2022-2023学年天津市南开区中考数学突破提升破仿真模拟卷（4月5月）含解析

这是一份2022-2023学年天津市南开区中考数学突破提升破仿真模拟卷（4月5月）含解析，共55页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年天津市南开区中考数学突破提升破仿真模拟卷
（4月）
一、选一选
1. 的相反数是（   ）
A. ﹣ B. C. ﹣ D.
2. 下列运算中正确的是（    ）
A. x2+x2=x4                          B. x2•x3=x6                          C. x2÷x=x2                          D. （x2）3=x6
3. 世界上最小开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个巨大的无花果，质量只要0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（　　）
A. 7.6×10﹣9 B. 7.6×10﹣8 C. 7.6×109 D. 7.6×108
4. 小明在射击训练中，共射击10发，成绩如下（单位：环）：8  7  7  8  9  8  7  7  10  8，则脱靶8环的频率是（   ）
A. 0.1                                        B. 0.2                                        C. 0.3                                        D. 0.4
5. 已知关于x方程mx+3=4的解为x=1，则直线y=（m﹣2）x﹣3一定不的象限是（   ）
A. 象限                            B. 第二象限                            C. 第三象限                            D. 第四象限
6. 如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为（ ）

A. 65° B. 60° C. 55° D. 45°
7. 下列说确的是（ ）
A. 为了解苏州市中先生的睡眠情况，应该采用普查的方式
B. 某种的中奖机会是，则买张这种一定会中奖
C. 一组数据，，，，，，的众数和中位数都是
D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据波动
8. 圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则它的表面积为（   ）
A. 12π cm2                            B. 20π cm2                            C. 26π cm2                            D. 36π cm2
9. 如图，四边形ABCD是边长为的正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则DM的长为（ ）

A. +1 B. +1 C. 2 D. 2-
10. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，若CE=2，连接CF,以下结论：①∠BAF=∠BCF；②点E到AB的距离是2 ；③S△CDF：S△BEF=9：4；④tan∠DCF=．其中正确的有（ ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填 空 题
11. 分解因式：=_________________________．
12. 如图，直线l1∥l2 ， CD⊥AB于点D，若∠1=50°，则∠BCD的度数为________°．

13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
14. 某校在“祖国好、家乡美”主题宣传周里推出五条A、B、C、D、E旅游线路．某校摄影社团随机抽取部分先生举行“旅游路线”投票，参与者每人选出一条心中的旅游路线，社团对投票进行了统计，并绘制出如下不残缺的条形统计图和扇形统计图．全校2400名先生中，请你估计，选择“C”路线的人数约为________．

15. 如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆点C，若AC=BC=，则图中暗影部分的面积是___________

16. 如图，△ABC是⊙O内接三角形，若⊙O的半径为2，∠BOC与∠A互补，则BC的长为________．

17. 如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是______________．

18. 已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位长度到△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是_____．

三、解 答 题
19. 计算：|﹣1|+﹣（1﹣）0﹣（）﹣1．
20. 解不等式组：
21. 先化简，再求值：（1+）÷，其中x= +1．
22. （2016四川省资阳市）某大型企业为了保护环境，预备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时管理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．
（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；
（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最的购买．
23. 如图，3×3的方格分为上中下三层，层有一枚黑色方块甲，可在方格A、B、C中挪动，第二层有两枚固定不动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方格D、E、F中挪动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方块构成各种拼图．

（1）若乙固定在E处，挪动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是______．
（2）若甲、乙均可在本层挪动．
①用树形图或列表法求出黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率．②黑色方块所构拼图是对称图形的概率是______．
24. 如图，在△ABC中．AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
(1)求证：AB=AC；
(2)若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．

25. 如图，反比例函数y=的图象与函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，3n），点B的坐标为（5n+2，1）．

（1）求反比例函数与函数的表达式；
（2）将函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只要一个交点，求a的值；
（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，则点E坐标为________．
26. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的地位关系，并阐明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．

27. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不与B、C两点重合），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上取一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接AM、AN．

（1）若P为BC的中点，则sin∠CPM=________；
（2）求证：∠PAN的度数不变；
（3）当P在BC边上运动时，△ADM的面积能否存在最小值，若存在，请求出PB的长；若不存在，请阐明理由．
28. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．

(1)如图1，求抛物线的顶点坐标；
(2)如图2，点P为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，设点P的横坐标为t，点Q的横坐标为m，求m与t的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，如图3，连接AP，过点C作CE⊥AP于点E，连接BE、CE分别交PQ于F、G两点，当点F是PG中点时，求点P的坐标．








2022-2023学年天津市南开区中考数学突破提升破仿真模拟卷
（4月）
一、选一选
1. 的相反数是（   ）
A. ﹣ B. C. ﹣ D.
【正确答案】A

【详解】试题分析：根据只要符号不同的两个数互为相反数可知的相反数是．
故选A．
点睛：本题考查了相反数的概念，熟记概念是处理此题的关键，留意与倒数的区分．
2. 下列运算中正确的是（    ）
A. x2+x2=x4                          B. x2•x3=x6                          C. x2÷x=x2                          D. （x2）3=x6
【正确答案】D

