2022-2023学年山东省济宁市中考数学专项提升仿真模拟卷（二模三模）含解析

这是一份2022-2023学年山东省济宁市中考数学专项提升仿真模拟卷（二模三模）含解析，共51页。试卷主要包含了选一选，四象限D. 第三，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省济宁市中考数学专项提升仿真模拟卷
（二模）
一、选一选:
1. 下列各组数中，互为相反数的是 ( )
A |+2|与|-2| B. -|+2|与+(-2) C. -(-2)与+(+2) D. |-(-3) |与-|-3|
2. 某报亭老板以每份0.5元的价格从报社购进某种报纸500份，以每份0.8元的价格x份(x<500)，未完的报纸又以每份0.1元的价格由报社收同，这次买卖中该老板赚钱( )
A. (0. 7x-200)元 B. (0. 8x-200)元 C. (0. 7x-180)元 D. (0. 8x-250)元
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
4. 据统计，2013年上海市全社会用于环境保护的资金约为60 800 000 000元，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. 608×108 B. 60.8×109 C. 6.08×1010 D. 6.08×1011
5. 甲、乙两名同学某学期的四次数学测试成绩（单位：分）如下表：

据上表计算，甲、乙两名同学四次数学测试成绩的方差分别为，，下列说确的是（ ）
A. 甲同学四次数学测试成绩的平均数是89分
B. 甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分
C. 乙同学四次数学测试成绩的众数是80分
D. 乙同学四次数学测试成绩较稳定
6. 计算结果是（　　）
A. B. C. D.
7. 如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（ ）

A B. C. D.
8. 若反比例函数的图象点（m，3m），其中m≠0，则此反比例函数图象（ ）
A. 、三象限 B. 、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限
9. 若，则a的取值范围是（　　）
A B. C. D.
10. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（ ）

A. 52° B. 38° C. 42° D. 60°
11. 小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线上，测得，则的度数是( )

A. 45° B. 55° C. 65° D. 75°
12. 若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于对称图形的概率是(　 　)
A. B. C. D.
13. 从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（　　）
A. B.
C. D.
14. 如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，若菱形ABCD的面积为4，则菱形ABCD的周长是(　　 )

A. 8 B. 16 C. 8 D. 16
二、填 空 题:
15. 因式分解：_______________________．
16. 若关于x的方程无解，则m=_____．
17. 如图，的直径为，弦长为，点在上运动，则的最小值是____．

18. 在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．且规定，正方形的内部没有包含边界上的点．观察如图所示的在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…，则边长为8的正方形内部的整点的个数为____________.

三、解 答 题:
19.
20. 解没有等式组 ，并把解表示在数轴上.

21. 某校为学生开展拓展性课程，拟在一块长比宽多6 m的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区，如图（1），要求两个大棚之间有间隔4 m的路，设计如图（2），已知每个大棚的周长为44 m．
(1)求每个大棚的长和宽各是多少？
(2)现有两种大棚造价，一是每平方米60元，超过100平方米优惠500元，二是每平方米70元，超过100平方米优惠总价的20%，试问选择哪种更优惠？

22. 某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．


根据以上信息解决下列问题：
（）在统计表中，__________，__________，并补全条形统计图．
（）扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数是__________．
（）若该校共有名学生，如果听写正确的个数少于个定为没有合格，请你估计这所学校本次比赛听写没有合格的学生人数．
23. 如图，贵阳市某中学数学小组在学习了“利用三角函数测高”后．选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度．他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶的仰角为30°．且D离地面的高度DE=5m．坡底EA=10m，然后在A处测得建筑物顶B的仰角是50°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果保留整数）

24. 在数学兴趣小组中，小明进行数学探究，将边长为的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线l上，AB与AG在同一直线上．
（1）图1中，小明发现DG=BE，请你帮他说明理由．
（2）小明将正方形ABCD按如图2那样绕点A旋转一周，旋转到当点C恰好落在直线l上时，请你直接写出此时BE的长．

