天津市南开区2022-2023学年中考数学突破提升破仿真模拟卷（3月4月）含解析

这是一份天津市南开区2022-2023学年中考数学突破提升破仿真模拟卷（3月4月）含解析，共62页。试卷主要包含了选一选，填 空 题等内容，欢迎下载使用。

天津市南开区2022-2023学年中考数学突破提升破仿真模拟卷
（3月）
一、选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1. -2的倒数是（ ）
A. -2 B. C. D. 2
2. 随着经济发展，人民的生活水平没有断提高，旅游业增长，2016年国民出境旅游超过120 000 000人次，将120 000 000用科学记数法表示为
A. B. C. D.
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A B. C. D.
4. 含30°角的直角三角板与直线l1、l2的位置关系如图所示，已知l1∥l2，∠ACD=∠A，则∠1=（ ）

A. 70° B. 60° C. 40° D. 30°
5. 下列说确的是（　　）
A. 打开电视，它正在播广告是必然
B. 要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样
C. 在抽样过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确
D. 甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2=2，S乙2=4，说明乙的射击成绩比甲稳定
6. 若（b≠0），则=（　　）
A. 0 B. C. 0或 D. 1或 2
7. 下图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，米，米，且、与水平地面都是垂直的.根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的点离地面的距离是（ ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8. 已知x+＝3，则下列三个等式：①x2+＝7，②x﹣，③2x2﹣6x＝﹣2中，正确的个数有（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
9. 已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（　　）
A. B. C. 或 D. 或
10. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边、分别落在、轴上，点坐标为，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，连结，将沿翻折至处，点恰好落在正比例函数图象上，则的值是

A. B. C. D.
二、填 空 题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 计算：=____________.
12. 二元方程组的解是____.
13. 如图，直线垂直相交于点，曲线关于点成对称，点的对称点是点，于点，于点.若,，则阴影部分的面积之和为____.

14. 点、、在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点到线段所在直线的距离是_____.

15. 庄子说：“一尺之棰，日取其半，万世没有竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：．

图2也是一种无限分割：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，过点C作CC1⊥AB于点C1，再过点C1作C1C2⊥BC于点C2，又过点C2作C2C3⊥AB于点C3，如此无限继续下去，则可将利△ABC分割成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△Cn﹣2Cn﹣1Cn、…．假设AC=2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是_____．
16. 对于函数，我们定义（为常数）.
例如，则.
已知.
（1）若方程有两个相等实数根，则的值为___________；
（2）若方程有两个正数根，则取值范围为__________.
三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.
17 计算.
18. 求没有等式组 的所有整数解.
19. 如图， 延长□边到点，使，延长到点，使，分别连结点、和点、求证.

四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．
20. 化简: .
21. 为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示.请根据图表信息解答下列问题：
（1）表中： ， ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在 组；
（4）个小组每组人,然后从人中随机抽取人参加颁奖典礼，恰好抽中、两组学生的概率是多少？并列表或画树状图说明.

22. 如图，在水平地面上有一幢房屋与一棵树，在地面观测点处测得屋顶与树梢的仰角分别是与，，在屋顶处测得.若房屋的高米.求树高的长度.

五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.
23. 某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本没有断降低，具体数据如下表：
年 度
2013
2014
2015
2016
投入技改资金（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本（万元/件）
7.2
6
4.5
4
（1）请你认真分析表中数据，从函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；
（2）按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元.
①预计生产成本每件比2016年降低多少万元？
②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？（结果到0.01万元）.
24. 如图，以AB边为直径的⊙O点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．

六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.
25. 在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
26. 如图，抛物线:与:相交于点、，与分别交轴于点、，且为线段的中点.
（1）求的值；
（2）若,求的面积；
（3）抛物线的对称轴为，顶点为，在（2）的条件下：
①点为抛物线对称轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标；
②如图12.2，点在抛物线上点与点之间运动，四边形的面积是否存在值？若存在，求出面积的值和点的坐标；若没有存在，请说明理由.




























天津市南开区2022-2023学年中考数学突破提升破仿真模拟卷
（3月）
一、选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1. -2的倒数是（ ）
A. -2 B. C. D. 2
【正确答案】B

【分析】根据倒数的定义求解．
【详解】解：-2的倒数是-，
故选：B．
本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握．

2. 随着经济发展，人民的生活水平没有断提高，旅游业增长，2016年国民出境旅游超过120 000 000人次，将120 000 000用科学记数法表示为
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】试题解析：用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此可得：120 000 000=1.2×108．
故选D．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
4. 含30°角的直角三角板与直线l1、l2的位置关系如图所示，已知l1∥l2，∠ACD=∠A，则∠1=（ ）

A. 70° B. 60° C. 40° D. 30°
【正确答案】B

【分析】先根据三角形外角性质得到∠CDB的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠1的度数．
【详解】∵∠ACD=∠A=30°，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=60°，
∵l1∥l2，
∴∠1=∠CDB=60°，
故选：B．
5. 下列说确的是（　　）
A. 打开电视，它正在播广告是必然
B. 要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样
C. 在抽样过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确
D. 甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2=2，S乙2=4，说明乙的射击成绩比甲稳定
【正确答案】C