【详解】试题分析：A、根据合并同类项法则得：x2＋x2＝2x2，故此选项错误；
B、根据同底数幂的乘法法则得：x2·x3＝ x5，故此选项错误；
C、根据同底数幂的除法法则得：x2÷x＝x，故此选项错误；
D、根据幂的乘方法则得：(x2)3＝ x6，故此选项正确．
故选D．
3. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个巨大的无花果，质量只要0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（　　）
A. 7.6×10﹣9 B. 7.6×10﹣8 C. 7.6×109 D. 7.6×108
【正确答案】B

【分析】值小于1的数用科学记数法表示普通方式为a×10-n，指数由原数左边起个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：将0.000000076用科学记数法表示为7.6×10﹣8，
故选：B．
本题考查用科学记数法表示值小于1的数，普通方式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4. 小明在射击训练中，共射击10发，成绩如下（单位：环）：8  7  7  8  9  8  7  7  10  8，则脱靶8环的频率是（   ）
A. 0.1                                        B. 0.2                                        C. 0.3                                        D. 0.4
【正确答案】D

【详解】试题分析：脱靶8环的频数为4，所以脱靶8环的频率为＝0.4．
故选D．
点睛：本题考查了频率的计算方法，应熟知频率＝．
5. 已知关于x的方程mx+3=4的解为x=1，则直线y=（m﹣2）x﹣3一定不的象限是（   ）
A. 象限                            B. 第二象限                            C. 第三象限                            D. 第四象限
【正确答案】A

【详解】试题分析：∵关于x的方程mx＋3＝4的解为x＝1，
∴m＋3＝4，
∴m＝1，
∴直线y＝(m－2)x－3为直线y＝－x－3，
∴直线y＝(m－2)x－3一定不象限，
故选A．
点睛：本题考查了方程解的概念、函数图象与系数的关系，求得m的值是解题的关键．
6. 如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为（ ）

A. 65° B. 60° C. 55° D. 45°
【正确答案】A

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠DAC，求得∠DAC＝30°，根据三角形的内角和得到∠BAC＝95°，即可得到结论．
【详解】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD＝DC，故∠C＝∠DAC，
∵∠C＝30°，
∴∠DAC＝30°，
∵∠B＝55°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝65°，
故选：A．
此题次要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
7. 下列说确的是（ ）
A. 为了解苏州市中先生睡眠情况，应该采用普查的方式
B. 某种的中奖机会是，则买张这种一定会中奖
C. 一组数据，，，，，，的众数和中位数都是
D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据波动
【正确答案】C

【分析】根据抽样抽查、概率的定义、中位数以及方差的定义进行判断．
【详解】解：A、为了解苏州市中先生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，故本选项错误；
B、某种的中奖机会是1%，则买100张这种中奖的可能性很大，但不是一定中奖，故本选项错误；
C、一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3，故本选项正确；
D、方差反映了一组数据的波动情况，方差越小数据越波动，故本选项错误．
故选C．
此题考查概率、抽样调查、众数、中位数、方差，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新陈列后，最两头的那个数（或最两头两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
8. 圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则它的表面积为（   ）
A. 12π cm2                            B. 20π cm2                            C. 26π cm2                            D. 36π cm2
【正确答案】D

【详解】试题分析：底面周长是2×4π＝8πcm，底面积是：42π＝16πcm2．
母线长是：＝5，
则圆锥的侧面积是：×8π×5＝20πcm2，
则圆锥的表面积为16π＋20π＝36πcm2．
故选D．
点睛：本题考查了圆锥的计算，勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解．留意圆锥表面积＝底面积＋侧面积＝π×底面半径2＋底面周长×母线长÷2的运用．
9. 如图，四边形ABCD是边长为的正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则DM的长为（ ）

A. +1 B. +1 C. 2 D. 2-
【正确答案】C

【详解】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，△CDE为等边三角形，
∴CD＝CE＝CB，∠DCE＝60°，∠DCB＝90°，
∴∠BCE＝150°，
∴∠CBE＝15°，
∴∠ABM＝90°－15°＝75°，
过B作BF⊥AC于点F，如图，

∵∠BAC＝45°，
∴BF＝AB＝，
∴∠MBF＝75°－45°＝30°，
∴BM＝ BF÷ cos30°＝÷＝2，
∵M在AC上，
根据正方形的对称性可得：DM＝BM＝2，
故选C．
10. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，若CE=2，连接CF,以下结论：①∠BAF=∠BCF；②点E到AB的距离是2 ；③S△CDF：S△BEF=9：4；④tan∠DCF=．其中正确的有（ ）

A 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】B

【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，∠ABD＝∠CBD，
在△ABF和△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF，
∴∠BAF＝∠BCF，①正确；
作EG⊥AB交AB的延伸线于G，
∵AD∥BC，∠DAB＝60°，
∴∠EBG＝60°，
EB＝BC－CE＝4，
∴EG＝EB×sin∠EGB＝4×＝，②正确；
∵AB＝6，CE＝2，
∴S△BEF＝2S△CEF，
∵AD∥BC，
∴，
∴S△CFD＝S△CFB，
∴S△CDF：S△BEF＝9：4，③正确；
作FH⊥CD于H，
则DH＝DF＝2，FH＝，
∴tan∠DCF＝＝＝，④错误，
故选B．

本题考查的是菱形的性质、解直角三角形的运用、类似三角形的判定和性质，掌握类似三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．
二、填 空 题
11. 分解因式：=_________________________．
【正确答案】

【详解】解：==．
故答案为．
12. 如图，直线l1∥l2 ， CD⊥AB于点D，若∠1=50°，则∠BCD的度数为________°．

【正确答案】40

【详解】试题分析：∵l1∥l2，
∴∠1＝∠ABC＝50°．
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB＝90°．
∴∠BCD＋∠DBC＝90°，即∠BCD＋50°＝90°．
∴∠BCD＝40°．
故答案为40．
13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
【正确答案】x＞2.

