. 如图，已知等边三角形OAB的顶点O（0，0），A（0，3），将该三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则旋转2018次后，顶点B的坐标为_____．
【正确答案】（0，﹣3）．
【详解】解：由题意知点B旋转=6次后与点B重合，即点B的旋转周期为6．∵2018÷6=336…2，∴点B旋转2018次后的坐标与旋转2次后的坐标相同，如图：
∵∠AOB=60°，∴∠BOC=120°，则两次旋转都点B落在y轴的负半轴，且OB=3，所以点B的坐标为（0，﹣3）．故答案为（0，﹣3）．
点睛：本题主要考查坐标与图形的变化﹣旋转，根据题意得出点B的旋转周期为6及旋转的性质是解题的关键．
三、解 答 题
18. 先化简，再求值：÷﹣3，其中a=．
【正确答案】a﹣3，．
【详解】试题分析：根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入即可解答本题．
试题解析：解：原式 ==a﹣3
当a=时，原式=．
19. 电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对七年级部分学生的课外阅读量进行了随机，整理结果发现，学生课外阅读的本书至少的有5本，至多的有8本，并根据结果绘制了没有完整的图表，如下所示：
（1）统计表中的a＝________，b＝___________，c＝____________；
（2）请将频数分布表直方图补充完整；
（3）求所有被学生课外阅读的平均本数；
（4）若该校七年级共有1200名学生，请你分析该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数．
【正确答案】（1）a＝10，b＝0.28，c＝50；（2）补图见解析；（3）6.4本；（4）528人.
【分析】（1）首先求出总人数，再根据频率，总数，频数的关系即可解决问题；
（2）根据a的值画出条形图即可；
（3）根据平均数的定义计算即可；
（4）用样本估计总体的思想解决问题即可；
【详解】（1）由题意c==50，
a=50×0.2=10b==0.28，c=50；
故答案为a＝10，b＝0.28，c＝50；
（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：
（3）所有被学生课外阅读的平均本数为：
(5×10＋6×18＋7×14＋8×8)÷50＝320÷50＝6.4(本)．
（4）该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数为：
(0.28＋0.16)×1200＝528(人)．
20. 如图，在中，、分别是、的中点，，垂足为；，垂足为，与相交于点.
（1）证明：；
（2）若，求四边形的对角线的长.
【正确答案】（1）答案见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB=AC，AC=BC，得到AB=AC=BC，求得∠B=60°，于是得到∠BAF=∠BCE=30°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的判断对了得到▱ABCD是菱形，求得∠ADC=∠B=60°，AD=CD，求得∠ADG=30°，解直角三角形即可得到结论．
试题解析：（1）证明：∵E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，AF⊥BC，∴AB=AC，AC=BC，∴AB=AC=BC，∴∠B=60°，∴∠BAF=∠BCE=30°．∵E、F分别是AB、BC的中点，∴AE=CF．在△CFG≌△AEG中，，∴△CFG≌△AEG；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴▱ABCD是菱形，∴∠ADC=∠B=60°，AD=CD．∵AD∥BC，CD∥AB，∴AF⊥AD，CE⊥CD．∵△CFG≌△AEG，∴AG=CG．∵GA⊥AD，GC⊥CD，GA=GC，∴GD平分∠ADC，∴∠ADG=30°．∵AD=AB=4，∴DG==．
点睛：本题考查了平行四边形的性质，菱形的判断和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
21. 某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？
【正确答案】银杏树的单价为120元，则玉兰树的单价为180元．
【详解】试题分析：根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
试题解析：解：设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元，根据题意得：
解得：x=120，经检验x=120是原分式方程的解，∴1.5x=180．
答：银杏树的单价为120元，则玉兰树的单价为180元．
22. 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在A、B两处，甲测得点D的仰角为45°，乙测得点C的仰角为60°，已知两人使用的测角仪的高度AF、BG相等，且A、B、E三点在一条直线上，AB=8m，BE=15m．求广告牌CD的高（到1m）．
【正确答案】3m．
【详解】试题分析：在Rt△ADE和Rt△BCE中，分别求出CE和DE的长度，然后可求得CD=CE﹣DE．
试题解析：解：∵AB=8m，BE=15m，∴AE=AB+BE=23m．在Rt△ADE中，∵∠DAE=45°，∴DE=AE=23m．在Rt△CBE中，∵∠CBE=60°，BE=15m，∴CE=BE•tan60°=15m，则CD=CE﹣DE=15﹣23≈3（m）．
答：广告牌CD的高为3m．
23. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数(m≠0)的图象交于点A(3，1)，且过点B(0，-2)．
(1)求反比例函数和函数的表达式．
(2)如果点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，且ΔABP的面积是3，求点P的坐标．
【正确答案】（1），y=x-2；（2）点P的坐标为(4，0).
【分析】(1)利用待定系数法，确定二函数的解析式即可；
(2)运用图形分割法，利用点P的坐标表示三角形的面积，求解即可.