【详解】A．打开电视，它正在播广告是随机，A错误；
B．要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用全面，B错误；
C．在抽样过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确，C正确；
D．甲、乙两人射中环数的方差分别为，说明甲的射击成绩比乙稳定，D错误；
故选C．
考点：随机；全面与抽样；总体、个体、样本、样本容量；方差．
6. 若（b≠0），则=（　　）
A. 0 B. C. 0或 D. 1或 2
【正确答案】C

【详解】解：∵ ，
∴a(a-b)=0，
∴a=0，b=a．
当a=0时，原式=0；
当b=a时，原式=
故选C
7. 下图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，米，米，且、与水平地面都是垂直的.根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的点离地面的距离是（ ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【正确答案】B

【详解】解：连接OF，交AC于点E，
∵BD是⊙O的切线，∴OF⊥BD，
∵四边形ABDC是矩形，∴AD∥BD，∴OE⊥AC，EF=AB，
设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE=AC=BD=0.75米，OE=R﹣AB=R﹣0.25，
∵AE2+OE2=OA2，∴0.752+（R﹣0.25）2=R2，
解得R=1.25．1.25×2=2.5（米）．
故这扇圆弧形门的点离地面的距离是2.5米．
故选B．

本题考查垂径定理的应用．
8. 已知x+＝3，则下列三个等式：①x2+＝7，②x﹣，③2x2﹣6x＝﹣2中，正确的个数有（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【正确答案】C

【详解】∵，∴，整理得：，故①正确；
=±，故②错误；
方程两边同时除以2x得：，整理得：，故③正确，
故选C．
本题主要考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
9. 已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（　　）
A. B. C. 或 D. 或
【正确答案】D

【详解】试题解析：=，①若m＜﹣1，当x=﹣1时，y=1+2m=﹣2，解得：m=；
②若m＞2，当x=2时，y=4﹣4m=﹣2，解得：m=＜2（舍）；
③若﹣1≤m≤2，当x=m时，y=﹣=﹣2，解得：m=或m=﹣＜﹣1（舍），∴m的值为或，故选D．
10. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边、分别落在、轴上，点坐标为，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，连结，将沿翻折至处，点恰好落在正比例函数图象上，则的值是

A B. C. D.
【正确答案】B

【分析】根据矩形的性质得到，CB∥x轴，AB∥y轴，于是得到D、E坐标，根据勾股定理得到ED，连接BB′，交ED于F，过B′作B′G⊥BC于G，根据轴对称的性质得到BF=B′F，BB′⊥ED求得BB′，设EG=x，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵矩形OABC，
∴CB∥x轴，AB∥y轴，
∵点B坐标为（6，4），
∴D的横坐标为6，E的纵坐标为4，
∵D，E在反比例函数y=的图象上，
∴D（6，1），E（，4），
∴BE=6-=，BD=4-1=3，
∴ED=，
连接BB′，交ED于F，过B′作B′G⊥BC于G，
∵B，B′关于ED对称，
∴BF=B′F，BB′⊥ED，
∴BF•ED=BE•BD，
即BF=3×，
∴BF=，
∴BB′=，
设EG=x，则BG=-x，
∵BB′2-BG2=B′G2=EB′2-GE2，
∴（）2-（-x）2=（）2-x2，
∴x=，
∴EG=，
∴CG=，
∴B′G=，
∴B′（，-），
∴k=-．
故选B．
点睛：本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
二、填 空 题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 计算：=____________.
【正确答案】

【详解】解：
故答案为.
12. 二元方程组的解是____.
【正确答案】

【详解】解：原方程可化为：，
化简为：，
解得：．
故答案：．
本题考查二元方程的解法，解题的关键是将原方程化为方程组并准确计算．
13. 如图，直线垂直相交于点，曲线关于点成对称，点的对称点是点，于点，于点.若,，则阴影部分的面积之和为____.

【正确答案】；

【分析】根据对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
【详解】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=3，OD=2，
∴AB=2，
∴阴影部分的面积之和为3×2=6．
故答案为6．
在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做对称图形．
14. 点、、在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点到线段所在直线的距离是_____.

【正确答案】；

【详解】试题分析：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，∵S△ABC=3×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×3×3﹣1=9﹣1﹣1﹣﹣1=，AB==，∴×h=，∴h=．故答案为．

考点：勾股定理．
15. 庄子说：“一尺之棰，日取其半，万世没有竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：．

图2也是一种无限分割：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，过点C作CC1⊥AB于点C1，再过点C1作C1C2⊥BC于点C2，又过点C2作C2C3⊥AB于点C3，如此无限继续下去，则可将利△ABC分割成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△Cn﹣2Cn﹣1Cn、…．假设AC=2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是_____．
【正确答案】．

【详解】解：如图2，∵AC=2，∠B=30°，CC1⊥AB，
∴Rt△ACC1中，∠ACC1=30°，且BC=，
∴AC1=AC=1，CC1=AC1=，
∴S△ACC1=•AC1CC1=×1×；
∵C1C2⊥BC，∴∠CC1C2=∠ACC1=30°，∴CC2=CC1=，C1C2=，CC2=，
∴ =•CC2C1C2=×××，
同理可得， =×， =×，…
∴×，
又∵S△ABC=AC×BC=×2×，
∴×××+…+×+…，
∴．
故．

16. 对于函数，我们定义（为常数）.
例如，则.
已知.
（1）若方程有两个相等实数根，则的值为___________；
（2）若方程有两个正数根，则取值范围为__________.
【正确答案】 ①. （1）； ②. （2）且.

