初中数学中考复习 2020年中考数学专题复习：图形中动点的运动培优

这是一份初中数学中考复习 2020年中考数学专题复习：图形中动点的运动培优，共14页。试卷主要包含了 因动点产生的面积问题， 因动点产生的等腰三角形问题， 因动点产生的特殊四边形问题等内容，欢迎下载使用。
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题型一：因动点产生的函数关系问题
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我们初二已经学过了三角形、四边形上动点产生的函数问题，初三已学习了新的图形——圆，出现了一些以圆为背景，因点的运动产生的函数问题，这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系.
典题精练
圆中点的运动产生函数图象问题
⑴ 如图，是的直径，为圆上一点．点从点出发，沿运动到点，然后从点沿运动到点．假如点在整个运动过程中保持匀速，则下面各图中，能反映点与点的距离随时间变化的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
⑵ 如图，点、、、为圆的四等分点，动点从圆心出发，沿线段线段的路线作匀速运动．设运动时间为秒，的度数为度，则下列图象中表示与的函数关系最恰当的是（ ）

A． B． C． D．
⑶ 如图，点是以为圆心，为直径的半圆上的动点，，设弦的长为， 的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ）
O
y
x
O
O
O
x
x
x
y
y
y
⑷ 如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径(点C与点A不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E， G为半圆中点, 当点C在上运动时，设的长为，CF+DE= y，则下列图象中，能表示y与的函数关系的图象大致是（ ）
A B C D
⑴ B．⑵ C．⑶ A．⑷ B．
2. 因动点产生的面积问题
如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角．
（1）BP=2t，则AP=10-2t．
∵PQ∥BC，∴，即，解得t=，
∴当t=s时，PQ∥BC．
（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．
∴PD∥BC，∴，即，解得PD=6-t．
S=×AQ×PD=×2t×(6-t)= -t2+6t=-(t-)2+，
∴当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2．
（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=AC•BC=24，∴此时S△AQP=12．
由（2）可知，S△AQP=-t2+6t，
∴-t2+6t=12，化简得：t2-5t+10=0，
∵△=(-5)2-4×1×10=-15＜0，此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．
（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．
如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，
∴，即，
解得：PD=6-t，AD=8-t，
∴QD=AD-AQ=8-t-2t=8-t．
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，
即（8﹣t）2+（6﹣t）2=（2t）2，
化简得：13t2﹣90t+125=0，
解得：t1=5，t2=，
∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=．
由（2）可知，S△AQP=-t2+6t
∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×（-t2+6t）=2×[-×()2+6×]=cm2．
所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2．
题型二：因动点产生的特殊图形问题
典题精练
1. 因动点产生的等腰三角形问题
如图，四边形为矩形，，动点从点出发以个单位/秒的速度沿向终点运动，动点从点出发以个单位/秒的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，运动结束．过点作交于点，连接．已知动点运动了秒．
⑴ 请直接写出的长；（用含的代数式表示）
⑵ 试求的面积与时间秒的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的最大值；
⑶ 在这个运动过程中，能否为一个等腰三角形．若能，求出所有的对应值；若不能，请说明理由．
⑴ ；
⑵
其中，
∴当时，取得最大值．
⑶ 由⑴可知：．
①若，则，解得，
②若，则过点作于，
易得是矩形，，
又，则，
∴，解得（舍去）
∴，
另解：过点作.
∴，∴
又，∴，解得.
③若，则过点作于，
易得是矩形，，且，
∴，解得．
综上所述，若可以成为等腰三角形，满足条件的的值可以为．
2. 因动点产生的直角三角形问题
如图，已知是线段上的两点，，．以为中心顺时针旋转点，以为中心逆时针旋转点，使、两点重合成一点，构成，设．
⑴求的取值范围；
⑵若为直角三角形，求的值.