【详解】（1）∵反比例函数（m≠0）的图象过点A(3，1)，
∴，
∴ m=3，
∴反比例函数的表达式为．
∵函数y=kx+b的图象过点A(3，1)和B(0，-2)，
∴解得
∴函数表达式y=x-2．
(2)如图，设函数y=x-2的图象与x轴的交点为C，
令y=0，则x-2=0，x=2，
∴点C的坐标为(2，0)．
∵
∴
∴PC=2
∵点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，
∴点P的坐标为(4，0)．
本题考查了待定系数法确定函数的解析式，交点的意义，用点的坐标表示三角形的面积，熟练使用待定系数法，灵活运用图形的分割法表示三角形的面积是解题的关键.
24. 如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求⊙O的半径．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）求出∠OED=∠BCA=90°，根据切线的判定即可得出结论；
（2）求出△BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．
试题解析：（1）证明：连接OE、EC．
∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°．∵D为BC的中点，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2．∵OE=OC，∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB．
∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知：∠BEC=90°．在Rt△BEC与Rt△BCA中，∵∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴BE：BC=BC：BA，∴BC2=BE•BA．∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x．∵BC=6，∴62=2x•3x，解得：x=，即AE=，∴AB=，∴AC==，∴⊙O的半径=．
点睛：本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，能求出∠OED=∠BCA和△BEC∽△BCA是解答此题的关键．
25. 已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(3，0)，B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P没有与点A重合)，过点P作PD⊥y轴交直线AC于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的值；
(3)△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若没有能请说明理由；
(4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|？若存在请求出点M坐标，若没有存在请说明理由．
【正确答案】(1)y=x2-4x+3；(2)；(3)点P(1，0)或(2，-1)；(4)M(2，-3)．
【分析】(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；
(2)求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
(3)①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；
(4)根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA-MC|，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．
【详解】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点A(3，0)，B(1，0)，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2-4x+3；
(2)令x=0，则y=3，
∴点C(0，3)，则直线AC的解析式为y=-x+3，设点P(x，x2-4x+3)．
∵PD∥y轴，
∴点D(x，-x+3)，
∴PD=(-x+3)-(x2-4x+3)=-x2+3x=-(x-)2+．
∵a=-1＜0，
∴当x=时，线段PD的长度有值；
(3)①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P(1，0)，
②∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1，
∴抛物线的顶点坐标为(2，-1)．
∵A(3，0)，
∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P(2，-1)．
综上所述：点P(1，0)或(2，-1)时，△APD能构成直角三角形；
(4)由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，
∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA-MC|＜BC，
∴当M、B、C三点共线时，|MA-MC|，为BC的长度，
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y=-3x+3．
∵抛物线y=x2-4x+3的对称轴为直线x=2，
∴当x=2时，y=-3×2+3=-3，
∴点M(2，-3)，即，抛物线对称轴上存在点M(2，-3)，使|MA-MC|．
本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，(2)整理出PD的表达式是解题的关键，(3)关键在于利用点的坐标特征作出判断，(4)根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．
2022-2023学年天津市南开区中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
第Ⅰ卷（选一选 共48分）
一、选一选（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 16的算术平方根是( )．
A. B. 4 C. -4 D. 256
2. 中国移动数据C项目近日在高新区正式开工建设，该项目建设规模12.6万平方米，建成后将成为山东省的数据业务．其中126000用科学记数法表示应为（ ）
A. 1.26×106 B. 12.6×104 C. 0.126×106 D. 1.26×105
3. 从棱长为2a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（ ）
A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°
5. 下面的图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是( )
A. B. C. D.
6. 下列计算中，正确的是（ ）．
A. B. C. D.
7. 化简等于（ ）
A. B. C. ﹣ D. ﹣
8. 东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国传统文化试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小捷从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，没有足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，直径为10的圆A点C和点O，点B是y轴右侧圆A优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为( )
A. （0，5） B. （0，） C. （0，） D. （0，）
11. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①；②点E到AB的距离是；③；④△ABF的面积为.其中一定成立的有几个( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12. 如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以2为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（ ）
A B. C. D.
第Ⅱ卷 非选一选（共102分）
二、填 空 题（本大题共6小题，每题4分，共24分.把答案填在题中的横线上）
13. 计算：2﹣1+=_____．
14. 因式分解：＝_______．
15. 某校九年级（1）班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是___岁．
16. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为_____m．
17. 如图，D，E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：16，则S△BDE与S△CDE的比是___________．
18. 如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（1，3），C（3，1）.若反比例函数在象限内的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是________.
三、解 答 题：（本大题共9小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算
（1）先化简，再求值：，其中a=1，b=.
（2）解没有等式组
20. （1）如图1，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC=∠BOD，求证：AO=OB；
（2）如图2，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．
21. 如图，在昆明市轨道交通的修建中，在A、B两地修建一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度．（结果到1m，参考数据：,）
22. 国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获补贴500元．若同样用11万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
23. 办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体》，这是中国足球史上重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请图中信息，解答下列问题：
（1）获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．
24. 如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C.
（1）求证：；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE长.
25. 如图，函数y=kx+b的图象A(0,-2),B（1，0）两点，与反比例函数的图象在象限内交于点M，△OBM的面积为2.