【详解】解：使代数式有意义的条件是：分母不能为0，二次根式中的被开方数不能为负数．所以根据题意得：x-2≥0,且x-2≠0．解得：x＞2．
故x＞2．
考点：二次根式的非负性.
14. 某校在“祖国好、家乡美”主题宣传周里推出五条A、B、C、D、E旅游线路．某校摄影社团随机抽取部分先生举行“旅游路线”投票，参与者每人选出一条心中的旅游路线，社团对投票进行了统计，并绘制出如下不残缺的条形统计图和扇形统计图．全校2400名先生中，请你估计，选择“C”路线的人数约为________．

【正确答案】600

【详解】试题分析：由题意可得：本次参与投票的总人数＝24÷20%＝120（人），
则2400×＝600（人），
所以估计，选择“C”路线的人数约为600人．
故答案为600．
点睛：此题次要考查了条形统计图和扇形统计图的运用，根据条形图和扇形图中都有的数据求出样本容量是处理此题的关键．
15. 如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆点C，若AC=BC=，则图中暗影部分的面积是___________

【正确答案】

【详解】试题解析：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC=，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，
∴S△AOC=S△BOC，OA=AC=1，
∴S暗影部分=S扇形AOC=．
先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△BOC，然后根据扇形的面积公式计算图中暗影部分的面积．本题考查了扇形面积的计算：圆面积公式：S=πr2，（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．求暗影面积常用的方法：①直接用公式法； ②和差法； ③割补法．求暗影面积的次要思绪是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
16. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若⊙O的半径为2，∠BOC与∠A互补，则BC的长为________．

【正确答案】

【详解】试题分析：过点O作OD⊥BC于D，

则BC＝2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC＝2∠A，∠BOC＋∠A＝180°，
∴∠BOC＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝(180°－∠BOC)＝30°，
∵⊙O的半径为2，
∴BD＝OB•cos∠OBC＝2×＝，
∴BC＝2．
故答案为2．
点睛：此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．留意掌握辅助线的作法，留意数形思想的运用．
17. 如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是______________．

【正确答案】1

【分析】动点成绩，等腰直角三角形的性质，平角定义，勾股定理，二次函数的最值.
【详解】设AC＝x，则BC＝2－x，

∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC＝，CE＝.
∴∠DCE＝90°.
∴DE2＝DC2＋CE2＝（）2＋[]2＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
∴当x＝1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1.
考点：二次函数的最值.
18. 已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位长度到△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是_____．

【正确答案】、5或．

【详解】试题分析：过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AB于点N，如图所示．

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，
∴BC=13，sin∠B=，cos∠B=．
△ADE为等腰三角形分三种情况：
①当AB=AE时，
BE=2BM，BM=AB•cos∠B=，
此时m=BE=；
②当AB=BE时，
m=BE=AB=5；
③当BE=AE时，
BN=AN=AB=，BE=，
此时m=BE=．
故答案为、5或．
考点：勾股定理；等腰三角形的判定；平移的性质．
三、解 答 题
19. 计算：|﹣1|+﹣（1﹣）0﹣（）﹣1．
【正确答案】1

【详解】试题分析：先分别计算值，算术平方根，零指数幂和负指数幂，然后相加即可．
试题解析：
解：|﹣1|＋﹣（1﹣）0﹣（）﹣1
＝1＋3﹣1﹣2
＝1．
点睛：本题考查了实数的计算，熟习计算的顺序和相关的法则是处理此题的关键．
20. 解不等式组：
【正确答案】解不等式①得x<－1 解不等式②得x<2
在同一数轴上表示不等式①、②的解集如图：
所以不等式组的解集是：x<－1

【详解】先分别解出两个不等式，然后在数轴上表示出解集即得结果．
21. 先化简，再求值：（1+）÷，其中x= +1．
【正确答案】1﹣

【详解】试题分析：先通分计算括号内的分式的加法，然后把除法转化为乘法，分子、分母因式分解后约分化成最简分式后，把x的值代入化简即可．
试题解析：
解：原式＝（）•，
＝ • ，
＝ ，
当x＝＋1时，
原式＝＝1﹣．
22. （2016四川省资阳市）某大型企业为了保护环境，预备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时管理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．
（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；
（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最的购买．
【正确答案】（1）A型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的单价为10万元；（2）购进2台A型污水处理设备，购进6台B型污水处理设备最．

【分析】（1）根据题意购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元分别得出等式求出答案；
（2）利用该企业每月的污水处理量不低于1565吨，得出不等式求出答案．
【详解】设A型污水处理设备的单价为x万元，B型污水处理设备的单价为y万元，根据题意可得：，
解得：．
答：A型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的单价为10万元；
（2）设购进a台A型污水处理器，根据题意可得：
220a+190（8﹣a）≥1565，解得：a≥1.5，
∵A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高，
∴A型污水处理设备买越少，越，
∴购进2台A型污水处理设备，购进6台B型污水处理设备最．
此题次要考查了一元不等式的运用以及二元方程组的运用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
23. 如图，3×3的方格分为上中下三层，层有一枚黑色方块甲，可在方格A、B、C中挪动，第二层有两枚固定不动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方格D、E、F中挪动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方块构成各种拼图．

（1）若乙固定在E处，挪动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是______．
（2）若甲、乙均可在本层挪动．
①用树形图或列表法求出黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率．②黑色方块所构拼图是对称图形的概率是______．
【正确答案】（1）；（2）①；②.