⑴ 在中，∵，，．
∴，解得．
⑵ ①若为斜边，则，即，无解．
②若为斜边，则，解得，满足．
③若为斜边，则，解得，满足．
∴或．
3. 因动点产生的特殊四边形问题
如图，在矩形中，，，，，分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，CM=3xcm，．
⑴当为何值时，以，为两边，以矩形的边（或）的一部分为第三边构成一个三角形；
⑵当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形；
⑶以，，，为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求的值；如果不能，请说明理由．
⑴当点与点重合或点与点重合时，
以，为两边，以矩形的边（或）的一部分为第三边可能构成一个三角形．
①当点与点重合时，
由得，（舍去）
因为，
此时点与点不重合．
所以符合题意．
②当点与点重合时，
由得
此时，不符合题意．
故点与点不能重合．
所以所求的值为．
⑵ 由⑴知，点只能在点的左侧，
①当点在点的左侧时，
由，
解得．
当时，四边形是平行四边形．
②当点在点的右侧时，
由，
解得．
当时四边形是平行四边形．
所以当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
⑶ 过点，分别作的垂线，垂足分别为点，．
由于，
所以点一定在点的左侧．
若以，，，为顶点的四边形是等腰梯形，
则点一定在点的右侧，且，
即．
解得．
由于当时， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
所以以，，，为顶点的四边形不能为等腰梯形．
如图，在中，，，．动线段（端点从点开始）沿边以的速度向点运动，当端点到达点时运动停止．过点作交于点（当点与点重合时，与重合），连接，设运动的时间为秒()．
⑴直接写出用含的代数式表示线段、的长；
⑵在这个运动过程中，能否为等腰三角形？若能，请求出的值；若不能，请说明理由；
⑶设、分别是、的中点，求整个运动过程中，所扫过的面积．
【解析】⑴，
．
⑵分三种情况讨论：
①当时，
有，
∴点与点重合，
∴．
②当时，
∴，
解得：．
③当时，
有，
∴．
∴，即，
解得：．
综上所述，当、或秒时，为等腰三角形．
⑶设是的中点，连接，
∵，
∴．
∴，∴．
又，∴，
∴．
∴点沿直线运动，也随之平移．
如图，设从位置运动到位置，则四边形是平行四边形．
∵、分别是、的中点，∴，且．
分别过点、作，垂足为，垂足为，延长交于点，则四边形是矩形，
当时，，；
当时，，．
∴．
∴．
∴整个运动过程中，所扫过的面积为．
复习巩固
题型一 因动点产生的函数关系问题 巩固练习
如图，直线与两坐标轴分别交于、两点，边长为2的正方形沿着轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形与△AOB重叠部分的面积为．则表示与的函数关系的图象大致是（ ）
D.
A
B
C
D
E
F
题型二 因动点产生的特殊图形问题 巩固练习
如图，在矩形中，（是大于的常数），，为线段上的动点（不与、重合）．连结，作，与射线交于点，设，．
⑴求关于的函数关系式；
⑵若，求为何值时，的值最大，最大值是多少？
⑶若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
⑴ 因为与都是的余角，所以．
又因为，所以．
因为，即．
整理，得关于的函数关系为．
⑵ 如图1，当时，．
因此当时，取得最大值为2．
⑶ 若，那么．整理，得．
解得或．
要使为等腰三角形，只存在的情况．
因为，所以，即．
将代入，得（如图2）；
将代入，得（如图3）．
如图，已知中，，，，P、Q分别是边AB、BC上的动点，且点P不与A、B重合，点Q不与B、C重合，当CQ的长取不同的值时，是否可能为直角三角形？若可能，请求出CQ的范围；若不能，说明理由．
为直角三角形，可能有三种情况，但点P不与点A重合，所以么不可能为直角，因此有两种情况：
⑴ 若为直角，如图，则CQ的范围为
⑵ 若为直角，则点P在以CQ为直径的上，而点P在边AB上，就必须与边AB有公共点，即与边AB相切或相交，我们先从与边AB相切入手求出CQ的长：如图，连结OP，则，
得．设，得，
解得，∴
∴若为直角，CQ的范围为．
从相等到不等求范围，要抓住变化中图形的特殊位置，而在直线与圆的位置关系中则以相切作为解题的突破口．