【详解】解：根据题意得y′=，（1）∵方程有两个相等实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=0，解得：m=，故答案为；
（2），即=，化简得：，∵方程有两个正数根，∴，解得：m≤且m≠．
故答案为m≤且m≠．
三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.
17. 计算.
【正确答案】.

【详解】试题分析：首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
试题解析：原式=.
点睛：此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18. 求没有等式组 的所有整数解.
【正确答案】没有等式组的整数解为.

【详解】试题分析：先求出没有等式组的解集，再求出没有等式组的整数解即可．
试题解析：
解没有等式①得：x＞1，
解没有等式②得：x≤4，
所以没有等式组的解集为1＜x≤4，
故没有等式组的整数解为2，3，4．
19. 如图， 延长□的边到点，使，延长到点，使，分别连结点、和点、求证.

【正确答案】证明见解析.

【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵DF=DC，BE=BA，
∴BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．
20. 化简: .
【正确答案】

【详解】试题分析：根据分式的减法和除法可以解答本题．
试题解析：原式===
==．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．
21. 为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示.请根据图表信息解答下列问题：
（1）在表中： ， ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在 组；
（4）个小组每组人,然后从人中随机抽取人参加颁奖典礼，恰好抽中、两组学生的概率是多少？并列表或画树状图说明.

【正确答案】见解析.

【详解】试题分析：（1）先根据A组频数及其频率求得总人数，再根据频率=频数÷总人数可得m、n的值；
（2）根据（1）中所求结果即可补全频数分布直方图；
（3）根据中位数的定义即可求解；
（4）画树状图列出所有等可能结果，再找到抽中A、C的结果，根据概率公式求解可得．
试题解析：（1）∵本次的总人数为30÷0.1=300（人），∴m=300×0.4=120，n=90÷300=0.3，故答案为120，0.3；
（2）补全频数分布直方图如下：

（3）由于共有300个数据，则其中位数为第150、151个数据的平均数，而第150、151个数据的平均数均落在C组，∴据此推断他的成绩在C组，故答案为C；
（4）画树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能结果，其中抽中A﹑C两组同学的有2种结果，∴抽中A﹑C两组同学的概率为P==．
考点：列表法与树状图法；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数．
22. 如图，在水平地面上有一幢房屋与一棵树，在地面观测点处测得屋顶与树梢的仰角分别是与，，在屋顶处测得.若房屋的高米.求树高的长度.

【正确答案】树的高为米.

【详解】试题分析：首先解直角三角形求得表示出AC，AD的长，进而利用直角三角函数，求出答案．
试题解析：如图3，在中，，，
∴ ；
在中，，
∴ ；
在中，，

答：树的高为米.
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.
23. 某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本没有断降低，具体数据如下表：
年 度
2013
2014
2015
2016
投入技改资金（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本（万元/件）
72
6
4.5
4
（1）请你认真分析表中数据，从函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；
（2）按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元.
①预计生产成本每件比2016年降低多少万元？
②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？（结果到0.01万元）.
【正确答案】（1）；（2）①比年降低万元.②还需要投入技改资金约万元.

【分析】（1）从题很容易看出x与y的乘积为定值，应为反比例关系，由此即可解决问题；
（2）①直接把x=5万元代入函数解析式即可求解；
②直接把y=3.2万元代入函数解析式即可求解.
【详解】(1)设,(为常数,)
∴，解这个方程组得，
∴.
当时,.
∴函数没有能表示其变化规律.
设,(为常数,)，∴，
∴，∴.
当时，；当时，；当时，；
∴所求函数为反比例函数
（2）①当时，； （万元）
∴比年降低万元.
②当时，； （万元）
∴还需要投入技改资金约万元.
答：要把每件产品的成本降低到万元，还需投入技改资金约万元.
24. 如图，以AB边为直径的⊙O点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．

【正确答案】（1）PD是⊙O的切线．证明见解析.（2）8.

【详解】试题分析：（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；
（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE•CP的值．
试题解析：（1）如图，PD是⊙O的切线．
证明如下：
连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．
（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP•CE=CA2=（）2=8．

考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型．
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.
25. 在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
【正确答案】（1）AC=AD+AB；（2）成立；（3）AD+AB=AC．

【详解】试题分析：（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD=AC，AB=AC即可解决问题；
（2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；
（3）结论：AD+AB=AC．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；
试题解析：（1）AC=AD+AB．
理由如下：如图1中，在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠B=90°，∴AB=AC，同理AD=AC，∴AC=AD+AB．
（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，如图2，∵∠BAC=60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC=AE=CE，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=120°，∴∠DCB=60°，∴∠DCA=∠BCE，∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠CBE，∵CA=CB，∴△DAC≌△BEC，∴AD=BE，∴AC=AD+AB．
（3）结论：AD+AB=AC．理由如下：
过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，如图3，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，∴DCB=90°，∵∠ACE=90°，∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°，∴AC=CE．
又∵∠D+∠B=180°，∠D=∠CBE，∴△CDA≌△CBE，∴AD=BE，∴AD+AB=AE．
在Rt△ACE中，∠CAB=45°，∴AE= =AC，∴AD+AB=AC．

考点：四边形综合题；探究型；和差倍分；变式探究；压轴题．
26. 如图，抛物线:与:相交于点、，与分别交轴于点、，且为线段的中点.
（1）求的值；
（2）若,求的面积；
（3）抛物线的对称轴为，顶点为，在（2）的条件下：
①点为抛物线对称轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标；
②如图12.2，点在抛物线上点与点之间运动，四边形的面积是否存在值？若存在，求出面积的值和点的坐标；若没有存在，请说明理由.