【分析】（1）由乙固定在E处，挪动甲后黑色方块构成的拼图一共有3种可能，其中有两种情形是轴对称图形，所以若乙固定在E处，挪动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是；（2）①由树状图得到黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率；②黑色方块所构拼图中是对称图形有两种情形，①甲在B处，乙在F处，②甲在C处，乙在E处，所以黑色方块所构拼图是对称图形的概率是．
【详解】（1）若乙固定在E处，挪动甲后黑色方块构成的拼图一共有3种可能，其中有两种情形是轴对称图形，所以若乙固定在E处，挪动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是 ．
故答案为．（2）①由树状图可知，黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率= ．

②黑色方块所构拼图中是对称图形有两种情形，
甲在B处，乙在F处或甲在C处，乙在E处，
所以黑色方块所构拼图是对称图形的概率是 ．
故答案为 ．
本题考查了轴对称图形、对称图形、树状图、概率公式的知识点，解题的关键是纯熟掌握这些概念.
24. 如图，在△ABC中．AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
(1)求证：AB=AC；
(2)若AD=2，∠DAC=30°，求AC长．

【正确答案】（1）详见解析；（2）4.

【分析】（1）根据角平分线的性质可得DE=DF，再根据HL证明；根据全等三角形的性质可得，即可证得AB=AC；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，在Rt∆ADC中，AD=2，∠DAC=30°，利用勾股定理即可求得AC的长．
详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF
,


∴AB=AC


在Rt∆ADC中，

∴AC=2CD，AC2=AD2+CD2

本题考查勾股定理的运用，角平分线的性质；全等三角形的判定及性质；直角三角形的性质.
25. 如图，反比例函数y=的图象与函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，3n），点B的坐标为（5n+2，1）．

（1）求反比例函数与函数的表达式；
（2）将函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只要一个交点，求a的值；
（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，则点E的坐标为________．
【正确答案】（0，6）或（0，8）

【详解】试题分析：（1）把点A的坐标、点B的坐标代入y＝，得出m、n的值，得出点A、B的坐标，再把A、B的坐标代入直线y＝kx＋b，求出k、b的值，从而得出函数的解析式；
（2）设平移后的函数的解析式为y＝－x＋7－a，由函数解析式和反比例函数解析式联立组成二元方程组，消去y，得到关于x的一元二次方程，令△＝0即可求出a的值；
（3）设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，先求出直线与y轴交点K的坐标（0，7），得出KE＝|m－7|，根据S△AEB＝S△BEP－S△AEP＝5，求出m的值，从而得出点E的坐标．
试题解析：
（1）解：∵A、B在反比例函数的图象上，
∴2×3n＝（5n＋2）×1＝m，
∴n＝2，m＝12，
∴A（2，6），B（12，1），
∵函数y＝kx＋b的图象A、B两点，
∴ ，
解得 ，
∴反比例函数与函数的表达式分别为y＝，y＝﹣x＋7．
（2）解：设平移后的函数的解析式为y＝﹣x＋7﹣a，
由，消去y得到x2＋（2a﹣14）x＋24＝0，
由题意，△＝0，（21a﹣14）2﹣4×24＝0，
解得a＝7±2．
（3）设直线AB交y轴于K，则K（0，7），设E（0，m），

由题意，KE＝|m﹣7|．
∵S△AEB＝S△BEK﹣S△AEK＝5，
∴×|m﹣7|×（12﹣2）＝5．
∴|m﹣7|＝1．
∴m1＝6，m2＝8．
∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．
点睛：此题考查了反比例函数和函数的交点成绩，用待定系数法求函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，解一元方程，解二元方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
26. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的地位关系，并阐明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．

【正确答案】（1）直线DE与⊙O相切；（2）4.75．

【分析】（1）连接OD，经过线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证明∠EDB＋∠ODA＝90°，进而得出OD⊥DE，根据切线的判定即可得出结论；
（2）连接OE，作OH⊥AD于H．则AH＝DH，由△AOH∽△ABC，可得，推出AH＝，AD＝，设DE＝BE＝x，CE＝8－x，根据OE2＝DE2＋OD2＝EC2＋OC2，列出方程即可处理成绩；
【详解】（1）连接OD，

∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A，
∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∴∠EDB＋∠ODA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）连接OE，作OH⊥AD于H．则AH＝DH，
∵△AOH∽△ABC，
∴，
∴，
∴AH＝，AD＝，设DE＝BE＝x，CE＝8﹣x，
∵OE2＝DE2＋OD2＝EC2＋OC2 ，
∴42＋（8﹣x）2＝22＋x2 ，
解得x＝4.75，
∴DE＝4.75．
本题考查切线的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识处理成绩，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程处理成绩，属于中考常考题型．
27. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不与B、C两点重合），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上取一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接AM、AN．

（1）若P为BC的中点，则sin∠CPM=________；
（2）求证：∠PAN的度数不变；
（3）当P在BC边上运动时，△ADM的面积能否存在最小值，若存在，请求出PB的长；若不存在，请阐明理由．
【正确答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在最小值，BP＝2.