已知：如图，在直角梯形中，，以为原点建立平面直角坐标系，三点的坐标分别为，点为线段的中点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿折线的路线移动，移动的时间为秒．
⑴求直线的解析式；
⑵若动点在线段上移动，当为何值时，四边形的面积是梯形面积的？
⑶动点从点出发，沿折线的路线移动过程中，设的面积为，请直接写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
⑷当动点在线段上移动时，能否在线段上找到一点，使四边形为矩形？请求出此时动点的坐标；若不能，请说明理由．
A
B
D
C
O
x
y
（此图备用）
A
B
D
C
O
P
x
y
⑴ 直线的解析式为．
⑵ 如图1，过点作轴，垂足为．
在中，，，．
所以．
梯形的面积．
解方程，解得．
因此，当时，四边形的面积是梯形的面积的．
⑶ 如图1，① 当在线段上时，，；
② 如图2，当在线段上时，，；
③ 如图3，当在线段上时，，．
⑷ 四边形不可能成为矩形．说理如下：
如图4，当时，作交轴于．
在中，，．
在中，，．
所以，因此四边形不是矩形．
已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接．若设运动的时间为（）
A
Q
C
P
B
图 = 1 \* GB3 ①
A
Q
C
P
B
图 = 2 \* GB3 ②
如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
如图过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，
P ′
B
A
Q
P
C
M
N
若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴，∴，
∴， ∴，
∴，解得：．
∴当时，四边形PQP ′ C 是菱形．
此时， ，
在Rt△PMC中，，
∴菱形PQP ′ C边长为．
课后测
【测试1】如图：等边中，边长，点在线段上，点在射线上，点沿方向从点以每秒1个单位的速度向终点运动，点沿方向从点以每秒2个单位的速度运动，当点停止时点也停止运动，设运动时间为秒，若、、三点围成的图形的面积为来表示，则与的图象是（）
ABC
【解析】B
【测试2】 矩形中，点是线段上一动点，为的中点，的延长线交于．
⑴ 求证：；
⑵ 若厘米，厘米，从点出发，以1厘米/秒的速度向运动（不与重合）．设点运动时间为秒，请用表示的长；并求为何值时，四边形是菱形．
【解析】 ⑴ 证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，又，，
∴
⑵
∵四边形是矩形，∴，
∵，，∴，∴．
当四边形是菱形时，，∴，又，
∴，
∴，即，
解得，即运动时间为秒时，四边形是菱形．
第十七种品格：成就
换个思维想问题，成功马上就来临
有一家效益相当好的大公司，为扩大经营规模，决定高薪招聘营销主管。广告一打出来，报名者云集。
面对众多应聘者，招聘工作的负责人说：“相马不如赛马，为了能选拔出高素质的人才，我们出一道实践性的试题：就是想办法把木梳尽量多的卖给和尚。”绝大多数应聘者感到困惑不解，甚至愤怒：出家人要木梳何用？这不明摆着拿人开涮吗？于是纷纷拂袖而去，最后只剩下三个应聘者：甲、乙和丙。负责人交待：“以10日为限，届时向我汇报销售成果。”
10日到。负责人问甲：“卖出多少把？”答：“1把。”“怎么卖的？”甲讲述了历尽的辛苦，游说和尚应当买把梳子，无甚效果，还惨遭和尚的责骂，好在下山途中遇到一个小和尚一边晒太阳，一边使劲挠头皮。甲灵机一动，递上木梳，小和尚用后满心欢喜，于是买下一把。
负责人问乙：“卖出多少把？”答：“10把。”“怎么卖的？”乙说他去了一座名山古寺，由于山高风大，进香者的头发都被吹乱了，他找到寺院的住持说：“蓬头垢面是对佛的不敬。应在每座庙的香案前放把木梳，供善男信女梳理鬓发。”住持采纳了他的建议。那山有十座庙，于是买下了10把木梳。
负责人问丙：“卖出多少把？”答：“1000把。”负责人惊问：“怎么卖的？”丙说他到一个颇具盛名、香火极旺的深山宝刹，朝圣者、施主络绎不绝。丙对住持说：“凡来进香参观者，多有一颗虔诚之心，宝刹应有所回赠，以做纪念，保佑其平安吉祥，鼓励其多做善事。我有一批木梳，您的书法超群，可刻上‘积善梳’三个字，便可做赠品。”住持大喜，立即买下1000把木梳。得到“积善梳”的施主与香客也很是高兴，一传十、十传百，朝圣者更多，香火更旺。
把木梳卖给和尚，听起来真有些匪夷所思，但不同的思维，却有不同的结果。
今天我学到了