25. 在平面直角坐标系中，O为原点，A为x轴正半轴上的动点，点A（t，0）作垂直于x轴的直线l，在直线l上取点B，点B在象限，AB=4，直线OB：y1=kx（k为常数）．
（1）当t=2时，求k的值；
（2）O，A两点作抛物线y2=ax（x﹣t）（a为常数，a＞0），直线OB与抛物线的另一个交点为C．
①用含a，t的式子表示点C的横坐标；
②当t≤x≤t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而减小；当x≥t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式并直接写出t的取值范围．




















2022-2023学年山东省济宁市中考数学专项提升仿真模拟卷
（二模）
一、选一选:
1. 下列各组数中，互为相反数的是 ( )
A. |+2|与|-2| B. -|+2|与+(-2) C. -(-2)与+(+2) D. |-(-3) |与-|-3|
【正确答案】D

【分析】利用值的性质以及相反数的定义分别分析即可．
【详解】解：A、|+2|=2，|-2|=2，故这两个数相等，故此选项错误；
B、-|+2|=-2，+（-2）=-2，故这两个数相等，故此选项错误；
C、-（-2）=2与+（+2）=2，这两个数相等，故此选项错误；
D、|-（-3）|=3，-|-3|=-3，3+（-3）=0，这两个数互为相反数，故此选项正确．
故选D．
此题主要考查了相反数与值的定义，正确把握相关定义是解题关键．
2. 某报亭老板以每份0.5元的价格从报社购进某种报纸500份，以每份0.8元的价格x份(x<500)，未完的报纸又以每份0.1元的价格由报社收同，这次买卖中该老板赚钱( )
A. (0. 7x-200)元 B. (0. 8x-200)元 C. (0. 7x-180)元 D. (0. 8x-250)元
【正确答案】A

【分析】利润=总售价-总成本+回收总价，把相关数值代入即可．
【详解】解：∵总售价为0.8x元，总成本为0.5×500=250元，回收总价为0.1×（500-x），
∴赚钱0.8x-250+0.1×（500-x）=（0.7x-200）元．
故选A．
考查列代数式；得到盈利的关系式是解决本题的关键．
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解：=
故应选B.
此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4. 据统计，2013年上海市全社会用于环境保护的资金约为60 800 000 000元，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. 608×108 B. 60.8×109 C. 6.08×1010 D. 6.08×1011
【正确答案】C

详解】解：60 800 000 000=6.08×1010，
故选C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．

5. 甲、乙两名同学某学期的四次数学测试成绩（单位：分）如下表：

据上表计算，甲、乙两名同学四次数学测试成绩的方差分别为，，下列说确的是（ ）
A. 甲同学四次数学测试成绩的平均数是89分
B. 甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分
C. 乙同学四次数学测试成绩的众数是80分
D. 乙同学四次数学测试成绩较稳定
【正确答案】B

【详解】试题分析：甲同学四次数学测试成绩的平均数是（87+95+85+93）÷4=90，A错误；
甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分，B正确；
乙同学四次数学测试成绩的众数是80分和90分，C错误；
∵，∴甲同学四次数学测试成绩较稳定，D错误，故选B．
考点：1．方差；2．算术平均数；3．中位数；4．众数．
6. 计算的结果是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】原式
故选A.
7. 如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】试题分析：观察几何体，可知该几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是，故答案选D．
考点：简单几何体的三视图．
8. 若反比例函数的图象点（m，3m），其中m≠0，则此反比例函数图象（ ）
A. 、三象限 B. 、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限
【正确答案】A

【详解】根据点在曲线图上点的坐标满足方程的关系，把（m，3m）代入，得，即，
∵ m≠0，
∴k=3m2＞0．
∴反比例函数图象过、三象限．
故选A．
9. 若，则a的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】根据题意可知直接解答即可．
【详解】解：∵，
即
解得；
故选：B．
考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
10. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（ ）