（1）求函数和反比例函数的表达式；
（2）求AM的长度；
（3）P是x轴上一点，当AM⊥PM时，求出点P的坐标.
26. 在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，没有需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的值．
27. 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△M面积，试求出面积．
2022-2023学年天津市南开区中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
第Ⅰ卷（选一选 共48分）
一、选一选（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 16的算术平方根是( )．
A. B. 4 C. -4 D. 256
【正确答案】B
【详解】根据算术平方根的意义，由42=16，
可知16的算术平方根为4.
故选B.
2. 中国移动数据C项目近日在高新区正式开工建设，该项目建设规模12.6万平方米，建成后将成为山东省的数据业务．其中126000用科学记数法表示应为（ ）
A. 1.26×106 B. 12.6×104 C. 0.126×106 D. 1.26×105
【正确答案】D
【分析】根据科学记数法的表示形式（a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数），即可求解．
【详解】解：126000＝1.26×105．
故选D．
3. 从棱长为2a正方体零件的一角，挖去一个棱长为a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：俯视图是从上面往下看到的图形，从上面往下看到的是大正方形的左下角有一个小正方形，故答案选B.
考点：几何体的三视图.
4. 如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（ ）
A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°
【正确答案】C
【详解】试题分析：已知m∥n，根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝70°.又因∠3是△ABD的一个外角，可得∠3＝∠2＋∠A.即∠A＝∠3－∠2＝70°－30°＝40°.故答案选C.
考点：平行线的性质.
5. 下面的图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】根据轴对称图形和对称图形的概念，可知：
A是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有正确；
B是对称图形，但没有是轴对称图形，故没有正确；
C即是对称图形，又是轴对称图形，故没有正确；
D是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有正确.
故选C.
6. 下列计算中，正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：A．和没有能合并，故本选项错误；
B．，故本选项错误；
C．和没有能合并，故本选项错误；
D．，故本选项正确；
故选D．
考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．合并同类项．
7. 化简等于（ ）
A. B. C. ﹣ D. ﹣
【正确答案】B
【详解】试题分析：原式=====，故选B．
考点：分式的加减法．
8. 东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国传统文化试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小捷从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】直接利用概率公式计算即可.
【详解】共有20道试题，其中创新能力试题4道，所以从中任选一道试题，选中创新能力试题概率是＝.
故答案选A.
考点：概率公式.
9. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，没有足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱”，即可得出关于x，y的二元方程组，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：C．
本题考查了由实际问题抽象出二元方程组，找准等量关系，正确列出二元方程组是解题的关键．
10. 如图，直径为10的圆A点C和点O，点B是y轴右侧圆A优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为( )
A. （0，5） B. （0，） C. （0，） D. （0，）
【正确答案】A
【详解】首先设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，由∠COD=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ODC=30°，继而求得OC=CD=5，因此点C的坐标为：（0，5）．
故选A．
点睛：此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形思想的应用．
11. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①；②点E到AB的距离是；③；④△ABF的面积为.其中一定成立的有几个( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】根据题意，可知：
∵菱形ABCD，
∴AB=BC=6，
∵∠DAB=60°，
∴AB=AD=DB，∠ABD=∠DBC=60°，
在△ABF与△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴①正确；
过点E作EG⊥AB，过点F作MH⊥CD，MH⊥AB，如图：
∵CE=2，BC=6，∠ABC=120°，
∴BE=6﹣2=4，
∵EG⊥AB，
∴EG= 2 ，
∴点E到AB的距离是2 ，
故②正确；
∵BE=4，EC=2，
∴S△BFE：S△FEC=4：2=2：1，
∴S△ABF：S△FBE=3：2，
∴△ABF的面积为=，
故④错误；
∵，
∴，
∵，
∴FM=，
∴DM=，
∴CM=DC﹣DM=6﹣，
∴tan∠DCF==，
故③正确.
故选C.
12. 如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以2为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：如图1，CH是AB边上的高，与AB相交于点H，
∵∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，
∴AC=AB×cos30°=8×=，BC=AB×sin30°=8×=4，
∴CH=AC×BC÷AB=×4÷8=，AH=÷AB=；
（1）当0≤t≤时，S==；
（2）当时，S==；
（3）当6＜t≤8时，S=
=；
综上，可得：
S=，
∴正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是A图象．
故选A．
第Ⅱ卷 非选一选（共102分）
二、填 空 题（本大题共6小题，每题4分，共24分.把答案填在题中的横线上）
13. 计算：2﹣1+=_____．
【正确答案】
【详解】根据负整指数幂的性质和二次根式的性质，可知=.
故答案为.
14. 因式分解：＝_______．
【正确答案】
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式解题．
【详解】解：
故．
本题考查因式分解，涉及提公因式、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15. 某校九年级（1）班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是___岁．
【正确答案】15．
【分析】根据中位数的定义找出第20和21个数的平均数，即可得出答案．
【详解】解：∵该班有40名同学，
∴这个班同学年龄的中位数是第20和21个数的平均数．
∵14岁的有1人，15岁的有21人，
∴这个班同学年龄的中位数是15岁．
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），熟练掌握中位数的定义是本题的关键．
16. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为_____m．
【正确答案】7
【详解】本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出（x﹣3）（x﹣2）=20，解得：x1=7，x2=﹣2（没有合题意，舍去）即：原正方形的边长7m．
故答案为7m.