【分析】（1）根据正方形的性质和勾股定理求出AP，根据正弦的定义得到sin∠BAP＝，根据折叠的性质证明∠CPM＝∠BAP，得到答案；
（2）证明Rt△AEN≌Rt△ADN，得到∠EAN＝∠DAN，计算即可；
（3）设PB＝x，根据类似三角形的性质求出DM，根据三角形的面积公式得到二次函数的解析式，然后将解析式转化为顶点式，即可得出答案．
【详解】（1）∵正方形ABCD的边长为4，P为BC的中点，
∴BP＝BC＝2，
∴AP＝＝2，
∴sin∠BAP＝，
由折叠的性质可知，，，
∴∠APM＝∠EPA+∠FPM=（∠BPE＋∠CPF）＝90°，
∴∠BPA＋∠CPM＝90°，
又∠BPA＋∠BAP＝90°，
∴∠CPM＝∠BAP，
∴sin∠CPM＝sin∠BAP＝，
故答案为；
（2）由折叠的性质可知，∠AEP＝∠B＝90°，AE＝AB，∠BAP＝∠EAP，
∴AE＝AD，
在Rt△AEN和Rt△ADN中，
AE＝AD，AN＝AN，
∴Rt△AEN≌Rt△ADN，
∴∠EAN＝∠DAN，
∵∠BAP+∠EAP+∠EAN+∠DAN=90°，
∴2∠EAP+2∠EAN=90°，
即2∠PAN=90°，
∴∠PAN＝45°；
（3）设PB＝x，则PC＝4﹣x，
∵∠CPM＝∠BAP，∠ABP＝∠PCM＝90°，
∴△ABP∽△PCM，
∴，即，
解得，CM＝﹣x2＋x，
∴DM＝4﹣（﹣x2＋x）＝ x2﹣x＋4，
∴△ADM的面积＝ ×4×（x2﹣x＋4）＝（x﹣2）2＋6，
∴当BP＝2时，△ADM的面积存在最小值6．
本题是正方形的综合，考查了类似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，求锐角的正弦值，二次函数的图象与性质，折叠的性质等知识，综合性较强，灵活运用这些知识是关键．
28. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．

(1)如图1，求抛物线的顶点坐标；
(2)如图2，点P为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，设点P的横坐标为t，点Q的横坐标为m，求m与t的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，如图3，连接AP，过点C作CE⊥AP于点E，连接BE、CE分别交PQ于F、G两点，当点F是PG中点时，求点P的坐标．
【正确答案】（1）C（1，2）；（2）m=﹣t2+t+；（3）P（，﹣）

【详解】试题分析：（1）先由抛物线解析式确定出对称轴，再用中点坐标确定出点A的坐标，代入抛物线解析式确定出抛物线解析式，化为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）由（1）的条件，确定出直线AC解析式，由PQ⊥AC，确定出点P的坐标，消去y即可；
（3）先判断出△ACE∽△APQ，再判断出∠ACB＝90°，从而得到Rt△BCD≌Rt△BED，判断出BD∥AP，进而确定出AP解析式，联立直线AP和抛物线的解析式确定出点P坐标．
试题解析：
（1）解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＋，
∴抛物线对称轴为x＝﹣＝1，
∵抛物线的顶点为C，
∴点C的横坐标为1，
设点A（n，0）
∵直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．
∴ ＝0，
∴n＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵点A在抛物线y＝ax2﹣2ax＋上，
∴a＋2a＋ ＝0，
∴a＝﹣ ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋x＋（x﹣1）2＋2，
∴抛物线顶点坐标C（1，2）
（2）解：由（1）有，抛物线解析式为y＝﹣x2＋x＋ ，
∵抛物线与x轴交于A、B两点，A（－1，0），抛物线对称轴为x＝1，
∴B（3，0），
∵直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．且A（﹣1，0），C（1，2），
∴D（0，1），
∵A（﹣1，0），C（1，2），
∴直线AC解析式为y＝x＋1，
∵PQ⊥AC，
∴设直线PQ解析式为y＝﹣x＋b，
∵设点P（t，﹣t2＋t＋），
∴直线PQ解析式为y＝﹣x﹣t2＋2t＋，
∵点Q在直线AC上，且点Q的横坐标为m，
∴ ，
∴m＝﹣t2＋t＋；
（3）解：如图，