A. 52° B. 38° C. 42° D. 60°
【正确答案】A

【详解】试题分析：如图：∵∠3=∠2=38°°（两直线平行同位角相等），∴∠1=90°﹣∠3=52°，故选A．

考点：平行线的性质．
11. 小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线上，测得，则的度数是( )

A. 45° B. 55° C. 65° D. 75°
【正确答案】D

【详解】∵
∴∠ABn=
∴∠ABC=60°．
又∵∠ACB=，∠A=45°，
∴根据三角形内角和定理，得=180°－60°－45°=75°．故选D．

12. 若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于对称图形的概率是(　 　)
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】这五种图形中，平行四边形、菱形和正六边形对称图形，
所以这五种图形中随机抽取一种图形，
则抽到的图形属于对称图形的概率=．
故选C
13. 从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】B

【分析】根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．
【详解】∵直径所对圆周角等于直角，∴从直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．
故选B．
本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形思想的应用．

14. 如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，若菱形ABCD的面积为4，则菱形ABCD的周长是(　　 )

A. 8 B. 16 C. 8 D. 16
【正确答案】A

【详解】分析：
详解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
又∵CD=AC，
∴AD=CD=AC，
即△ADC是等边三角形，
∴
∴
∵菱形ABCD的面积
∴
∴菱形ABCD的周长为
故选A.
点睛：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，也考查了等边三角形的判定，菱形的性质等.
二、填 空 题:
15. 因式分解：_______________________．
【正确答案】

【分析】先提公因式，再用平方差公式分解．
【详解】解：
本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键．

16. 若关于x的方程无解，则m=_____．
【正确答案】－8

【详解】解：∵关于x的方程无解，
∴x=5，
解分式方程，
去分母得：，
将x=5代入得：m=－8.
17. 如图，的直径为，弦长为，点在上运动，则的最小值是____．

【正确答案】3

【分析】根据“点到直线的最短距离是垂线段的长度”知当OP⊥AB时，OP的值最小．连接OA，在直角三角形OAP中由勾股定理即可求得OP的长度．
【详解】解：当OP⊥AB时，OP的值最小，
则AP′=BP′=AB=4，
如图所示，连接OA，
在Rt△OAP′中，AP′=4，OA=5，
则根据勾股定理知OP′=3，即OP的最小值为3．

本题考查了勾股定理、垂径定理．掌握垂线段最短是解题的关键．
18. 在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．且规定，正方形的内部没有包含边界上的点．观察如图所示的在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…，则边长为8的正方形内部的整点的个数为____________.

【正确答案】49

【分析】
【详解】解：边长为1正方形内部的整点的个数为：1个，
边长为2的正方形内部的整点的个数为：1个，
边长为3的正方形内部的整点的个数为：9个，
边长为4的正方形内部的整点的个数为：9个，

根据规律，可得边长为8的正方形内部的整点的个数为，
故
三、解 答 题:
19.
【正确答案】-4

【详解】分析：根据有理数的混合运算的顺序进行运算即可.
详解：原式



点睛：考查有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算的顺序是解题的关键.
20. 解没有等式组 ，并把解表示在数轴上.

【正确答案】x≥

【详解】试题分析:分别解没有等式,找出解集的公共部分即可.
试题解析：
由①得：
由②得：
∴原没有等式的解集为:
把没有等式的解集在数轴上表示为:

21. 某校为学生开展拓展性课程，拟在一块长比宽多6 m的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区，如图（1），要求两个大棚之间有间隔4 m的路，设计如图（2），已知每个大棚的周长为44 m．
(1)求每个大棚的长和宽各是多少？
(2)现有两种大棚造价的，一是每平方米60元，超过100平方米优惠500元，二是每平方米70元，超过100平方米优惠总价的20%，试问选择哪种更优惠？