点睛：本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
17. 如图，D，E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：16，则S△BDE与S△CDE的比是___________．
【正确答案】1：3
【详解】根据相似三角形的判定，由DE∥AC，可知△DOE∽△COA，△BDE∽△BCA，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可由，求得DE：AC=1:4，即BE：BC=1:4，因此可得BE：EC=1:3，根据同高没有同底的三角形的面积可知与的比是1:3.
故答案为1:3.
18. 如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（1，3），C（3，1）.若反比例函数在象限内的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是________.
【正确答案】2≤x≤4
【详解】根据△ABC三顶点的坐标可知，当k最小是反比例函数过点A，当k取值时，反比例函数与直线相切，且切点在线段BC上，由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的最小值k=1×2=2，再由点B、C的坐标利用待定系数法，设直线BC的解析式为y=ax+b，得到，解得：，求出直线BC的解析式y=-x+4，将其代入反比例函数中，得：-x+4=，即x2-4x+k=0，由反比例函数图象与直线BC只有一个交点，可令△=0即可求出k的值k=4，从而得出2≤k≤4．
故答案为2≤k≤4.
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及根的判别式，解题的关键是求出k的最小值与值．本题属于中档题，难度没有大，解决该题型题目时，由点的坐标利用待定系数法求出直线解析式，将其代入反比例函数中利用相切求出k值是关键．
三、解 答 题：（本大题共9小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算
（1）先化简，再求值：，其中a=1，b=.
（2）解没有等式组
【正确答案】(1);（2）-1≤x≤2.
【详解】试题分析： （1）根据整式的乘法，由完全平方公式和单项式乘以多项式进行计算化简，然后代入求值；
（2）分别求解两个没有等式，然后取其解集的公共部分即可.
试题解析：（1）原式
当a=1，时，原式
（2）
由①得：
由②得：
∴没有等式的解集是：
20. （1）如图1，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC=∠BOD，求证：AO=OB；
（2）如图2，AB是⊙O直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）25°.
【详解】试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC，根据矩形对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC，根据三角形全等的判定AAS证得△AOD≌△BOC，从而得证结论．
（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．
试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD
∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD
即∠AOD=∠BOC
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=90°，AD=BC
∴
∴AO=OB
（2）解：∵AB是的直径，PA与相切于点A，
∴PA⊥AB，
∴∠A=90°.
又∵∠OPA=40°，
∴∠AOP=50°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB.
又∵∠AOP=∠B+∠OCB，
∴.
21. 如图，在昆明市轨道交通的修建中，在A、B两地修建一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度．（结果到1m，参考数据：,）
【正确答案】546m.
【详解】试题分析：过点C作CD⊥AB于D，则由已知求出CD和BD，也能求出AD，从而求出这段地铁AB的长度．
试题解析：过点C作CD⊥AB于D，由题意知：∠CAB=45°，∠CBA=30°，
∴CD=BC=200（m），
BD=CBcos（90°﹣60°）=400×=200（m），
AD=CD=200（m），
∴AB=AD+BD=200+200≈546（m），
答：这段地铁AB的长度为546m．
考点：实际问题转化为直角三角形中的数学问题．
22. 国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获补贴500元．若同样用11万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
【正确答案】3000元．
【分析】根据题意找到等量关系：补贴后可购买的台数比补贴前多20%，设出未知数，列方程求解即可．
【详解】设该款空调补贴前的售价为每台x元，
由题意，得：
解得：x=3000．
经检验得：x=3000是原方程的根．
答：该款空调补贴前的售价为每台3000元．
此题主要考查了分式方程的应用，解题关键是确定问题的等量关系，设出未知数，列方程求解，注意分式方程一定要检验：是方程的解且符合实际．
23. 办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请图中信息，解答下列问题：
（1）获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．
【正确答案】（1）30人；（2）.
【分析】（1）先由三等奖求出总人数，再求出一等奖人数所占的比例，即可得到获得一等奖的学生人数；
（2）用列表法求出概率．
【详解】解：（1）由图可知三等奖占总的25%，总人数为人，一等奖占，所以，一等奖的学生为人；
（2）列表：
从表中我们可以看到总的有12种情况，而AB分到一组的情况有2种，故总的情况为．
考点：1．扇形统计图；2．列表法与树状图法．
24. 如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C.
（1）求证：；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长.
【正确答案】(1)见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）可通过证明∠BAF=∠AED，∠AFB=∠D，证得△ABF∽△EAD；
（2）先证出∠ABE=90°，再运用三角函数即可求出AE.
试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，
∴∠C+∠ADE=180°
∵BFE=∠C，
∴∠AFB=∠EDA
又∵AB//DC
∴∠BAE=∠AED
∴.
（2）∵AB//CD，BE⊥CD，
∴∠ABE=90°，
又∵AB=4，∠BAE=30°
设AE=x，则
由勾股定理得
解得.