【正确答案】（1）；（2）；（3）①P；②存在，

【分析】（1）由两抛物线解析式可分别用a和b表示出A、B两点的坐标，利用B为OA的中点可得到a和b之间的关系式；
（2）由抛物线解析式可先求得C点坐标，过C作CD⊥x轴于点D，可证得△OCD∽△CAD，由相似三角形的性质可得到关于a的方程，可求得OA和CD的长，可求得△OAC的面积；
（3）①连接OC与l交点即为满足条件的点P，可求得OC的解析式，则可求得P点坐标；
②设出E点坐标，则可表示出△EOB的面积，过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，可先求得BC的解析式，则可表示出EN的长，进一步可表示出△EBC的面积，则可表示出四边形OBCE的面积，利用二次函数的性质可求得其值，及E点的坐标．
【详解】解：
（1）在y=x2+ax中，
当y=0时，x2+ax=0，x1=0，x2=﹣a，
∴B（﹣a，0），
在y=﹣x2+bx中，
当y=0时，﹣x2+bx=0，x1=0，x2=b，
∴A（0，b），
∵B为OA的中点，
∴b=﹣2a，
∴；
（2）联立两抛物线解析式可得：，
消去y整理可得，
解得，，
当时，，
∴C，
过C作CD⊥x轴于点D，如图1，
∴D（，0），
∵∠OCA=90°，
∴△OCD∽△CAD，
∴，
∴CD2=AD•OD，即，
∴a1=0（舍去），（舍去），，
∴OA=-2a=，CD==1，
∴；
（3）①抛物线，
∴其对称轴，点A关于l2的对称点为O（0，0），C（ ，1），
则P为直线OC与l2的交点，
设OC的解析式为y=kx，
∴1=k，得k=，
∴OC的解析式为，
当时，，
∴P；
②设E（m，）（），则，
而B（，0），C（ ，1），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
由，解得：k= ，b=-2，
∴直线BC的解析式为，
过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，如图2，
则，即x=
∴EN=
∴
∴S四边形OBCE=S△OBE+S△EBC
，
，
∴当时，，
当时，，
∴E，．

本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识．在（1）中分别表示出A、B的坐标是解题的关键，在（2）中求得C点坐标，利用相似三角形的性质求得a的值是解题的关键，在（3）①中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）②中用E点坐标分别表示出△OBE和△EBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．





























天津市南开区2022-2023学年中考数学突破提升破仿真模拟卷
（4月）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. －5倒数是
A. B. 5 C. － D. －5
2. 数据99500用科学记数法表示为（　　）
A. 0.995×105 B. 9.95×105 C. 9.95×104 D. 9.5×104
3. 下列运算正确的是（　　）
A. ﹣a•a3=a3 B. ﹣（a2）2=a4 C. x﹣x= D. （﹣2）（+2）=﹣1
4. 数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、15、8，则第5组的频率是（　　）
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
5. 如图，现将一块含有角的直角三角板的一个顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数为（ ）

A B. C. D.
6. 点A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）都在反比例函数y=（k＞0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（　　）
A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1=y2 D. 无法确定
7. 上体育课时，小明5次投掷实心球的成绩如下表所示，则这组数据的众数与中位数分别是（　　）

1
2
3
4
5
成绩（m）
8.2
8.0
8.2
7.5
7.8


A. 8.2，8.2 B. 8.0，8.2 C. 8.2，7.8 D. 8.2，8.0
8. 如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于( )

A. m B. m
C. m D. m
9. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（　　）

A. B. C. D.
10. 如图5，在反比例函数图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在象限内有一点C，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
11. 分解因式：a2-4a+4=___
12. 一组数据1，2，a，4，5的平均数是3，则这组数据的方差为_____．
13. 若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为_____．
14. 有一个正六面体，六个面上分别写有1～6这6个整数，投掷这个正六面体，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率是____．
15. 如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝2∶3∶4，若EG＝4，则AC＝________.

16. 如果关于x的一元二次方程有两个没有相等的实数根，那么的取值范围是__________.
17. 如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为_______．

18. 如图，已知正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的长为____．

三、解 答 题：（共76分）
19. 计算：
（1）2-2+﹣sin30°；
（2）（1+）÷．
20. （1）解方程：x2﹣6x+4=0；
（2）解没有等式组.
21. 如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足点E．
（1）求证：DE=AB；
（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=1，试求的长．

22. 在一个没有透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣2、l、2，它们除了数字没有同外，其它都完全相同．
（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字l的小球的概率为　 　．
（2）小红先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为k的值，再把此球放回袋中搅匀，由小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为b的值，请用树状图或表格列出k、b的所有可能的值，并求出直线y=kx+b没有第四象限的概率．
23. 如图，已知△ABC中，AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F.