【正确答案】（1）大棚的宽为14米，长为8米；（2）选择二．

【分析】（1）设大棚的宽为a米，长为b米，分别利用大棚的周长为44米，长比宽多6米，分别得出等式求出答案；
（2）分别求出两种的造价进而得出答案．
【详解】解：(1)设大棚的宽为a米，长为b米，根据题意可得：
，解得：，
答：大棚的宽为14米，长为8米；
(2)大棚的面积为：2×14×8=224(平方米)，
若按照一计算，大棚的造价为：224×60−500=12940(元)，
若按照二计算，大棚的造价为：224×70(1−20%)=12544(元)
显然：12544<12940，所以选择二．
本题考查二元方程组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．
22. 某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．


根据以上信息解决下列问题：
（）在统计表中，__________，__________，并补全条形统计图．
（）扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数是__________．
（）若该校共有名学生，如果听写正确的个数少于个定为没有合格，请你估计这所学校本次比赛听写没有合格的学生人数．
【正确答案】（），
（）
（）这所学校本次比赛听写没有合格的学生人数为450人.

【详解】试题分析：（1）根据B组有15人，所占的百分比是15%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解；（2）利用360度乘以对应的比例即可求解；（3）利用总人数900乘以对应的比例即可求解．
试题解析：（）组共人，所占比例为，
∴总人数为，
组所占比例为，
∴，
组占，
∴．
（）组人，所占比例为，
∴圆心角的度数为．
（）少于个定为没有合格，
∴个人中共有人，
所占比例为，
∴人中，没有合格人数约为人．
23. 如图，贵阳市某中学数学小组在学习了“利用三角函数测高”后．选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度．他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶的仰角为30°．且D离地面的高度DE=5m．坡底EA=10m，然后在A处测得建筑物顶B的仰角是50°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果保留整数）

【正确答案】21m

【详解】试题分析：过点D作DH⊥BC于点M，得出四边形DECH是矩形，所以DH=EC，DE=HC，设BC的长度为xm，则BH=（x－5）m，由∠BDH=30°可以求出∠DBH=60°，进而表示出DH=（x－5），然后表示出AC=（x－5）－10，由BC= tan50°·AC列出方程，解出x即可.
试题解析：

过点D作DH⊥BC于点M，
则四边形DHCE是矩形，DH=EC，DE=HC，
设BC的高度为xm，则BH=（x－5）m，
∵∠BDH=30°，
∴∠DBH=60°，
∴DH=BH·tan60°=（x－5），
∴AC=EC－EA=（x－5）－10，
∵∠BAC=50°，
∴BC= tan50°·AC，
∴x=tan50°·[（x－5）]，
解得：x≈21，
答：建筑物BC的高约为21m．
点睛：本题关键利用待定系数法，锐角三角函数找出等量关系列出方程，解方程即可.
24. 在数学兴趣小组中，小明进行数学探究，将边长为的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线l上，AB与AG在同一直线上．
（1）图1中，小明发现DG=BE，请你帮他说明理由．
（2）小明将正方形ABCD按如图2那样绕点A旋转一周，旋转到当点C恰好落在直线l上时，请你直接写出此时BE的长．

【正确答案】（1）见解析；（2）BE的长为或．

【详解】分析：（1）根据正方形的性质得出AD=AB,AG=AE,再利用SAS证明△DAG≌△BAE， 根据全等三角形对应边相等即可得出DG=BE；
（2）分两种情况：①C在EA的延长线上时，连结BD交AC于O，求出OB、OE，然后在Rt△BOE中，利用勾股定理可求出BE的长；②C在AE上时，证明C与E重合，那么
详解：(1)如图1，∵四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，
∴AD=AB,AG=AE,
在△DAG与△BAE中，

∴△DAG≌△BAE，
∴DG=BE；
(2)将正方形ABCD按如图2那样绕点A旋转一周，旋转到当点C恰好落在直线l上时，分两种情况：
①如果C在EA的延长线上时，
如备用图1，连结BD交AC于O，
∵正方形ABCD边长为，
∴
∴OB=OA=12BD=1.
∵正方形AEFG边长为2，
∴OE=OA+AE=1+2=3.
在Rt△BOE中,∵
∴
②如果C在AE上时，
如备用图2，连结BD交AC于O，
∵正方形ABCD边长为，
∴
∵正方形AEFG边长为2，
∴AE=2，
∴C与E重合，
∴
故所求BE的长为或.