点睛：本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数的运用；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
25. 如图，函数y=kx+b的图象A(0,-2),B（1，0）两点，与反比例函数的图象在象限内交于点M，△OBM的面积为2.
（1）求函数和反比例函数的表达式；
（2）求AM的长度；
（3）P是x轴上一点，当AM⊥PM时，求出点P的坐标.
【正确答案】（1）直线解析式为y=2x-2;反比例函数解析式为：；（2）；（3）点P的坐标为（11，0）.
【详解】试题分析： （1）根据函数y=k1x+b的图像A、B可得b、k1的方程组，进而求得函数的解析式，设M（m，n）作MD⊥x轴于点D，由△OBM的面积为2可求出n的值，将M（m，4）代入y=2x-2求出m的值，由M点在双曲线上求出k2，进而得到反比例函数的解析式；
（2）根据已知构造直角三角形进而利用勾股定理求出AM的长；
（3）过点M作MP⊥AM交x轴于点P，由MD⊥BP求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由锐角三角形函数的定义求出OP的值，进而可得出结论.
试题解析：（1）∵直线的图象、两点
∴，
∴解得：
∴函数的表达式为，
∴设，作MD⊥x轴于点D
∵，
∴，
∴，
∴n=4，
∴将代入得，
∴m=3
∵在双曲线上，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）过点M作MF⊥y轴于点F，
则FM=3，AF=4+2=6，
∴；
（3）过点作MP⊥AM交x轴于点P，
∵MD⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴，
∴在Rt△PDM中，，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11
∴当PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）.
点睛：此题主要考查了反比例函数与函数的交点问题，涉及到的知识点为用待定系数法求函数的解析式与反比例函数的解析式、锐角三角形函数的定义，熟知以上知识点是解答此题的关键.
26. 在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，没有需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的值．
【正确答案】（1）AE=DF，AE⊥DF，理由见解析；（2）成立，CE:CD=或2；（3）
【详解】试题分析：（1）根据正方形的性质，由SAS先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；
（2）有两种情况：①当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC=CE=a即可；②当AE=AC时，设正方形的边长为a，由勾股定理求出AC=AE=a，根据正方形的性质知∠ADC=90°，然后根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a即可；
（3）由（1）（2）知：点P的路径是一段以AD为直径的圆，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．
试题解析：（1）AE=DF，AE⊥DF，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，
∴DE=CF，
在△ADE和△DCF中
，
∴，
∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，
∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°，
∴∠ADP+∠DAE=90°，
∴∠APD=180°-90°=90°，
∴AE⊥DF；
（2）（1）中的结论还成立，
有两种情况：
①如图1，当AC=CE时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得，
，
则；
②如图2，当AE=AC时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，
∴DE=CD=a，
∴CE:CD=2a:a=2；
即CE:CD=或2；
（3）∵点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是以AD为直径的圆，
如图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，
此时CP的长度，
∵在Rt△QDC中，
∴，
即线段CP的值是.
点睛：此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，能综合运用性质进行推挤是解此题的关键，用了分类讨论思想，难度偏大.
27. 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△M面积，试求出面积．
【正确答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△M面积，面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②PB=PC；③BP=BC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△M=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△M面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【详解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△M=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
当点M出发1秒到达D点时，△M面积，面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
2022-2023学年天津市南开区中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. -2的倒数是（ ）
A. -2 B. C. D. 2
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
3. 如图，直线l1∥l2，等腰直角△ABC的两个顶点A、B分别落在直线l1、l2上，∠ACB=90°，若∠1=15°，则∠2的度数是( )
A. 35° B. 30° C. 25° D. 20°
4. 将数据0.0000025用科学记数法表示（ ）
A. B. C. D.
5. 在坐标平面内，点P（4﹣2a，a﹣4）在第三象限．则a的取值范围是（ ）
A. a＞2 B. a＜4 C. 2＜a＜4 D. 2≤a≤4
6. 下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是【 】
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，点（4sin45°，2cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 以上三者都有可能
8. 下列函数中，对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＜y2是（ ）
A. y＝－3x＋2 B. y＝2x＋1 C. y＝2x2＋1 D. y＝
9. 二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（ ）
A. x＜﹣1 B. x＞2 C. ﹣1＜x＜2 D. x＜﹣1或x＞2
10. 某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为( )
A. B. C. D.
11. 关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为-2，则另一个根是（ ）
A. -6 B. -3 C. 3 D. 6
12. 观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去（如图2，图3…），则图6中挖去三角形的个数为（ ）
A. 121 B. 362 C. 364 D. 729
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
13. 计算：（）﹣2﹣×=______．
14. 如图，在直径为AB的⊙O中，C，D是⊙O上的两点，∠AOD=58°，CD∥AB，则∠ABC的度数为______．
15. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为AB上一点，将△BCE沿CE翻折至△FCE，EF与AD相交于点G，且AG=FG，则线段AE的长为__________．
16. 如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为______米．
17. 如图，已知等边三角形OAB的顶点O（0，0），A（0，3），将该三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则旋转2018次后，顶点B的坐标为_____．
三、解 答 题
18. 先化简，再求值：÷﹣3，其中a=．
19. 电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对七年级部分学生的课外阅读量进行了随机，整理结果发现，学生课外阅读的本书至少的有5本，至多的有8本，并根据结果绘制了没有完整的图表，如下所示：
（1）统计表中的a＝________，b＝___________，c＝____________；
（2）请将频数分布表直方图补充完整；
（3）求所有被学生课外阅读的平均本数；
（4）若该校七年级共有1200名学生，请你分析该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数．
20. 如图，在中，、分别是、的中点，，垂足为；，垂足为，与相交于点.
