2022-2023学年重庆市云阳凤鸣中学校高二上学期期末数学试题（解析版）

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2022-2023学年重庆市云阳凤鸣中学校高二上学期期末数学试题一、单选题1．在等差数列中，若，，则（    ）A．14 B．15 C．16 D．8【答案】C【分析】根据等差数列性质可知，若则，即可计算出结果.【详解】由题意可知，在等差数列中，由等差数列性质可知，若则；所以故选：C.2．过两点和的直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据斜率公式，结合倾斜角与斜率直线的关系，建立方程，可得答案.【详解】斜率，又倾斜角，，．故选：D．3．抛物线的准线方程是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．【详解】解：抛物线，可知抛物线的开口向上，，所以抛物线的准线方程是：．故选：．4．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系是（    ）A．垂直 B．平行C．相交但不垂直 D．平行或线在面内【答案】A【分析】根据得到与共线，即可得到直线与平面垂直.【详解】因为，所以与共线，直线与平面垂直.故选：A.5．已知圆关于直线对称，则的最大值为（    ）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】由圆的方程求出圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，由基本不等式即可求出的最大值.【详解】解：由题意在圆中，∴圆心为，半径为1在直线中，圆关于该直线对称∴直线过圆心，∴，即：∵解得：当且仅当时等号成立∴的最大值为.故选：D.6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥是阳马，上平面，且，若，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】运用空间向量的加减运算，把已知向量用空间中一组基底表示.【详解】，，所以．故选：C7．如图，在直三棱柱中，已知，D为的中点，，则，所成角的余弦值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，计算，，根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，所以，，设，所成的角为，则．故选：C8．双曲线C：的左，右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，且，，点M为线段的中点，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，由已知得，利用双曲线定义知，，在中与中分别利用余弦定理，再结合，可求得，进而得解【详解】设，因为，所以，由双曲线定义知，则由双曲线定义知，则设，，因为，在中，①；在中，解得：，代入①式，得．点M为线段的中点，所以，因为，所以，又因为，所以，故选：B二、多选题9．已知数列的前项和为，，则下列说法不正确的是（    ）A．为等差数列 B．C．最小值为 D．为单调递增数列【答案】BC【分析】根据求出，并确定为等差数列，进而可结合等差数列的性质以及前项和分析求解.【详解】对于A，当时，，时满足上式，所以,所以，所以为等差数列，故A正确；对于B，由上述过程可知，，故B错误；对于C，因为，对称轴为，又因为，所以当或3时，最小值为，故C错误；对于D，由上述过程可知的公差等于2，所以为单调递增数列，故D正确.故选:BC.10．已知曲线：，、为实数，则下列说法错误的是（    ）A．曲线可能表示两条直线B．若，则是椭圆，长轴长为C．若，则是圆，半径为D．若，则是双曲线，渐近线方程为【答案】BD【分析】根据曲线的方程，结合直线，椭圆，双曲线的标准方程及其性质判断即可．【详解】当，时，曲线：即为，表示两条直线，选项A正确；当，曲线：可化为，此时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，长轴长为，选项B错误；若，曲线：可化为，表示半径为的圆，选项C正确；若，则是双曲线，其渐近线方程为，选项D错误．故选：BD．11．如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.则以下结论正确的为（    ） A．三棱锥体积为定值B．异面直线成角为C．直线与面所成角的正弦值D．当点为中点时，三棱锥的外接球表面积为【答案】ACD【分析】易证平面，故三棱锥体积为定值；易得，为等边三角形，故B错误；由向量法可判断C正确；转化顶点，易证平面，利用正、余弦定理求出的外接圆半径，将所求问题转化为圆柱外接球问题，进而判断D项.【详解】因为，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又为线段上动点，所以到平面距离为定值，故三棱锥体积为定值，当点与重合时，，故A正确；因为，故与所成角等价于与所成角，为等边三角形，所以异面直线成角为，故B项错误；以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，得，故，设直线与面所成角为，则，故C项正确；当点为中点时，，易得，平面，又平面，所以，，平面，所以平面，即平面，，，所以，，的外接圆半径为，故所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积，设三棱锥的外接球半径为，则，故三棱锥的外接球表面积为，故D项正确.故选：ACD12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点､的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（    ）A．的方程为B．在上存在点到点的距离为4C．上的点到直线的最大距离为6D．过点作直线，若上恰有三个点到直线的距离为2，则该直线的斜率为【答案】ACD【分析】根据题意求出的轨迹，结合圆中的相关知识进行分析判断即可.【详解】设，则，化简得，，则选项正确；将圆的方程化为标准方程为，则圆心为，半径为4，则圆上的点到点的最小距离为，则在圆上不存在点到点的距离为4，则选项B错误；上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径，即，则选项C正确；显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由于圆的半径为4，则要使上恰有三个点到直线的距离为2，只需圆心到该直线的距离为2，即，解得，则选项D正确．