点睛：属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形思想的应用．
25. 在平面直角坐标系中，O为原点，A为x轴正半轴上的动点，点A（t，0）作垂直于x轴的直线l，在直线l上取点B，点B在象限，AB=4，直线OB：y1=kx（k为常数）．
（1）当t=2时，求k的值；
（2）O，A两点作抛物线y2=ax（x﹣t）（a为常数，a＞0），直线OB与抛物线的另一个交点为C．
①用含a，t的式子表示点C的横坐标；
②当t≤x≤t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而减小；当x≥t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式并直接写出t的取值范围．
【正确答案】（1）k=2；（2）当t≤x≤t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而减小；当x≥t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而增大时，a与t的关系式a=（t≥4）．

【详解】分析：（1）找出当t=2时，B点的坐标，将其代入直线OB:y1=kx中即可；
（2）①用t表示出直线OB的关系式，令y1=y2,即可用含a，t的式子表示点C的横坐标；
②找出的关系式，发现为一个开口向下的抛物线，给定条件能够得知，抛物线的对称轴没有超过，且抛物线与x轴的另一个交点为(t+4,0).由此可得出a与t的关系式并能知道t的取值范围．
详解：(1)当t=2时,点A的坐标为(2,0)，
∵点A(t,0)作垂直于x轴的直线l，在直线l上取点B，点B在象限，AB=4，
∴点B的坐标为(2,4).
∵点B在直线OB:y1=kx(k为常数)上，
∴有4=2k，解得：k=2.
(2)①点B(t,4)在直线OB:y1=kx上，
∴有4=kt,解得：
∴
令y1=y2,即
解得：x=0或者
故点C的横坐标
②
∵a>0，
∴−a<0，函数图象开口向下，函数图象大体如下图：

∵当时,的值随x的增大而减小;当时, 的值随x的增大而增大，
∴二次函数的对称轴在x=t的左侧或者重合,而且二次函数与x轴的另一个交点为(t+4,0).
∵
∴有
解得：
二次函数对称轴 即
∵at=1，
∴
故当时,的值随x的增大而减小;当时, 的值随x的增大而增大时,a与t的关系式().
点睛：属于二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，本题属于中档题，但过程比较繁琐，因此在解决该题时一定要细心．
























2022-2023学年山东省济宁市中考数学专项提升仿真模拟卷
（三模）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 已知，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为α，那么这时飞机与目标A的距离为（　　）
A. B. 5sinα C. D. 5cosα
4. 已知非零向量、、，在下列条件中，没有能判定//的是（　　）
A. //，// B. ， C. D.
5. 在△ABC中，边BC=6，高AD=4，正方形EFGH的顶点E、F在边BC上，顶点H、G分别在边AB和AC上，那么这个正方形的边长等于（　　）

A. 3 B. 2.5 C. 2.4 D. 2
6. 如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，点F在AC上，AF：FC=1：2，联结BF，交DE于点G，那么DG：GE等于（　　）


A. 1：2 B. 1：3 C. 2：3 D. 2：5．
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7. 已知线段a=4，b=1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c=_____．
8. （在比例尺是1：15000000的地图上，测得甲乙两地的距离是2厘米，那么甲乙两地的实际距离是_____千米．
9. 如果抛物线y=（a+2）x2+x﹣1的开口向下，那么a的取值范围是_____．
10. 已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是______．
11. 线段AB＝10，点P是AB黄金分割点，且AP＞BP，则AP＝_____（用根式表示）．
12. 已知等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，G是△ABC的重心，那么AG=_____．
13. 已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=_____.