（1）求证：;
（2）若AB=2，,当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
24. 某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系．
（1）当参加旅游的人数没有超过10人时，人均收费为　 　元；
（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少．

25. 如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置P的铅直高度PB．（测倾器高度忽略没有计，结果保留根号形式）

26. 如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（﹣2，0），B（0，1）．
（1）求点C的坐标；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在象限内B、C两点的对应点B'、C'正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B'C'的解析式．
（3）若把上一问中的反比例函数记为y1，点B′，C′所在的直线记为y2，请直接写出在象限内当y1＜y2时x的取值范围．

27. 如图，已知AB是⊙O的直径，且AB=4，点C在半径OA上（点C与点O、点A没有重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D．连接OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E，交CD的延长线于点F．
（1）若点E是的中点，求∠F的度数；
（2）求证：BE=2OC；
（3）设AC=x，则当x为何值时BE•EF的值？值是多少？

28. 如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a(a＜0)的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E．
(1)抛物线对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____；
(2)若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，如图②Q(m，0)是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若没有存在，请说明理由．

天津市南开区2022-2023学年中考数学突破提升破仿真模拟卷
（4月）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. －5的倒数是
A. B. 5 C. － D. －5
【正确答案】C

【分析】若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【详解】解：-5的倒数是．
故选C．
2. 数据99500用科学记数法表示为（　　）
A. 0.995×105 B. 9.95×105 C. 9.95×104 D. 9.5×104
【正确答案】C

【详解】分析：
按照科学记数法的定义：“把一个数表示为的形式，其中，n为整数的记数方法叫做科学记数法”进行解答即可.
详解：
.
故选C.
点睛：本题考查的是用科学记数法表示值大于1的数的方法，解题的关键有两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定）.
3. 下列运算正确的是（　　）
A. ﹣a•a3=a3 B. ﹣（a2）2=a4 C. x﹣x= D. （﹣2）（+2）=﹣1
【正确答案】D

【详解】分析：
分别根据“同底数幂的乘法法则”、“幂的乘方的运算法则”、“合并同类项的法则”及“二次根式的乘法法则”进行判断即可.
详解：
A选项中，因为，所以A中运算错误；
B选项中，因为，所以B中运算错误；
C选项中，因为，所以C中运算错误；
D选项中，因，所以D中运算正确.
故选D.
点睛：本题考查的是“同底数幂的乘法”、“幂的乘方”、“合并同类项”和“二次根式的乘法”及“平方差公式的应用”，解题的关键是熟记相关的运算法则并能正确用于计算.
4. 数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、15、8，则第5组的频率是（　　）
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
【正确答案】A

【详解】解：∵总人数为50，第1～4组的频数分别为12、10、15、8，
∴第5组的频数为：50-12-10-15-8=5，
∴第5组的频率=5÷50=0.1.
故选A.
5. 如图，现将一块含有角的直角三角板的一个顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】先根据“两直线平行，同位角相等”的性质得到∠3=∠2，再根据平角的定义列方程即可得解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠3=∠2，
∵∠1=2∠2，
∴∠1=2∠3，
∴3∠3+60°=180°，
∴∠3=40°，
∴∠1=2×40°=80°，
故选：D．
.
本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题的关键．
6. 点A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）都在反比例函数y=（k＞0）图象上，则y1、y2的大小关系为（　　）
A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1=y2 D. 无法确定
【正确答案】B

【详解】分析：
由反比例函数中，k>0可知，该函数的图象分布在、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，点A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）的横坐标分别为-2、-3即可判断出y1、y2的大小关系.
详解：
∵在反比例函数中，k>0，
∴该函数图象分布在、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵在点A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）中，0>-2>-3，
∴y1＜y2.
点睛：本题是一道考查反比例函数的性质的题目，熟记反比例函数图象所分布的象限和在每个象限内的增减性与k的取值的正、负的关系是解题的关键.
7. 上体育课时，小明5次投掷实心球的成绩如下表所示，则这组数据的众数与中位数分别是（　　）

1
2
3
4
5
成绩（m）
8.2
8.0
8.2
7.5
7.8


A. 8.2，8.2 B. 8.0，8.2 C. 8.2，7.8 D. 8.2，8.0
【正确答案】D

【详解】解：按从小到大的顺序排列小明5次投球的成绩：7.5，7.8，8.0，8.2，8.2．
其中8.2出现2次，出现次数至多，8.0排在第三，
∴这组数据的众数与中位数分别是：8.2，8.0．
故选D．
本题考查众数；中位数．
8. 如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于( )

A. m B. m
C. m D. m
【正确答案】A

【详解】设MN=xm，
在Rt△BMN中,∵∠MBN=45∘，
∴BN=MN=x，
Rt△AMN中,tan∠MAN= ，
∴tan30∘= =3√3，
解得：x=8( +1)，
则建筑物MN的高度等于8( +1)m；
故选A.
点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相求边的长.
9. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】分析：
如下图，过点A作AD⊥l3于点D，过点C作CE⊥l3于点E，则由题意可得AD=3，CE=5，再证△ABD≌△BCE即可得到BD=CE=5，从而在Rt△ADB中由勾股定理可得AB=，这样△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC即可得到AC=.
详解：
如下图，过点A作AD⊥l3于点D，过点C作CE⊥l3于点E，
∴∠ADB=∠ABC=∠CEB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠BAD=∠CBE，
又∵AB=BC，
∴△ABD≌△BCE，
∴BD=CE，
∵由题意可得：CE=5，AD=2，
∴BD=5，
∴在Rt△ABD中由勾股定理可得AB=，
∵△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，
∴AC=.
故选B.
点睛：本题是一道综合考查三角形全等和勾股定理的应用的题目，作出如图所示的辅助线，构造出一对全等三角形△ABD和△BCE是正确解答本题的关键.