连接DE，BD，BC，
∵CE⊥AP，
∴∠ACE＋∠CAE＝90°，
∵PQ⊥AC，
∴∠APQ＋∠CAE＝90°，
∴∠ACE＝∠APQ，
∵∠CAE＝∠CAE
∴△ACE∽△APQ，
∴∠APQ＝∠ACE，
∵∠AEC＝90°，
∴DE＝AD＝CD，
∴∠ACE＝∠DEC，
∵∠CEP＝90°，
∴EF＝QF＝PF，
∴∠APQ＝∠PEF，
∴∠PEF＝∠APQ＝∠ACE＝∠CED，
∴∠CED＋∠BEC＝∠PEF＋∠BEC＝∠PEC＝90°，
∵点A（﹣1，0），D（0，1），
∴OA＝OD，
∴∠BAC＝45°
∵点A，B是抛物线与x轴的交点，点C是抛物线的顶点，
∴AC＝BC，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝90°
在Rt△BCD和Rt△BED中，
DE＝DC，BD＝BD ，
∴Rt△BCD≌Rt△BED，
∴∠BDC＝∠BDE，
∵DE＝DC，
∴BD⊥CE，
∵AP⊥CE，
∴AP∥BD，
∵B（3，0），D（0，1），
∴直线BD解析式为y＝－x＋1，
∵A（﹣1，0），
∴直线AP解析式为y＝﹣x﹣，
联立抛物线和直线AP解析式得， ，
∴ ， （舍）
∴P（，﹣）．
点睛：此题是二次函数综合题，次要考查了待定系数法求直线和抛物线解析式，类似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，解本题的关键是确定出函数解析式，难点是判断BD∥AP，是一道综合性比较强，难度比较大的中考常考题．


























2022-2023学年天津市南开区中考数学突破提升破仿真模拟卷
（5月）
一、选一选（本大题共9小题，每小题5分，共45分）
1. 的相反数是【 】
A. B. C. D.
2. 从图中四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有汽车品牌标志的图案是对称图形的卡片的概率是（　　）

A. B. C. D. 1
3. 如图，AB//CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE度数为（　　）


A. 34° B. 56° C. 66° D. 54°
4. 一元二次方程x2+6x﹣5=0配方后变形正确的是（　　）
A. （x﹣3）2=14 B. （x+3）2=4 C. （x+6）2= D. （x+3）2=14
5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连结OB、OC，若OB=BC，则∠BAC等于【 】

A. 60° B. 45° C. 30° D. 20°
6. 已知k1＜0＜k2，则函数和 的图象大致是
A. B. C. D.
7. 小刚从家跑步到学校，每小时跑12km，会迟到5分钟；若骑自行车，每小时骑15km，则可早到10分钟．设他家到学校的路程是xkm，则根据题意列出方程是（　　）
A. B.
C. D.
8. 如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，则下列判断错误的是（　　）

A. DE是△ABC的中位线 B. 点O是△ABC的重心
C. △DEO∽△CBO D.
9. 如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（ ）

A. （，1） B. （1，） C. （，﹣2） D. （2，）
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
10. 分解因式：x2+2xy+y2﹣4=_____．
11. 若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2=0有实数根，则m满足_____．
12. 若分式的值为0，则______．
13. 已知点(-1，y1)，(2，y2)，(3，y3)在反比例函数y=的图象上，则用“<”连接y1，y2，y3的结果为_______．
14. 如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是_____．

15. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是x=1，下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③a+b+c＜0；④3a+c＞0，其中正确结论的个数为（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
三、（本大题共8小题，共75分）
16. 计算：4cos30°﹣|﹣2|+（）0﹣+（﹣）﹣2．
17. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC．
（1）求证：△BFO≌△DEO；
（2）若EF平分∠AEC，试判断四边形AFCE形状，并证明．

18. 某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会，后，就的个主题进行了抽样（每位同学只选最关注的一个），根据结果绘制了两幅没有完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次学生共有多少名；
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数；
（3）如果要在这个主题中任选两个进行，根据（2）中结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注至多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．


19. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．
（1）求该反比例函数和函数解析式；
（2）求点B的坐标．

20. 某市场一批衬衫，平均每天可20件，每件赢利40元．为了扩大，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）要使商场平均每天赢利至多，请你帮助设计．
21. 如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从点M到点N的走向为北偏西30°，在点M的北偏西60°方向上有一点A，以点A为圆心，以500米为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为北偏西75°．已知MB=400米，若没有改变方向，则输水路线是否会穿过居民区？请通过计算说明理由．（参考数据：≈1.732）

22. 如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．

（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
23. 如图，抛物线A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若没有存在，请说明理由．


2022-2023学年天津市南开区中考数学突破提升破仿真模拟卷
（5月）
一、选一选（本大题共9小题，每小题5分，共45分）
1. 的相反数是【 】
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】相反数的定义是：如果两个数只有符号没有同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
因此的相反数是．
故选C．
2. 从图中的四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有汽车品牌标志的图案是对称图形的卡片的概率是（　　）

A. B. C. D. 1
【正确答案】A

【详解】试题分析：在这四个图片中只有第三幅图片是对称图形，因此是对称称图形的卡片的概率是．
故选A．
考点：1.概率公式；2.对称图形．
3. 如图，AB//CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为（　　）


A. 34° B. 56° C. 66° D. 54°
【正确答案】B

【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠D=∠1=34°，
∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=180°﹣90°﹣34°=56°．
故选B．
4. 一元二次方程x2+6x﹣5=0配方后变形正确的是（　　）
A. （x﹣3）2=14 B. （x+3）2=4 C. （x+6）2= D. （x+3）2=14
【正确答案】D

【详解】先移项，得x2+6x=5，配方，得x2+6x+32=5+32，即（x+3）2=14.
故选D.
点睛：配方的时候，若二次项系数没有为1，要化为1，然后在方程左右两边同时加上项系数一半的平方.
5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连结OB、OC，若OB=BC，则∠BAC等于【 】

