2021-2022学年天津市耀华中学高二上学期期末数学试题含解析

2021-2022学年天津市耀华中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．以为焦点的抛物线的标准方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】焦点坐标确定开口方向向上，设抛物线方程为，可知，解出方程即可.

【详解】因为抛物线的焦点坐标是，所以抛物线开口向上，且，

则抛物线的标准方程为．

故选：A.

2．直线被截得的弦长为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出圆心的坐标和半径，再利用圆的弦长公式求解.

【详解】圆的方程可化为，

所以圆心，半径，

圆心到直线的距离，

所以截得的弦长为.

故选：D

3．已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可得，，再由即可求出，得出方程.

【详解】∵双曲线1(a>0，b>0)的焦距为，，，

又双曲线的一条渐近线与直线2x+y+1=0平行，

∴，结合，可解得，

∴双曲线的方程为.

故选：B.

4．若抛物线的焦点与椭圆的下焦点重合，则m的值为（       ）

A．4 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】求出椭圆的下焦点，即抛物线的焦点，即可得解.

【详解】解：椭圆的下焦点为，

即为抛物线的焦点，∴，∴.

故选：D.

5．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】先确定抛物线的焦点坐标，和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果.

【详解】因为抛物线的焦点坐标为，

双曲线的渐近线方程为,

由点到直线的距离公式可得.

故选：B

6．设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先由抛物线方程求出点的坐标，准线方程为，再由可求得点的横坐标为4，从而可求出点的纵坐标，进而可求出的面积

【详解】由题意可得点的坐标，准线方程为，

因为为抛物线上一点，，

所以点的横坐标为4，

当时，，所以，

所以 的面积为，

故选：D

7．已知抛物线，过其焦点F的直线l交抛物线于，两点，若，3，三个数构成等差数列，则线段的长为（       ）

A．9 B．8 C．7 D．6

【答案】B

【解析】先求出抛物线的焦点坐标，再利用抛物线的定义以及等差数列的性质，即可求解.

【详解】由题意，抛物线，可得其焦点坐标为，

根据抛物线的定义，可得，

又由，3，三个数构成等差数列，所以，

所以.

故答案为：.

8．已知数列的通项公式是，则（       ）

A． B． C．3027 D．3028

【答案】A

【分析】根据数列的通项公式，，利用并项求和法即可得出答案.

【详解】解：由，

得

.

故选：A.

9．已知数列的通项公式是，其前项和，则项数（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【分析】利用分组求和的办法，求出数列的前项和，解方程即可.

【详解】由题知，．又，由得．

故选：C

10．等比数列中，，，成公差不为0的等差数列，，则数列的前9项和（       ）

A． B．387 C． D．297

【答案】B

【分析】先设等比数列的公比为，结合条件可知，由等差数列的中项可知，利用等比数列的通项公式进行化简求出，最后利用分组求和法，以及等比数列和等差数列的求和公式，即可求出数列的前9项和.

【详解】解：设等比数列的公比为，

，，成公差不为0的等差数列，则，，都不相等，

，且，

，，

，即，解得：或（舍去），

，所以数列的前9项和：

.

故选：B.

11．设数列满足，则数列的前n项和为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题得（1）， ,（2），两式相减求出即得解.

【详解】由题得（1），

又 （2），

（2）-（1）得适合.

所以，所以数列是以为首项，以的等比数列，

所以.

故选：C

12．已知数列满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可计算作答.

【详解】因，则，

所以，

所以.

故选：D

13．如图，“数塔”的第行第个数为(其中，，且).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列，设的前项和为.若，则（       ）

A．46 B．47 C．48 D．49

【答案】C

【分析】根据“数塔”的规律，可知第行共有个数，利用等比数列求和公式求出第行的数字之和，再求出前行的和，即可判断取到第几行，再根据每行数字个数成等差数列，即可求出；

【详解】解：“数塔”的第行共有个数，其和为，所以前行的和为

故前行所有数学之和为，因此只需要加上第10行的前3个数字1,2,4，其和为，易知“数塔”前行共有个数，所以

故选：C

14．为双曲线上一点，分别为的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则的离心率为（       ）

A． B．2 C．或 D．2或3

【答案】D

【详解】由于为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于，所以，故外接圆半径为.设内切圆半径为，根据三角形的面积公式，有，解得，故两圆半径比为，化简得，解得或.