10. 如图5，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在象限内有一点C，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】连接OC，过点A作AE⊥y轴与点E，过点B作BF⊥x轴与点F，通过角的计算找出∠AOE＝∠COF，∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，可得出△AOE∽△COF，再根据相似三角形的性质得出，再由，可得出 ，由此即可得出结论．
【详解】连接OC，过点A作AE⊥y轴与点E，过点B作BF⊥x轴与点F，如下图所示：

由直线AB与反比例函数的对称性可知点A和点B关于点O对称，





又




又

∵点C在象限，
∴k＝8，
故答案为D．
本题主要考查三角函数和相似三角形的性质，利用数形的思想将函数图像与几何图形相是求解本题的关键．
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
11. 分解因式：a2-4a+4=___
【正确答案】（a-2）2．

【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．
【详解】解：a2-4a+4=（a-2）2．
故（a-2）2．
12. 一组数据1，2，a，4，5的平均数是3，则这组数据的方差为_____．
【正确答案】2

【详解】由平均数的公式得：（51+2+x+4+5）÷5=3，
解得x=3；
∴方差=[（1-3）2+（2-3）2+（4-3）2+（3-3）2+（5-3）2]÷5=2；
故答案是：2．
13. 若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为_____．
【正确答案】6

【详解】设多边形的边数是，
根据题意得，，
解得．
故6．
14. 有一个正六面体，六个面上分别写有1～6这6个整数，投掷这个正六面体，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率是____．
【正确答案】

【详解】∵投掷这个正六面体，向上的一面有6种情况，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的有2、3、4、6共4种情况，
∴其概率是=．
此题考查概率的求法：如果一个有n种可能，而且这些的可能性相同，其中A出现m种结果，那么A的概率P（A）=．
15. 如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝2∶3∶4，若EG＝4，则AC＝________.

【正确答案】12

【详解】设 ，
根据平行线分线段成比例定理可得：



故
16. 如果关于x的一元二次方程有两个没有相等的实数根，那么的取值范围是__________.
【正确答案】k＞－且k≠0

【详解】由题意知，k≠0，方程有两个没有相等的实数根，
所以△＞0，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞0．
又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，
∴k＞-1/4 且k≠0．
17. 如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为_______．

【正确答案】20 cm．

【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.
【详解】解:如答图，将杯子侧面展开，作A关于EF对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离．
根据勾股定理，得（cm）．

故20cm.
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
18. 如图，已知正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的长为____．

【正确答案】

【分析】由旋转可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出；则可得到，正方形的边长为3，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长．
【详解】解：逆时针旋转得到，
，
、、三点共线，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，
，且，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：，
．
故．
此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形思想与方程思想的应用．
三、解 答 题：（共76分）
19. 计算：
（1）2-2+﹣sin30°；
（2）（1+）÷．
【正确答案】(1)2;(2) x+1

【详解】分析：
（1）根据本题特点，代入30°角的正弦函数值，再负指数幂的意义和二次根式的性质进行计算即可；
（2）这是一道分式的混合计算题，按照分式的相关运算法则计算即可.
详解：
（1）原式=；
（2）原式=.
点睛：（1）第1小题的解题要点是熟记：sin30°=和理解负指数幂的意义：（其中为正整数）；（2）第2小题的解题要点是：把1化为表达，这样分式的加法法则和除法法则即可正确解答本题了.
20. （1）解方程：x2﹣6x+4=0；
（2）解没有等式组.
【正确答案】（1）3±；（2）﹣1≤x＜3

【分析】（1）找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；
（2）分别求出没有等式组中两没有等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出没有等式组的解集．
【详解】（1）△=36﹣16=20
∴x==3±
（2）
由①得：x＜3
由②得：x≥﹣1
∴﹣1≤x＜3
此题考查了解一元二次方程和一元没有等式组，掌握相关知识是解题关键．
21. 如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．
（1）求证：DE=AB；
（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=1，试求的长．

【正确答案】（1）详见解析；（2）.

【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°,AB=CD,BC=AD，AD∥BC,
∴∠EAD=∠AFB，
∵DE⊥AF，
∴∠AED=90°，
在△ADE和△FAB中，
∴△ADE≌△FAB(AAS)，
∴AE=BF=1
∵BF=FC=1
∴BC=AD=2
故在Rt△ADE中，∠ADE=30°,DE=,
∴的长==.