A. 60° B. 45° C. 30° D. 20°
【正确答案】C

【分析】由OB=BC，OA=OB，可得△BOC是等边三角形，则可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠BAC的度数．
【详解】∵OB=BC=OC，
∴△OBC是等边三角形
∴∠BOC=60°
∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠BAC=∠BOC=30°
故选C.
本题考查了圆周角定理及等边三角形的判定及性质，熟练掌握性质及定理是解题的关键.
6. 已知k1＜0＜k2，则函数和 的图象大致是
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】试题分析：∵直线与y轴的交点为（0,－1），故排除B、D．
又∵k2＞0，∴双曲线在一、三象限．
故选A．
7. 小刚从家跑步到学校，每小时跑12km，会迟到5分钟；若骑自行车，每小时骑15km，则可早到10分钟．设他家到学校的路程是xkm，则根据题意列出方程是（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】D

【分析】设他家到学校的路程是xkm，根据时间=路程÷速度上课时间没有变，即可得出关于x的一元方程，此题得解．
【详解】解：设他家到学校的路程是xkm，
依题意，得：．
故选D．
考查了由实际问题抽象出一元方程，找准等量关系，正确列出一元方程是解题的关键．
8. 如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，则下列判断错误的是（　　）

A. DE是△ABC中位线 B. 点O是△ABC的重心
C. △DEO∽△CBO D.
【正确答案】D

【详解】△ABC的中线BE与CD交于点O，可得DE是△ABC的中位线、点O是△ABC的重心，所以选项A、B正确；根据三角形的中位线定理可得DE ∥ BC且DE= BC， 所以可得△DEO∽△CBO，选项C正确，故选D.
9. 如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（ ）

A （，1） B. （1，） C. （，﹣2） D. （2，）
【正确答案】B

【详解】试题分析：根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q作QM⊥y轴，∴∠POQ=120°，∵AP=OP，∴∠BAO=∠POA=30°，∴∠MOQ=30°，在Rt△OMQ中，OQ=OP=2，∴MQ=1，OM=，则P的对应点Q的坐标为（1，），故选B．

考点：坐标与图形变化-旋转．

二、填 空 题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
10. 分解因式：x2+2xy+y2﹣4=_____．
【正确答案】（x+y+2）（x+y﹣2）

【详解】试题解析：x2＋2xy＋y2－4=（ x + y）2-4=（x+y+2)(x+y-2)
11. 若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2=0有实数根，则m满足_____．
【正确答案】m≥且m≠1

【详解】∵一元二次方程有实数根，
∴①m－1≠0，即m≠1；
②b2－4ac=22－4×（m－1）×（－2）=8m－4≥0，即m≥；
∴m≥且m≠1.
故答案为m≥且m≠1.
点睛：（1）一元二次方程二次项系数没有能为0；
（2）若一元二次方程有两个没有相等的实数根，那么b2－4ac＞0；
若一元二次方程有两个相等的实数根，那么b2－4ac=0；
若一元二次方程没有实数根，那么b2－4ac＜0.
12. 若分式的值为0，则______．
【正确答案】-1

【分析】根据分式的值为零的条件即可求出x的值．
【详解】解：由题意可知：|x|-1=0且x-1≠0，
解得x=-1．
故-1．
本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母没有等于零．
13. 已知点(-1，y1)，(2，y2)，(3，y3)在反比例函数y=的图象上，则用“<”连接y1，y2，y3的结果为_______．
【正确答案】y2＜y3＜y1

【详解】试题分析：∵反比例函数y=中，﹣k2﹣1＜0，
∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵﹣1＜0，
∴点A（﹣1，y1）位于第二象限，
∴y1＞0；
∵0＜2＜3，
∴B（1，y2）、C（2，y3）在第四象限，
∵2＜3，
∴y2＜y3＜0，
∴y2＜y3＜y1．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
14. 如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是_____．

【正确答案】2000π

【详解】试题解析：综合三视图，可以得出这个几何体应该是个圆柱体，且底面半径为10，高为20．
因此它的体积应该是：π×10×10×20=2000π．
15. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是x=1，下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③a+b+c＜0；④3a+c＞0，其中正确结论的个数为（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C

【详解】由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可知：，图象和轴有两个没有同的交点，
∴，
∴，.
由图可知，当时，，
∴，即.
∴上述结论中正确的是②③④，共3个.
故选C.
三、（本大题共8小题，共75分）
16. 计算：4cos30°﹣|﹣2|+（）0﹣+（﹣）﹣2．
【正确答案】8．

【分析】代入角的三角函数值，按照实数的混合运算法则计算即可得答案．
【详解】4cos30°﹣|﹣2|+（）0﹣+（﹣）-2
=
=
=8．
本题考查角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂及二次根式的性质与化简，熟练掌握实数的混合运算法则，熟记角的三角函数值是解题关键．
17. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC．
（1）求证：△BFO≌△DEO；
（2）若EF平分∠AEC，试判断四边形AFCE的形状，并证明．

【正确答案】(1)证明见解析（2）四边形AFCE是正方形；证明见解析.

【详解】试题分析：根据平行四边形的性质和平行线性质得出OA=OC，∠OAE=∠OCF，证△AOE≌△COF，推出OE=OF，即可得出四边形是矩形．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AD∥BC，AD=BC，
∴∠OBF=∠ODE，
在△BFO和△DEO中，，
∴△BFO≌△DEO（ASA）；
（2）解：四边形AFCE是正方形；理由如下：
∵△BFO≌△DEO，
∴BF=DE，
∴CF=AE，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AF⊥BC，
∴∠AFC=90°，
∴四边形AFCE是矩形，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF=∠CEF，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∴四边形AFCE是正方形．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
18. 某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会，后，就的个主题进行了抽样（每位同学只选最关注的一个），根据结果绘制了两幅没有完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次的学生共有多少名；
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数；
（3）如果要在这个主题中任选两个进行，根据（2）中结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注至多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．


【正确答案】（1）280名；（2）补图见解析；108°；（3）0.1.