故选：ACD．三、填空题13．已知直线，，若，则的值为______.【答案】-1【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可.【详解】因为，所以，解得.故答案为：-1.14．已知数列的前项和为，，则_______【答案】【分析】直接利用即可求的通项公式.【详解】由已知条件，知当时，；当时，；当时不满足上式，∴，故答案为：.15．如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为4，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为______ .【答案】3【分析】以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，由空间向量法求点线距．【详解】连接．以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，，是等边三角形，点在直线上的射影在边上（靠近的四等分点），由平面，平面，得，又，，平面，所以平面，而平面，所以，∴为锐角，，为异面直线与所成角，即.在菱形中，，， ，．设，则，，，，，，，点到直线的距离为.故答案为：3.16．第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为______．【答案】【分析】分别设出内外椭圆的方程，求出、点的坐标，得到直线与的方程，分别与内椭圆联立，根据得到的一元二次方程中的，表示出与，根据，即可得到离心率的值.【详解】设内层椭圆方程为，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为.所以点坐标为，点坐标为，设切线的方程为，切线的方程为，联立直线的方程与内层椭圆方程得，，因为直线与椭圆相切，所以，整理可得，.同理，联立直线的方程与内层椭圆方程，可推出，所以.因为，所以，则，所以.故答案为：.四、解答题17．已知圆，直线．(1)求圆的圆心坐标和半径；(2)若直线与圆相切，求实数的值．【答案】(1)圆心的坐标为，半径为2．(2)【分析】（1）通过配方将圆的方程化为标准形式，即可得圆心和半径；（2）通过圆心到直线的距离等于半径列出方程解出即可.【详解】（1）圆，圆的标准方程为．圆的圆心的坐标为，半径为2．（2）直线与圆相切，圆心到直线的距离，解得．实数的值为．18．已知为等差数列，前项和为，是首项为3且公比大于0的等比数列，，，.(1)求和的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根据等比数列的通项公式可计算得到公比的值，再根据等差数列的通项公式及其性质和求和公式，即可解出首项和公差的值，即可求得和的通项公式；（2）先根据第（1）题的结论得到数列的通项公式，然后运用错位相减法求出前项和．【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则．则由可得，，解得或（舍去），所以，则，.由可得，由可得，，又，所以.所以，，所以，所以.（2）由（1）知，，，所以.所以，，，两式作差得，，所以，.19．如图，在四棱锥 中， 已知底面， 底面是正方形，.(1)求证： 直线 平面；(2)求直线 与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1） 证明和，利用直线与平面垂直的判定定理可得证.（2）建立空间直角坐标系，利用平面法向量解决线面角的问题.【详解】（1）因为 平面， 且平面，所以 .在正方形 中，.而, 平面，故 平面.（2）以为坐标原点，分别以为轴， 建立如图所示空间直角坐标系.设 ，则，从而.设平面 的法向量为，，令 ， 则.设直线 与平面所成的角为，则，故直线 与平面的所成角的正弦值为.20．已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若，求直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由条件写出关于的方程组，即可求椭圆方程；（2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求参数.【详解】（1）由题意得，，，，，，椭圆的标准方程为．（2）依题意，知，设，．联立消去，可得．，即，，，．，．，，整理，得，解得或（舍去）．直线的方程为．21．如图，分别是矩形上的点，，，把四边形沿折叠，使其与平面垂直，如图所示，连接，得到几何体．(1)当点在棱上移动时，证明：；(2)在棱上是否存在点，使二面角的平面角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，.【分析】（1）利用题设条件及面面垂直的性质定理证得两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得，由此可证得；（2）利用（1）中结论，求出平面与平面的法向量，从而利用空间向量夹角余弦的坐标公式得到关于的方程，解之即可.【详解】（1）由图1易知图2中，有，又因为面面，面面，面，所以面，又面，故，故以为原点，边所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，则不妨设，，则，故，所以，故. .（2）假设存在使二面角的平面角为，其中，因为平面，所以可作为平面的一个法向量，因为，设平面的一条法向量为，则，即，令，则，故，因为二面角的平面角为，所以，即，整理得，解得或（舍去），所以，故在棱上存在点，使二面角的平面角为，且.22．已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1.(1)求双曲线的标准方程.(2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点到直线距离公式求出，再根据渐近线方程及，求出，，得到双曲线方程；（2）设出直线：，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据直线，的斜率之积为，列出方程，得到，得到直线方程，数形结合得到的面积.【详解】（1）由题意知焦点到渐近线的距离为，则，因为一条渐近线方程为，所以，又，解得：，，所以双曲线的标准方程为；（2）设直线：，，，联立，则，所以，， 由，解得或（舍去），                所以，，：，令，得，，所以的面积为.