14. 已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5，12），那么OP与x轴正半轴所夹角的余弦值为_____．

15. 已知抛物线y=f（x）开口向下，对称轴是直线x=1，那么f（2）_____f（4）．（填“＞”或“＜”）
16. 把抛物线y=x2向下平移，如果平移后的抛物线点A（2，3），那么平移后的抛物线的表达式是_____．
17. 我们定义：关于x的函数y=ax2+bx与y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=_____．
18. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，将△ABC翻折，使得点A落在BC中点A'处，折痕分别交边AB、AC于点D、点E，那么AD：AE的值为_____．

三、解 答 题：（本大题共7题，满分80分）
19. 如图在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象点A（3，0）、点B（0，3），顶点为M．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求∠OBM的正切值．

20. 如图，已知△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的点，且EF∥AB， =2．
（1）设，．试用、表示；
（2）如果△ABC面积是9，求四边形ADEF的面积．

21. 如图，已知△ABC中，AB=AC=，BC=4．线段AB的垂直平分线DF分别交边AB、AC、BC所在的直线于点D、E、F．
（1）求线段BF的长；
（2）求AE：EC的值．

22. 某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：≈1.7，≈1.4）．

23. 已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，BD2=AD•BC．
（1）求证：AD∥BC；
（2）过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：CD2=BE•BC．

24. 如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x+bx+c的对称轴为直线x=1,抛物线与x轴交于A.B两点(点A在点B的左侧),且AB=4,又P是抛物线上位于象限的点,直线AP与y轴交于点D,与对称轴交于点E,设点P的横坐标为t

(1)求点A坐标和抛物线的表达式;
(2)当AE:EP=1:2时,求点E的坐标;
(3)记抛物线的顶点为M,与y轴的交点为C,当四边形CDEM是等腰梯形时,求t的值．
25. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB于点D，P是射线CD上一点，联结AP．
（1）求线段CD的长；
（2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45°时，求CP的长；
（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的长．












2022-2023学年山东省济宁市中考数学专项提升仿真模拟卷
（三模）
一、选一选：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 已知，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】分析：根据比例设a=k，b=3k，然后代入比例式进行计算即可得解．
详解：∵=，∴设a=k，则b=3k（k≠0），∴==．
故选C．
点睛：本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
2. 下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】根据函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．
【详解】A.是函数，故本题选项错误；
B.，是函数，故本题选项错误；
C. ，是二次函数，故本题选项正确；
D.是反比例函数，故本题选项错误．
故选C．
本题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：
二次函数 的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量次数为2．
3. 已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为α，那么这时飞机与目标A的距离为（　　）
A. B. 5sinα C. D. 5cosα
【正确答案】A

【详解】分析：已知直角三角形的一个锐角和锐角所对的直角边，求斜边，运用三角函数定义解答．
详解：如图：BC为飞机离地面的高度，所以在Rt△ABC中，∠BAC=α，BC=5，则AB==．
故选A．

点睛：本题考查了的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助俯角构造直角三角形，并图形利用三角函数解直角三角形．
4. 已知非零向量、、，在下列条件中，没有能判定//的是（　　）
A. //，// B. ， C. D.
【正确答案】D

【详解】分析：根据平面向量的性质即可判断．
详解：A．
∵∥∥，∴，故本选项，没有符合题意；
B．
∵=2=3，∴，故本选项，没有符合题意；
C．
∵=﹣5，∴，故本选项，没有符合题意；
D．
∵||=2||，没有能判断，故本选项，符合题意．
故选D．
点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．
5. 在△ABC中，边BC=6，高AD=4，正方形EFGH的顶点E、F在边BC上，顶点H、G分别在边AB和AC上，那么这个正方形的边长等于（　　）