【点睛】本题主要考查双曲线的基本概念和性质，考查双曲线的通径长，考查直角三角形的外心和内心的求法.首先根据题意画出图象.根据双曲线的定义，可将直角三角形的三条边长求出来.直角三角形的外心在斜边的中点，而内切圆半径可以采用面积公式，利用等面积法来计算.

二、填空题

15．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的实轴长为____．

【答案】

【分析】根据已知条件求得，由此求得实轴长.

【详解】由于，双曲线的渐近线方程为，

所以双曲线的渐近线与轴夹角小于，

由得，实轴长．

故答案为：

16．已知抛物线上一点，则点A到抛物线焦点的距离为______________.

【答案】

【分析】先根据抛物线的方程求出准线方程，进而利用点A的纵坐标求得到点A准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案.

【详解】解：由题意得：

抛物线的准线方程为

点A到准线的距离为

根据抛物线的定义可知点A与抛物线的距离就是点A与抛物线准线的距离

点A与抛物线焦点的距离为

故答案为：

17．已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，且，，成等比数列，，则__________．

【答案】4

【分析】由题意结合等比数列的性质、等差数列通项公式、前n项和公式可得，再由等差数列的通项公式即可得解.

【详解】设等差数列的公差为，由题得,

所以，所以，

所以.

故答案为：4.

【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

18．数列1，，，的前n项和Sn＝________.

【答案】

【分析】利用等差数列求和公式，数列的通项可化简为，裂项相消法即可求前n项和

【详解】由于数列的通项an＝＝＝2，

∴Sn＝2

＝2＝.

故答案为：

19．设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则________.

【答案】

【分析】由等差数列、等比数列的通项公式可得，再由等比数列的前n项和公式即可得结果.

【详解】由题意可得：，，

所以

故答案为：

20．数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数k的取值范围是___________.

【答案】

【分析】先由题设求得，然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意，所有的正整数n都有成立转化为对任意恒成立，再利用基本不等式求得的最小值，即可得到答案.

【详解】由，

当时，，

两式相减可得：，

∴，由，显然成立，

设，

∴当时，，当时，，

因此，，数列单调递增，当时，数列单调递减，

由，，故当或时，数列取最大值，且最大值为，

对任意，所有的正整数n都有成立，可得，

因此，，即对任意恒成立，

由，当且仅当，即时取最小值，则，

∴实数k的取值范围是.

故答案为：.

三、解答题

21．已知等差数列满足，前7项和为

（Ⅰ）求的通项公式

（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.

【答案】(1)

(2) .

【解析】【详解】试题分析：（1）根据等差数列的求和公式可得，得，然后由已知可得公差，进而求出通项；（2）先明确=，为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论.

解析：

（Ⅰ）由，得

因为所以

（Ⅱ）

22．已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线 与椭圆交于不同的两点M，N．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)当的面积为时，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由椭圆的一个顶点为，得到，再由椭圆的离心率为，求得，进而求得椭圆的标准方程；

（2）由椭圆的对称性得到，联立方程组求得，根据的面积为，列出方程，即可求解.

(1)

解：由题意，椭圆的一个顶点为，可得，

又由椭圆的离心率为，可得，所以，则，

所以椭圆的标准方程为.

(2)

解：设，且

根据椭圆的对称性得，

联立方程组，整理得，解得，

因为的面积为，可得，解得.

23．已知为等差数列，为等比数列，，，.

(1)求和的通项公式；

(2)记的前n项和为，求的最小值；

(3)设求数列的前2n项和.

【答案】(1)，

(2)

(3)

【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，然后由已知条件列方程求出，从而可求出和的通项公式；

（2）由（1）可得，然后利用对勾函数的单调性可求得结果，

（3）分别由为奇数和为偶数求和，然后再相加即可

(1)

设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

因为，，，

所以，，

解得，，

所以，

(2)

由（1）可得，

则，

因为函数在上递减，在是递增，又因为，

所以当时，取得最小值，

(3)

当为奇数时，，

当为偶数时，，

对任意的正整数，有

，

所以

，

所以

，

所以数列的前2n项和为