22. 在一个没有透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣2、l、2，它们除了数字没有同外，其它都完全相同．
（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字l的小球的概率为　 　．
（2）小红先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为k的值，再把此球放回袋中搅匀，由小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为b的值，请用树状图或表格列出k、b的所有可能的值，并求出直线y=kx+b没有第四象限的概率．
【正确答案】（1）；（2）直线y=kx+b没有第四象限的概率为．

【详解】试题分析：（1）一共有3个球，摸到每个球的机会都一样，摸到标有数字1的小球只有一种可能，因此P（摸出的球为标有数字l的小球）=；
（2画出表格，从表格可知一共有9种可能，其中有4种满足条件，从而求得概率.
试题解析：（1） ；
（2）列表如下：

-2
1
2
-2
-2，-2
-2，1
-2，2
1
1，-2
1，1
1，2
2
2，-2
2，1
2，2
P（直线没有第四象限）=
23. 如图，已知△ABC中，AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F.

（1）求证：;
（2）若AB=2，,当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
【正确答案】（1）证明过程见解析；（2）BF=2-2

【分析】（1）根据△ABC≌△ADE得出AE=AD，∠BAC=∠DAE，从而得出∠CAE=∠DAB，根据SAS判定定理得出三角形全等；
（2）根据菱形的性质得出∠DBA=∠BAC=45°，根据AB=AD得出△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形，从而得出BD=2，根据菱形的性质得出AD=DF=FC=AC=AB=2，根据BF=BD-DF求出答案.
【详解】解析：（1）∵△ABC≌△ADE且AB=AC
∴AE=AD，AB=AC
∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE
∴∠CAE=∠DAB
∴△AEC≌△ADB
（3）∵四边形ADFC是菱形且∠BAC=45°
∴∠DBA=∠BAC=45°
由（1）得AB=AD
∴∠DBA=∠BDA=45°
∴△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形
∴BD=2
又∵四边形ADFC是菱形
∴AD=DF=FC=AC=AB=2
∴BF=BD-DF=2-2
考点：（1）三角形全等的性质与判定；（2）菱形的性质
24. 某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系．
（1）当参加旅游的人数没有超过10人时，人均收费为　 　元；
（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少．

【正确答案】（1）240；（2）20．

【分析】（1）观察图象即可解决问题；
（2）首先判断收费标准在BC段，求出直线BC的解析式，列出方程即可解决问题．
【详解】解：（1）观察图象可知：当参加旅游的人数没有超过10人时，人均收费为240元，
故240．
（2）∵3600÷240=15，3600÷150=24，
∴收费标准在BC段，
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有 ，
解得 ，
∴y=﹣6x+300，
由题意（﹣6x+300）x=3600，
解得x=20或30（舍弃），
答：参加这次旅游的人数是20人．
25. 如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置P的铅直高度PB．（测倾器高度忽略没有计，结果保留根号形式）

【正确答案】OC＝100米；PB＝米．

【分析】在图中共有三个直角三角形，即Rt△AOC、Rt△PCF、Rt△PAB，利用60°的三角函数值以及坡度，求出OC，再分别表示出CF和PF，然后根据两者之间的关系，列方程求解即可．
【详解】解：过点P作PF⊥OC，垂足为F．
在Rt△OAC中，由∠OAC＝60°，OA＝100，得OC＝OA•tan∠OAC＝100（米），
由坡度＝1：2，设PB＝x，则AB＝2x．
∴PF＝OB＝100+2x，CF＝100﹣x．
在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，
∴PF＝CF，即100+2x＝100﹣x，
∴x＝，即PB＝米．

本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并图形利用三角函数解直角三角形．
26. 如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（﹣2，0），B（0，1）．
（1）求点C的坐标；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在象限内B、C两点的对应点B'、C'正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B'C'的解析式．
（3）若把上一问中的反比例函数记为y1，点B′，C′所在的直线记为y2，请直接写出在象限内当y1＜y2时x的取值范围．

【正确答案】（1）C（﹣3，2）；（2）y1=， y2=﹣x+3； （3）3＜x＜6．

【详解】分析：
（1）过点C作CN⊥x轴于点N，由已知条件证Rt△CAN≌Rt△AOB即可得到AN=BO=1，CN=AO=2，NO=NA+AO=3点C在第二象限即可得到点C的坐标；
（2）设△ABC向右平移了c个单位，则（1）可得点C′，B′的坐标分别为（﹣3+c，2）、（c，1），再设反比例函数的解析式为y1=，将点C′，B′的坐标代入所设解析式即可求得c的值，由此即可得到点C′，B′的坐标，这样用待定系数法即可求得两个函数的解析式了；
（3）（2）中所得点C′，B′的坐标和图象即可得到本题所求答案.
详解：
（1）作CN⊥x轴于点N，
∴∠CAN=∠CAB=∠AOB=90°，
∴∠CAN+∠CAN=90°，∠CAN+∠OAB=90°，
∴∠CAN=∠OAB，
∵A（﹣2，0）B（0，1），
∴OB=1，AO=2，
在Rt△CAN和Rt△AOB，
∵ ，
∴Rt△CAN≌Rt△AOB（AAS），
∴AN=BO=1，CN=AO=2，NO=NA+AO=3，
又∵点C在第二象限，
∴C（﹣3，2）；
（2）设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位，则C′（﹣3+c，2），则B′（c，1），
设这个反比例函数的解析式为：y1=，
又点C′和B′在该比例函数图象上，把点C′和B′的坐标分别代入y1=，得﹣6+2c=c，
解得c=6，即反比例函数解析式为y1=，
此时C′（3，2），B′（6，1），设直线B′C′的解析式y2=mx+n，
∵ ，
∴ ，
∴直线C′B′的解析式为y2=﹣x+3；
（3）由图象可知反比例函数y1和此时的直线B′C′的交点为C′（3，2），B′（6，1），
∴若y1＜y2时，则3＜x＜6．