A. 3 B. 2.5 C. 2.4 D. 2
【正确答案】C

【分析】利用正方形的性质可知EH∥BC，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得△AHE∽△ACB，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长
【详解】∵四边形EFMN是正方形，
∴EH∥BC，EH=EF，
∴△AEH∽△ABC．
又∵AD⊥BC，
∴AD⊥BC，EH=EF=MD，
∴=，设EH=x，则AM=3﹣x，
∴=，
解得：x=2.4，
∴EH=2.4．
故选C．
本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和平行线分线段成比例定理，是各地中考考查相似三角形常见题型．
6. 如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，点F在AC上，AF：FC=1：2，联结BF，交DE于点G，那么DG：GE等于（　　）


A. 1：2 B. 1：3 C. 2：3 D. 2：5．
【正确答案】B

【详解】∵DE∥BC，
∴=2，
∴CE：CA=1：3，，
∵AF：FC=1：2，
∴AF：AC=1：3，
∴AF=EF=EC，
∴EG：BC=1：2，设EG=m，则BC=2m，
∴DE=m，DG=m﹣m=m，
∴DG：GE=m：m=1：3，
故选B．
二、填 空 题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7. 已知线段a=4，b=1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c=_____．
【正确答案】2

【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段没有能为负．
【详解】根据比例中项的概念比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
则c2=4×1，c=±2，（线段是正数，负值舍去），
故c=2．
故答案2．
本题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段没有能是负数．
8. （在比例尺是1：15000000的地图上，测得甲乙两地的距离是2厘米，那么甲乙两地的实际距离是_____千米．
【正确答案】300

【详解】分析：首先设这两地的实际距离是xcm，然后根据比例尺的定义，即可得方程=，解此方程即可求得答案，注意统一单位．
详解：设这两地的实际距离是xcm，根据题意得：
=，
解得：x=30000000．
∵30000000cm=300km，∴这两地的实际距离是300km．
故答案为300．
点睛：本题考查了比例线段．此题难度没有大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位．
9. 如果抛物线y=（a+2）x2+x﹣1的开口向下，那么a的取值范围是_____．
【正确答案】a＜﹣2

【分析】根据抛物线y=（a+2）x2+x﹣1的开口向下，可得a+2＜0，从而可以得到a的取值范围．
【详解】∵抛物线y=（a+2）x2+x﹣1的开口向下，
∴a+2＜0，解得：a＜﹣2．
故答案为a＜﹣2．
本题考查了二次函数的性质和定义，解题的关键是明确二次函数的开口向下，则二次项系数就小于0．
10. 已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是______．
【正确答案】

【分析】坡度=坡角的正切值，据此直接解答．
【详解】解：∵，
∴坡角=30°．
此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．
11. 线段AB＝10，点P是AB的黄金分割点，且AP＞BP，则AP＝_____（用根式表示）．
【正确答案】5﹣5

【分析】根据黄金分割点的定义和AP＞BP得出AP=AB×，再进行计算即可．
【详解】∵点P是AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP=AB×．
∵线段AB=10，∴AP=10×=5﹣5；
故答案为5﹣5．
本题考查了黄金分割，关键是理解黄金分割点的概念，要熟记黄金比的值，计算时要注意AP＞BP的条件．
12. 已知等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，G是△ABC的重心，那么AG=_____．
【正确答案】

【分析】如图延长AG交BC于H．利用等腰三角形的三线合一，可知AH是高，利用勾股定理求出AH，根据重心的性质AG=AH计算即可．
【详解】如图延长AG交BC于H．

∵G是重心，
∴BH=CH=3．
∵AB=AC=5，
∴AH⊥BC，
∴AH==4，
∴AG=AH=．
故答案为．
本题考查了三角形的重心、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13. 已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=_____.

