2022-2023学年天津市耀华中学高二上学期期末数学试题（解析版）

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2022-2023学年天津市耀华中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．抛物线的准线方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据求解即可.【详解】由题意得：，解得：，故的准线方程为：.故选：C2．已知数列满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据递推公式逐步赋值即可求出．【详解】因为，所以．故选：A．3．已知等差数列的前n项和为，，，则（    ）A．55 B．60 C．65 D．75【答案】C【分析】利用等差数列的通项公式列方程，解方程得到，，然后根据等差数列求和公式求和即可.【详解】设等差数列的公差为d，，，，，解得，，则.故选：C.4．直线与圆交于A，B两点，则（    ）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式即得解.【详解】解：因为，所以圆心到直线的距离，故.故选：B5．若成等差数列；成等比数列，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等差数列和等比数列的性质即可求解.【详解】因为成等差数列，所以，又成等比数列，所以，又，所以，所以，故选：A.6．双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（    ）A．5 B．1 C．1或17 D．17【答案】D【分析】由双曲线的定义即可求得.【详解】因为双曲线方程为，所以，由双曲线的定义得，则，又因为，所以，故或，又因为，故舍.故选：D7．已知数列满足，且，则的最小值是（    ）A．-15 B．-14 C．-11 D．-6【答案】A【分析】根据已知条件得出最小项为，利用迭代的思想即可求得.【详解】∵，∴当时，，当时，，∴，显然的最小值是.又，∴，即的最小值是.故选：A8．若双曲线的实轴的两个端点与抛物线的焦点是一个直角三角形的顶点，则该双曲线的离心率为（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】如图所示，抛物线的焦点为，双曲线的实轴端点为由题得，化简即得解.【详解】解：如图所示，抛物线的焦点为，双曲线的实轴端点为由题得，，所以，所以所以故选：B9．等差数列的前项和为，，，则（    ）A． B． C． D．2【答案】B【分析】设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式列出方程组，求出公差，得到，进而利用裂项相消法求和.【详解】设等差数列的公差为，则，解得：，故，故，故.故选：B10．数列的前项和，则数列中的最大项为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据与的关系，可得到.进而求出，通过求解，解出正整数，即可求得数列中的最大为.【详解】当时，.当时，由已知得，，，则.当时，，满足.所以，.设，则.设数列中的第项最大，则应满足，即，整理可得解得，又，所以，，又.所以，数列中的最大项为.故选：C.11．设数列的通项公式为，其前项和为，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由并项求和法求解，【详解】当或，时，，；当，时，，；当，时，，．，．故选：D12．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．3【答案】A【分析】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴长为，焦距为2c，根据椭圆及双曲线的定义及余弦定理可得，然后利用基本不等式即得.【详解】如图，设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：，所以，设，因为，则在中，由余弦定理得：，化简得：，即，从而有，整理得，（当且仅当时等号成立）故选：A.二、填空题13．若双曲线的一个焦点为，两条渐近线互相垂直，则__________.【答案】【分析】根据渐近线相互垂直可得，再根据焦点坐标可求.【详解】双曲线的渐近线方程为：，因为两条渐近线互相垂直，故即，而双曲线的一个焦点坐标为，故，故，故答案为：.14．记为等比数列的前项和.若，则__________.【答案】【分析】利用等比数列求和公式列方程求解即可.【详解】设等比数列公比为，当时，，无解；当时，，得，.故答案为：15．设为公比的等比数列的前n项和，且成等差数列，则________．【答案】10【分析】利用等比数列、等差中项列方程，可解出q，则可由求值.【详解】由题意，，解得（舍）或，∴.故答案为：1016．如图，在正方体中，为的中点，则平面与平面的夹角余弦值为__________.【答案】【分析】以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，由向量法求面面角即可求得余弦值【详解】以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，为的中点，则有，设平面的法向量为，则有，令得，平面的法向量为x轴，不妨取，设平面与平面的夹角为，则有.故平面与平面的夹角余弦值为.故答案为：17．已知抛物线的焦点为，准线为，直线交抛物线于，两点，过点作准线的垂线，垂足为，若等边的面积为，则的面积为______.【答案】【分析】由题知，进而根据得，再根据焦半径公式得，再联立抛物线与直线的方程得，最后根据计算即可.【详解】解：如图，因为为等边三角形，且面积为，所以，，解得，因为，所以，因为由焦半径公式得：，解得，所以，抛物线，直线的方程为：.所以，联立方程得，解得，因为，所以所以故答案为：18．等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最大值与最小值之和为_________.【答案】【解析】求出，讨论n的奇偶利用数列单调性求出的最值即可得出.【详解】依题意得，.当为奇数时，随着的增大而减小，，随着的增大而增大，；当为偶数时，随着的增大而增大，，随着的增大而增大，.因此的最大值与最小值分别为，，其最大值与最小值之和为.故答案为：.【点睛】本题考查求数列的最值问题，解题的关键是讨论n的奇偶根据单调性求出范围.三、解答题19．已知等比数列的公比和等差数列的公差都为，等比数列的首项为2，且成等差数列，等差数列的首项为1.(1)求和的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，.(2)【分析】（1）根据成等差数列可得关于公比的方程，求出公比后可求两个数列的通项公式；（2）利用错位相减法可求.【详解】（1）因为成等差数列，所以，故，整理得到：，而，故.故，.（2），故，所以，所以，所以.20．已知椭圆的右焦点为，离心率．(1)求的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点，若，求的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由题知，，进而得，再根据求解即可得答案；（2）设，进而根据向量关系得，进而得，再解方程即可得答案.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，∵右焦点为，∴，又∵离心率，∴，解得，∴的方程为．（2）解：设．，∴，即．∴，即，解得，设直线的斜率为，则，∴直线的方程为，即或．∴直线的方程为或．21．已知数列，的各项都是正数，是数列的前项和，满足；数列满足，，(1)求数列和的通项公式；(2)记 ，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先根据条件算出 ，再算出 和 ；（2）对于 采用分组求和的方法，推出 的解析式，再根据条件，计算不等式 ，确定 的范围.【详解】（1）依题意，根据，得，又，，得；当时，；当时，适合上式，所以数列的通项公式，所以，，又因为，所以数列为等比数列，所以，解得或（舍去），所以；（2）由题意可知，，；由已知可得 ，设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为，所以，，当为奇数时，，所以，当为偶数时，，所以，由，得，即，当为偶数时，对一切偶数成立，当 时， 为最小值，所以，当为奇数时，对一切奇数成立，当 时 为最大值，所以此时，故对一切恒成立，则．综上，，， 的取值范围是.