【分析】（1）根据“平等”的人数除以占的百分比得到的学生总数即可；
（2）求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可；
（3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“C”与“E”的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：（1）56÷20%=280（名），
答：这次的学生共有280名；
（2）280×15%=42（名），280﹣42﹣56﹣28﹣70=84（名），
补全条形统计图，如图所示，

根据题意得：84÷280=30%，360°×30%=108°，
答：“进取”所对应的圆心角是108°；
（3）由（2）中结果知：学生关注至多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为：

A
B
C
D
E
A

（A，B）
（A，C）
（A，D）
（A，E）
B
（B，A）

（B，C）
（B，D）
（B，E）
C
（C，A）
（C，B）

（C，D）
（C，E）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）

（D，E）
E
（E，A）
（E，B）
（E，C）
（E，D）


用树状图为：

共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种，
∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是0.1．
19. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．
（1）求该反比例函数和函数的解析式；
（2）求点B的坐标．

【正确答案】（1）反比例函数的解析式为，函数的解析式为y=2x+4；（2）点B坐标为（﹣3，﹣2）.

【分析】（1）先过点A作AD⊥x轴，根据tan∠ACO=2，求得点A的坐标，进而根据待定系数法计算两个函数解析式；（2）先联立两个函数解析式，再通过解方程求得交点B的坐标即可．
【详解】解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D．由A（n，6），C（﹣2，0）可得，OD=n，AD=6，CO=2
∵tan∠ACO=2，∴=2，即，∴n=1，∴A（1，6）．将A（1，6）代入反比例函数，得m=1×6=6，∴反比例函数的解析式为．
将A（1，6），C（﹣2，0）代入函数y=kx+b，可得：，解得：，∴函数的解析式为y=2x+4；
（2）由可得，，解得=1，=﹣3．∵当x=﹣3时，y=﹣2，
∴点B坐标为（﹣3，﹣2）．

本题考查反比例函数与函数的交点问题，利用数形思想解题是关键．
20. 某市场一批衬衫，平均每天可20件，每件赢利40元．为了扩大，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）要使商场平均每天赢利至多，请你帮助设计．
【正确答案】（1）20元；（2）每件衬衫应降价15元，商场盈利至多，共1250元．

【分析】（1）总利润=每件利润×量，根据题意可得利润表达式，再求当时x的值；
（2）根据函数关系式，运用二次函数的性质求最值．
【详解】解：设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，
根据题意得
（1）当时，，
解之得．
根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．
答：每件衬衫应降价20元．
（2）解：商场每天盈利w=．
∵-2＜0
∴抛物线开口向下
∴当x=15时，w有值，w的值为1250，
所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利至多，共1250元．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利至多．
本题考查二次函数应用的问题的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21. 如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从点M到点N的走向为北偏西30°，在点M的北偏西60°方向上有一点A，以点A为圆心，以500米为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为北偏西75°．已知MB=400米，若没有改变方向，则输水路线是否会穿过居民区？请通过计算说明理由．（参考数据：≈1.732）

【正确答案】没有会穿过居民区，理由见解析.

【详解】试题分析：要判断输水路线是否会穿过居民区，即要比较点A到MN的距离与500的大小，要求点A到MN的距离，作AD⊥MN交MN于点D，设AD=x，没有难表示出DM=x+400，再由tan∠AMD==列出方程，解出x，比较x与500的大小，若x＞500，则没有会穿过居民区；若x≤500，则会穿过居民区.
试题解析：

解：过A作AD⊥MN于点D，
设AD=x，
∵∠ABD=75°－30°=45°，
∴BD=AD=x，
∴MD=x+400，
∵∠AMD=30°，
∴tan∠AMD===，
解得：x=546.372＞500．
∴没有会穿过居民区．
点睛：遇到30°、45°、60°角，通常将这些角放到直角三角形中去，这样就可以充分利用角的三角函数值，若题中无现成的直角三角形，通常作垂线构造直角三角形.
22. 如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．

（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可．
（2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和△ODP面积，即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD，

∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．
∴∠DOP=180°﹣120°=60°．
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．
∴OD⊥DP．
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线．
（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm，
∴OP=6cm，
由勾股定理得：DP=3cm．
∴图中阴影部分的面积
23. 如图，抛物线A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）抛物线的解析式为：．
（2）P（2，）．
（3）存在点N坐标为（4，），或

【分析】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；
（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，
∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，
连接BC，如图1所示，

∵B（5，0），C（0，）
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣
∴P（2，﹣）；
（3）存在．如图2所示，

①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣）
∴N1（4，﹣）；
②当点Nx轴上方时，如图2，
过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，

∴△AN2D≌△M2CO（ASA）
∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．
∴x2﹣2x﹣=，
解得x=2+或x=2﹣，
∴N2（2+，），N3（2﹣，）
综上所述，符合条件的点N的坐标为N1（4，﹣），N2（2+，）或N3（2﹣，）．