点睛：本题是一道综合考查“全等三角形”、“函数”、“反比例函数”和“平移的性质”的综合题，解题的关键是：（1）通过作如图所示的辅助线，构造出全等三角形Rt△CAN和Rt△AOB；（2）利用平移的性质点B、C的坐标表达出点C′和B′的坐标，由点C′和B′都在反比例函数的图象上列出方程，解方程可得点C′和B′的坐标，从而使问题得到解决.
27. 如图，已知AB是⊙O的直径，且AB=4，点C在半径OA上（点C与点O、点A没有重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D．连接OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E，交CD的延长线于点F．
（1）若点E是的中点，求∠F的度数；
（2）求证：BE=2OC；
（3）设AC=x，则当x为何值时BE•EF的值？值是多少？

【正确答案】（1）∠F=30°；（2）见解析；（3）当x= 时，值=9．

【详解】分析：
（1）如图，连接OE，由OD∥OE可得∠DOE=∠OEB，由点E是的中点可得∠DOE=∠BOE，由OB=OE可得∠OBE=∠OEB，由此可得∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，CF⊥AB即可得到∠F=30°；
（2）过点O作OM⊥BE于点M，由此可得BE=2BM，再证△OBM≌△DOC可得BM=OC，这样即可得到结论BE=2OC；
（3）由OD∥BF可得△COD∽△CBF，由此可得，由AB=4，AC=x（2）中结论可得OD=OB=BE=2，BC=4-x，OC=2-x，BE=2OC=4-2x，由此即可解得BF=，从而可得EF=BF-BE=，这样即可把BE•EF用含x的代数式表达出来，化简配方即可求得所求答案了.
详解：
（1）如图1，连接OE．
∵，
∴∠BOE=∠EOD，
∵OD∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；
（2）如图1，过O作OM⊥BE于M，
∵OB=OE，
∴BE=2BM，
∵OD∥BF，
∴∠COD=∠B，
在△OBM与△DOC中 ，
∴△OBM≌△DOC，
∴BM=OC，
∴BE=2OC；
（3）∵OD∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴，
∵AC=x，AB=4，
∴OA=OB=OD=2，
∴OC=2﹣x，BE=2OC=4﹣2x，
∴，
∴BF=，
∴EF=BF﹣BE=，
∴BE•EF=，
∴当时，值=9．

点睛：（1）解第1小题的要点是连接OE，由OD∥BF，点E为是的中点及OB=OE证得∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°；（2）解第2小题的要点是作OM⊥BE于点M，构造出全等三角形△OBM和△DOC得到BM=OC，这样垂径定理BE=2BM即可得到结论BE=2OC；（3）解第3小题的要点是OC、BC、BE都用含x的式子表达出来，这样利用△COD∽△CBF即可把BF用含x的式子表达出来，由此即可把BE•EF用含x的式子表达出来，再整理配方即可得到所求结果了.
28. 如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a(a＜0)的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E．
(1)抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____；
(2)若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，如图②Q(m，0)是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若没有存在，请说明理由．

【正确答案】(1)E(，0)，A(﹣1，0)；(2)y=；(3)存在，点Q坐标为(，0)或( ，0)

【分析】（1）根据对称轴公式可以求出点E坐标，设y＝0，解方程即可求出点A坐标．
（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，由tan∠OBC＝，列出方程即可解决．
（3）分两种情形①当N在直线BC上方，②当N在直线BC下方，分别列出方程即可解决．
【详解】解：(1)∵对称轴x=，
∴点E坐标(，0)，
令y=0，则有ax2﹣3ax﹣4a=0，
∴x=﹣1或4，
∴点A坐标(﹣1，0)．
故答案分别为(，0)，(﹣1，0)．
(2)如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，

∵DE=OE=，EB=，OC=﹣4a，
∴DB=，
∵tan∠OBC=，
∴，解得a=，
∴抛物线解析式为y=．
(3)如图②中，由题意∠M′CN=∠NCB，

∵MN∥OM′，
∴∠M′CN=∠CNM，
∴MN=CM，
∵点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，3)，
∴ 直线BC解析式为y=﹣x+3，BC=5，
∴M(m，﹣m+3)，N(m，﹣m2+m+3)，作MF⊥OC于F，
∵sin∠BCO=，
∴，
∴CM=m，
①当N在直线BC上方时，﹣m2+m+3﹣(﹣m+3)=m，
解得：m=或0(舍弃)，
∴Q1(，0)．
②当N在直线BC下方时，(﹣m+3)﹣(﹣m2+m+3)=m，
解得m=或0(舍弃)，
∴Q2(，0)，
综上所述：点Q坐标为(，0)或( ，0)．
本题考查二次函数综合题、圆、翻折变换、三角函数、函数等知识，解题的关键是通过三角函数建立方程，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．