（1）证明：；
（2）若，求四边形的对角线的长.
21. 某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？
22. 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在A、B两处，甲测得点D仰角为45°，乙测得点C的仰角为60°，已知两人使用的测角仪的高度AF、BG相等，且A、B、E三点在一条直线上，AB=8m，BE=15m．求广告牌CD的高（到1m）．
23. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数(m≠0)图象交于点A(3，1)，且过点B(0，-2)．
(1)求反比例函数和函数的表达式．
(2)如果点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，且ΔABP的面积是3，求点P的坐标．
24. 如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求⊙O半径．
25. 已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(3，0)，B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P没有与点A重合)，过点P作PD⊥y轴交直线AC于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的值；
(3)△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若没有能请说明理由；
(4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|？若存在请求出点M的坐标，若没有存在请说明理由．
2022-2023学年天津市南开区中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. -2的倒数是（ ）
A. -2 B. C. D. 2
【正确答案】B
【分析】根据倒数的定义求解．
【详解】解：-2的倒数是-，
故选：B．
本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
3. 如图，直线l1∥l2，等腰直角△ABC的两个顶点A、B分别落在直线l1、l2上，∠ACB=90°，若∠1=15°，则∠2的度数是( )
A. 35° B. 30° C. 25° D. 20°
【正确答案】B
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得答案．
【详解】解：是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故选：B．
此题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．
4. 将数据0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故选．
此题考查科学记数法，解题关键在于掌握其一般形式.
5. 在坐标平面内，点P（4﹣2a，a﹣4）在第三象限．则a的取值范围是（ ）
A. a＞2 B. a＜4 C. 2＜a＜4 D. 2≤a≤4
【正确答案】C
【详解】解：∵点P（4﹣2a，a﹣4）在第三象限，∴，解得：2＜a＜4．故选C．
6. 下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是【 】
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】分别判断每个选项中的正视图是否满足条件即可．
【详解】解：A的主视图是矩形，没有满足条件．
B的主视图是矩形，没有满足条件．
C的主视图是三角形，满足条件．
D的主视图是矩形，没有满足条件．
故选：C．
本题主要考查空间几何体的三视图的判断，要求熟练掌握常见空间几何体的三视图．
7. 在平面直角坐标系中，点（4sin45°，2cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 以上三者都有可能
【正确答案】D
【详解】解：设直线的点为A．∵点A的坐标为（4sin45°，2cos30°），∴OA=．∵圆的半径为2，∴OA＞2，∴点A在圆外，∴直线和圆相交，相切、相离都有可能．故选D．
8. 下列函数中，对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＜y2的是（ ）
A. y＝－3x＋2 B. y＝2x＋1 C. y＝2x2＋1 D. y＝
【正确答案】A
【详解】试题分析：根据题意可知：这个函数必须为减函数，根据函数、二次函数和反比例函数的性质可得：只有A选项为减函数，故选A．
9. 二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（ ）
A. x＜﹣1 B. x＞2 C. ﹣1＜x＜2 D. x＜﹣1或x＞2
【正确答案】C
【详解】解：由x2﹣x﹣2=0可得：x1=﹣1，x2=2，
观察函数图象可知，当﹣1＜x＜2时，
函数值y＜0．
故选C．
10. 某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】设3辆车分别为A，B，C，
共有9种情况，小王与小菲在同一辆车的情况数有3种，
所以坐同一辆车的概率为 ．
故答案为A．
考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．
11. 关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为-2，则另一个根是（ ）
A. -6 B. -3 C. 3 D. 6
【正确答案】B
【详解】分析：根据一元二次方程的两根之和等于－5求解.
详解：设另一个根为a，则根据根与系数的关系可得－2＋a＝－5，解得a＝－3.
故选B.
点睛：已知一元二次方程的一个根，求所含的字母系数的方法有：①把已知的根代入到原方程中，求出字母系数，再把字母系数的值代回到原方程求出另一个根；②用两根之和或者两根之积求解.
12. 观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去（如图2，图3…），则图6中挖去三角形的个数为（ ）
A 121 B. 362 C. 364 D. 729
【正确答案】C
【详解】解：①图1，0×3+1=1；
②图2,1×3+1=4；
③图3,4×3+1=13；
④图4,13×3+1=40；
⑤图5,40×3+1=121；
⑥图6,121×3+1=364；
故选：C.
