初中数学中考复习 2020中考数学 压轴题专练：动点问题（无答案）

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2020中考数学 压轴题专练：动点问题

例题1. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CE⊥AD于点E，AD＝8cm，BC＝4cm，AB＝5cm．从初始时刻开始，动点P、Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A→B→C→E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B→C→E→D的方向运动，到点D停止，设运动时间为x s，△PAQ的面积为y cm2．（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：
（1）当x＝2s时，y＝_________cm2；当x＝ s时，y＝_________cm2；
（2）当5≤x ≤14时，求y与x之间的函数关系式；
（3）当动点P在线段BC上运动时，求出使y＝ S梯形ABCD的x的值；
（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值．
C
D
A
B
E
备用图
C
D
A
B
E
P
Q


































例题2. 如图，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上OA＝10cm，OC＝6cm．动点P、Q分别从O、A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动；点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1cm/s．
C
y
Q
B
A
O
P
x
（1）设点Q的运动速度为 cm/s，运动时间为t秒．
①当△CPQ的面积最小时，求点Q的坐标；
②当△COP与△PAQ相似时，求点Q的坐标．
（2）设点Q的运动速度为a cm/s，是否存在a的值，
使得△OCP与△PAQ和△CBQ都相似？若存在，求出a的值，
并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．



































例题3. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0＜t＜10）．
（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？
（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？
如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由．







































例题4. 直线y＝x＋4 与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC＝60°，BC与x轴交于点C．
（1）试确定直线BC的解析式；
B
C
O
A
x
y
（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动（不与C、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．


































例题5. 如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上，直线CB的表达式为y＝－ x＋ ，点A，D的坐标分别为（－4，0），（0，4）．动点P自A点出发，在AB上匀速运行，动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ的动点除外）．
（1）求出点B，C的坐标；
（2）求S随t变化的函数关系式（注明t的取值范围）；
（3）当t为何值时S有最大值？并求出最大值．
B
C
O
A
x
y
D
（备用图2）
B
C
O
A
x
y
D
（备用图1）
B
C
O
A
x
y
D
P
Q






































例题6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）．
A
D
B
C
E
F
G
（1）当t＝1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．




































例题7. 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒 厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4 厘米．
①求动点Q的运动速度；
②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；
（3）探求BP 2、PQ 2、CQ 2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由．
A
B
M
C
P
Q
图1
N
A
B
M
C
图2（备用图）
N






































A
O
x
y
B
P
C
D
例题8. 在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．
（1）当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；
（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在
y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，
并说明理由．






































例题9. 在平面直角坐标系中，Rt△AOB的直角顶点O在坐标原点，直角边OA、OB分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，且OA＝4，OB＝3．动点P、Q分别从O、A同时出发，其中点P以每秒1个单位长度的速度沿OA方向向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（秒）．
（1）求△APQ的面积S与t之间的函数关系式；
（2）如图1，在某一时刻将△APQ沿PQ翻折，使点A恰好落在AB边的点C处，求此时△APQ的面积；
（3）在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在点D，使四边形PQBD为等腰梯形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，在P、Q两点运动过程中，线段PQ的垂直平分线EF交PQ于点E，交折线QB－BO－OP于点F．问：是否存在某一时刻t，使EF恰好经过原点O，若存在，求相应的t值；若不存在，请说明理由．
y
O
x
Q
A
P
B
图2
F
E
y
O
x
A
B
备用图
y
O
x
Q
A
P
B
C
图1








y
O
x
A
B
备用图
y
O
x
A
B
备用图
y
O
x
A
B
备用图



























例题10. 已知：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，动点P从点A出发，以每秒 个单位的速度沿AB方向向终点B运动；同时，动点Q也从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AC方向向终点C运动．连接PC、BQ相交于点D．设两点运动的时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）记△PQD的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（2）当t为何值时，PC⊥BQ？
（3）把△PQB沿直线PQ折叠成△PQB′，设B′Q与AB交于点E．是否存在t的值，使△BEQ是直角三角形，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

C
A
B
D
P
Q
C
A
B
备用图









































例题11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝2cm，BC＝4cm，点P、Q分别从A、C两点出发，点P沿射线AB、点Q沿BC的延长线均以1cm/s的速度作匀速运动．
A
D
C
B
E
Q
P
（1）求∠B的度数；
（2）若P、Q同时出发，当AP的长为何值时，△PCQ的面积
是梯形ABCD面积的一半？
（3）设PQ交直线CD于点E，作PF⊥CD于F，若Q点比P点
先出发2秒，请问EF的长是否改变？证明你的结论．







































A
B
D
C
F
E
图1
例题12. 如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，点E从点B出发，以某一速度沿折线BA－AD－DC向点C匀速运动；点F从点C出发，以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点E、F同时出发同时停止．设运动时间为t秒时，△BEF的面积为y，已知y与t的函数关系如图2所示．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）点E运动到A、D两点时，y的值分别是_______和_______；
（2）求BC和CD的长；
（3）求点E的运动速度；
（4）当t为何值时，△BEF与梯形ABCD的面积之比为1 : 3？
M
O
t(秒)
4
2.5
y
N
P
图2
4
7






