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
13. 计算：（）﹣2﹣×=______．
【正确答案】﹣8．
【详解】解：原式=4﹣2×=4﹣2×6=4﹣12=﹣8．故答案为﹣8．
14. 如图，在直径为AB的⊙O中，C，D是⊙O上的两点，∠AOD=58°，CD∥AB，则∠ABC的度数为______．
【正确答案】61°．
【详解】解：∵∠AOD=58°，∴∠ACD=∠AOD=29°．∵CD∥AB，∴∠CAB=∠ACD=29°．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°﹣29°=61°．故答案为61°．
15. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为AB上一点，将△BCE沿CE翻折至△FCE，EF与AD相交于点G，且AG=FG，则线段AE的长为__________．
【正确答案】1
【详解】解：如图所示．∵四边形ABCD矩形，∴∠D=∠B=∠A=90°，AB=CD=4，AD=BC=6，根据题意得：△BCE≌△CEF，∴EF=BE，∠F=∠B=90°，CF=BC=6．在△GAE和△GFH中，，∴△GAE≌△GFH（ASA），∴EG=GH，AE=FH，∴AH=EF，设BE=EF=x，则AE=FH=4﹣x，AH=x，∴DH=6﹣x，CH=6﹣（4﹣x）=2+x，根据勾股定理得：DC2+DH2=CH2，即42+（6﹣x）2=（x+2）2，解得：x=3，∴BE=3，∴AE=1．故答案为1．
点睛：本题考查的是翻折变换的性质和勾股定理的应用，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小没有变，位置变化，对应边和对应角相等．
16. 如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为______米．
【正确答案】12．
【分析】由题意可得四边形AEFD是矩形，由AB的坡角α=45°，得出AE的长，利用背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值）得出∠C的度数，即可求解．
【详解】解：∵AE⊥BC、DF⊥BC，AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°，∠AEF=∠DFE=∠DFC=90°，
∴四边形AEFD是矩形，∴DF=AE，
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=6 ，∠ABE=45°，
∴AE=AB·sin∠ABE=6，
∴DF=6，
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，DF：FC=i=1：=tan∠C，
∴∠C=30°，∴CD=2DF=12，
即背水坡CD在坡长为12米，
故12．
本题考查了坡度坡角问题．解决此类问题的关键是构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解．
17. 如图，已知等边三角形OAB的顶点O（0，0），A（0，3），将该三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则旋转2018次后，顶点B的坐标为_____．
【正确答案】（0，﹣3）．
【详解】解：由题意知点B旋转=6次后与点B重合，即点B的旋转周期为6．∵2018÷6=336…2，∴点B旋转2018次后的坐标与旋转2次后的坐标相同，如图：
∵∠AOB=60°，∴∠BOC=120°，则两次旋转都点B落在y轴的负半轴，且OB=3，所以点B的坐标为（0，﹣3）．故答案为（0，﹣3）．
点睛：本题主要考查坐标与图形的变化﹣旋转，根据题意得出点B的旋转周期为6及旋转的性质是解题的关键．
三、解 答 题
18. 先化简，再求值：÷﹣3，其中a=．
【正确答案】a﹣3，．
【详解】试题分析：根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入即可解答本题．
试题解析：解：原式 ==a﹣3
当a=时，原式=．
19. 电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对七年级部分学生的课外阅读量进行了随机，整理结果发现，学生课外阅读的本书至少的有5本，至多的有8本，并根据结果绘制了没有完整的图表，如下所示：
（1）统计表中的a＝________，b＝___________，c＝____________；
（2）请将频数分布表直方图补充完整；
（3）求所有被学生课外阅读的平均本数；
（4）若该校七年级共有1200名学生，请你分析该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数．
【正确答案】（1）a＝10，b＝0.28，c＝50；（2）补图见解析；（3）6.4本；（4）528人.
【分析】（1）首先求出总人数，再根据频率，总数，频数的关系即可解决问题；
（2）根据a的值画出条形图即可；
（3）根据平均数的定义计算即可；
（4）用样本估计总体的思想解决问题即可；
【详解】（1）由题意c==50，
a=50×0.2=10b==0.28，c=50；
故答案为a＝10，b＝0.28，c＝50；
（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：
（3）所有被学生课外阅读的平均本数为：
(5×10＋6×18＋7×14＋8×8)÷50＝320÷50＝6.4(本)．
（4）该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数为：
(0.28＋0.16)×1200＝528(人)．
20. 如图，在中，、分别是、的中点，，垂足为；，垂足为，与相交于点.
（1）证明：；
（2）若，求四边形的对角线的长.