例题13. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6cm，AB＝8cm，BC＝14cm．动点P、Q都从点C出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
D
C
A
B
P
Q
（1）求CD的长；
（2）若点P以1cm/s速度运动，点Q以2 cm/s的速度运动，
连接BQ、PQ，设△BQP面积为S（cm2），点P、Q运动的时间为t（s），
求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）若点P的速度仍是1cm/s，点Q的速度为a cm/s，要使
在运动过程中出现PQ∥DC，请你直接写出a的取值范围．




































例题14. 如图，四边形OABC为正方形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8，8），点P在边OC上，点M在边AB上．把四边形OAMP沿PM对折，PM为折痕，使点O落在BC边上的点Q处．动点E从点O出发，沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t，同时动点F从点O出发，沿OC边以相同的速度向终点C运动，当点E到达点A时，E、F同时停止运动．
O
A
B
x
C
y
M
N
D
Q
P
E
F
（1）若点Q为线段BC边中点，直接写出点P、点M的坐标；
（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，
求S与t的函数关系式；
（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上是否存在点H，
使△PMH为等腰三角形，若存在，求点H的坐标，
若不存在，请说明理由；
（4）若点Q为线段BC上任一点（不与点B、C重合），
△BNQ的周长是否发生变化，若不变，求出其值；
若变化，请说明理由．

































例题15. 如图（1），在平面直角坐标系中，O是坐标原点，Rt△AOB的直角顶点A在第一象限，斜边OB在x轴正半轴上，∠AOB＝60°，OB＝2 ，∠AOB的平分线OC交AB于C．动点P从点B出发沿折线BC－CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO－Oy以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
（1）求OC、BC的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
A
y
C
O
x
B
图（1）
P
Q
A
y
C
O
x
B
图（2）
P
Q
M
（3）当P在OC上、Q在y轴上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M．当t为何值时，△OPM为等腰三角形？





































B
y
C
O
x
A
E
例题16. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（4 ，0），点B在第一象限，∠OAB的平分线AC与y轴交于点E．
（1）动点P、Q同时从点C出发，其中点P以cm/s的速度沿
折线C→O→A向终点A运动；点Q以1cm/s的速度沿射线
CA方向运动，当点P达到点A时，P、Q两点停止运动．
设运动时间为t秒．求△PQC的面积S与t的函数关系式；
（2）点M为直线AC上一个动点，把△AOM绕点A顺时针旋转，
使边AO与边AB重合，得到△ABD．问：是否存在点M，
使△OMD的面积等于3 ？若存在，求出点M的坐标；
若不存在，请说明理由．





































例题17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，动点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BC以相同的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．设动点的运动时间为t（秒），△PBQ的面积为S．
A
B
PM
Q
C
（1）求S关于t的函数关系式；
（2）当△PBQ为等腰三角形时，求t的值；
（3）若动点R从点C同时出发，沿CA以每秒1个单位的速度
向点A运动，当点R到达终点时，P、Q两点随之停止运动．
问：是否存在某一时刻t（t＝0除外），使得△PBQ为直角
三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．





































例题18. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，点P从点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，点Q从点C出发沿CA边以2cm/s的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E．P、Q两点同时出发，当点Q运动到点A时，P、Q两点停止运动，设运动时间为t（s）．
Q
D
E
C
A
B
P
（1）当t＝________秒时，DE经过点C；
（2）当点Q运动时，设四边形ABPQ的面积为S（cm2），
求S关于t的函数关系式；
（3）当点Q运动时，是否存在以P、Q、C为顶点的三角形与△PDE
相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．





































例题19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为（6，0），将△ABC沿AC翻折，使点B落到点B′ 处，B′ C交x轴于点D，且CD＝2DB′ ．动点P从点C出发，沿CO以每秒1个单位的速度向点O运动；动点Q从点O出发，沿OA、AB以每秒3个单位的速度向点B运动，连接PQ．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
O
x
y
A
B
C
P
Q
D
B′
（1）求点B′ 的坐标；
（2）若以P、Q、D、C为顶点的凸四边形的面积为S，
求S与t之间的函数关系式；
（3）当t ＞ 时，设PQ与B′ C相交于点M，问：是否存在
这样的t值，使得△PCM为等腰三角形？若存在，请求出
t的值；若不存在，请说明理由．



































例题20. 如图所示，菱形ABCD的边长为6cm，∠DAB＝60°，点E是边AD上一点，且DE＝2cm，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向点B运动，PE、CD的延长线相交于点F，FQ交AD于点G．设运动时间为t（s），△CFQ的面积为S（cm2）．
C
P
A
B
Q
E
D
F
G
（1）求S与t之间的函数关系式；
（2）是否存在某一时刻，使得线段FQ将菱形ABCD
分成上、下两部分的面积之比为1 : 5？若存在，
求出此时t的值；若不存在，请说明理由．