【正确答案】（1）答案见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB=AC，AC=BC，得到AB=AC=BC，求得∠B=60°，于是得到∠BAF=∠BCE=30°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的判断对了得到▱ABCD是菱形，求得∠ADC=∠B=60°，AD=CD，求得∠ADG=30°，解直角三角形即可得到结论．
试题解析：（1）证明：∵E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，AF⊥BC，∴AB=AC，AC=BC，∴AB=AC=BC，∴∠B=60°，∴∠BAF=∠BCE=30°．∵E、F分别是AB、BC的中点，∴AE=CF．在△CFG≌△AEG中，，∴△CFG≌△AEG；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴▱ABCD是菱形，∴∠ADC=∠B=60°，AD=CD．∵AD∥BC，CD∥AB，∴AF⊥AD，CE⊥CD．∵△CFG≌△AEG，∴AG=CG．∵GA⊥AD，GC⊥CD，GA=GC，∴GD平分∠ADC，∴∠ADG=30°．∵AD=AB=4，∴DG==．
点睛：本题考查了平行四边形的性质，菱形的判断和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
21. 某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？
【正确答案】银杏树的单价为120元，则玉兰树的单价为180元．
【详解】试题分析：根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
试题解析：解：设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元，根据题意得：
解得：x=120，经检验x=120是原分式方程的解，∴1.5x=180．
答：银杏树的单价为120元，则玉兰树的单价为180元．
22. 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在A、B两处，甲测得点D的仰角为45°，乙测得点C的仰角为60°，已知两人使用的测角仪的高度AF、BG相等，且A、B、E三点在一条直线上，AB=8m，BE=15m．求广告牌CD的高（到1m）．
【正确答案】3m．
【详解】试题分析：在Rt△ADE和Rt△BCE中，分别求出CE和DE的长度，然后可求得CD=CE﹣DE．
试题解析：解：∵AB=8m，BE=15m，∴AE=AB+BE=23m．在Rt△ADE中，∵∠DAE=45°，∴DE=AE=23m．在Rt△CBE中，∵∠CBE=60°，BE=15m，∴CE=BE•tan60°=15m，则CD=CE﹣DE=15﹣23≈3（m）．
答：广告牌CD的高为3m．
23. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数(m≠0)的图象交于点A(3，1)，且过点B(0，-2)．
(1)求反比例函数和函数的表达式．
(2)如果点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，且ΔABP的面积是3，求点P的坐标．
【正确答案】（1），y=x-2；（2）点P的坐标为(4，0).
【分析】(1)利用待定系数法，确定二函数的解析式即可；
(2)运用图形分割法，利用点P的坐标表示三角形的面积，求解即可.
【详解】（1）∵反比例函数（m≠0）的图象过点A(3，1)，
∴，
∴ m=3，
∴反比例函数的表达式为．
∵函数y=kx+b的图象过点A(3，1)和B(0，-2)，
∴解得
∴函数表达式y=x-2．
(2)如图，设函数y=x-2的图象与x轴的交点为C，
令y=0，则x-2=0，x=2，
∴点C的坐标为(2，0)．
∵
∴
∴PC=2
∵点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，
∴点P的坐标为(4，0)．
本题考查了待定系数法确定函数的解析式，交点的意义，用点的坐标表示三角形的面积，熟练使用待定系数法，灵活运用图形的分割法表示三角形的面积是解题的关键.
24. 如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求⊙O的半径．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）求出∠OED=∠BCA=90°，根据切线的判定即可得出结论；
（2）求出△BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．
试题解析：（1）证明：连接OE、EC．
∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°．∵D为BC的中点，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2．∵OE=OC，∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB．
∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知：∠BEC=90°．在Rt△BEC与Rt△BCA中，∵∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴BE：BC=BC：BA，∴BC2=BE•BA．∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x．∵BC=6，∴62=2x•3x，解得：x=，即AE=，∴AB=，∴AC==，∴⊙O的半径=．
点睛：本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，能求出∠OED=∠BCA和△BEC∽△BCA是解答此题的关键．
25. 已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(3，0)，B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P没有与点A重合)，过点P作PD⊥y轴交直线AC于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的值；
(3)△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若没有能请说明理由；
(4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|？若存在请求出点M坐标，若没有存在请说明理由．
【正确答案】(1)y=x2-4x+3；(2)；(3)点P(1，0)或(2，-1)；(4)M(2，-3)．
【分析】(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；
(2)求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
(3)①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；
(4)根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA-MC|，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．
【详解】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点A(3，0)，B(1，0)，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2-4x+3；
(2)令x=0，则y=3，
∴点C(0，3)，则直线AC的解析式为y=-x+3，设点P(x，x2-4x+3)．
∵PD∥y轴，
∴点D(x，-x+3)，
∴PD=(-x+3)-(x2-4x+3)=-x2+3x=-(x-)2+．
∵a=-1＜0，
∴当x=时，线段PD的长度有值；
(3)①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P(1，0)，
②∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1，
∴抛物线的顶点坐标为(2，-1)．
∵A(3，0)，
∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P(2，-1)．
综上所述：点P(1，0)或(2，-1)时，△APD能构成直角三角形；
(4)由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，
∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA-MC|＜BC，
∴当M、B、C三点共线时，|MA-MC|，为BC的长度，
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y=-3x+3．
∵抛物线y=x2-4x+3的对称轴为直线x=2，
∴当x=2时，y=-3×2+3=-3，
∴点M(2，-3)，即，抛物线对称轴上存在点M(2，-3)，使|MA-MC|．
本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，(2)整理出PD的表达式是解题的关键，(3)关键在于利用点的坐标特征作出判断，(4)根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．
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