【正确答案】7.5

【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求出DF，根据BF=BD+DF，计算即可得答案．
【详解】∵a∥b∥c，
∴=，即=，
解得DF=4.5，
∴BF=BD+DF=3+4.5=7.5，
故答案为7.5．
本题考查是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
14. 已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5，12），那么OP与x轴正半轴所夹角的余弦值为_____．

【正确答案】

【分析】根据三角函数的定义解答．
【详解】如图作PA⊥x轴，垂足为A．
OP=，
cos∠POA=．
故答案为．

本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，利用坐标系求出三角形的边长是关键步骤．
15. 已知抛物线y=f（x）开口向下，对称轴是直线x=1，那么f（2）_____f（4）．（填“＞”或“＜”）
【正确答案】＞

【分析】根据抛物线y=f（x）开口向下，对称轴是直线x=1，可知在对称轴的右侧y随x的增大而减小，然后可判断出f（2）＞f（4）．
【详解】∵抛物线y=f（x）开口向下，对称轴是直线x=1，
∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∴f（2）＞f（4）．
故答案为＞．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，找到二次函数的对称轴并判断出点的位置是解题的关键．
16. 把抛物线y=x2向下平移，如果平移后的抛物线点A（2，3），那么平移后的抛物线的表达式是_____．
【正确答案】y=x2﹣1

【分析】可设所求的函数解析式为y=x2+k，把A坐标代入可得平移后的抛物线．
【详解】设所求的函数解析式为y=x2+k．
∵点A（2，3）在抛物线上，
∴3=22+k
解得：k=﹣1，
∴平移后的抛物线的表达式是 y=x2﹣1．
故答案为y=x2﹣1．
考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：上下平移没有改变二次项系数及顶点的横坐标，只改变顶点的纵坐标，上加下减．
17. 我们定义：关于x的函数y=ax2+bx与y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=_____．
【正确答案】﹣2

【分析】根据题意可以得到交换函数，由顶点关于x轴对称，从而得到关于b的方程，可以解答本题．
【详解】解：由题意函数y=2x2+bx的交换函数为y=bx2+2x．
∵y=2x2+bx=，
y=bx2+2x=，
函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，
∴﹣=﹣且，
解得：b=﹣2．
故答案为﹣2．
本题考查了二次函数的性质．理解交换函数的意义是解题的关键．
18. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，将△ABC翻折，使得点A落在BC的中点A'处，折痕分别交边AB、AC于点D、点E，那么AD：AE的值为_____．

【正确答案】

【分析】连接AA′交DE于点M，过点A′作A′N⊥AB于点N，根据折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质可分别求出AD、AE的长度，将二者相比后即可得出结论．
【详解】连接AA′交DE于点M，过点A′作A′N⊥AB于点N，如图所示．

∵AC=BC=4，∠C=90°，A′为线段BC的中点，
∴A′C=A′B=2，AA′==2，AB=4，
∴AM=AA′=，A′N=BN=，
∴AN=AB﹣BN=3．
∵∠EAM=∠A′AC，∠AME=∠C，
∴△AEM∽△AA′C，
∴=，
∴AE=．
同理：△ADM∽△AA′N，
∴=，
∴AD==．
故答案为．
本题考查了折叠的性质、勾股定理以及相似三角形的判定及性质，利用相似三角形的性质求出AD、AE的长度是解题的关键．
三、解 答 题：（本大题共7题，满分80分）
19. 如图在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象点A（3，0）、点B（0，3），顶点为M．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求∠OBM的正切值．

【正确答案】(1)y=x2﹣4x+3；（2）

【分析】（1）先把A、B两点的坐标代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）作MH⊥y轴于H，如图，先把抛物线解析式配成顶点式得到M点坐标，然后根据正切的定义求∠HBM的正切值即可．
【详解】（1）把A（3，0）、B（0，3）代入y=x2+bx+c得：，
解得：，
所以y=x2﹣4x+3；
（2）作MH⊥y轴于H，如图，

∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴M（2，﹣1）．
∵MH⊥y轴，∴H（0，﹣1）．
在Rt△BMH中，tan∠HBM==，即∠OBM的正切值为．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和解直角三角形．
20. 如图，已知△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的点，且EF∥AB， =2．
（1）设，．试用、表示；
（2）如果△ABC的面积是9，求四边形ADEF的面积．

【正确答案】（1）；（2）4.

【分析】（1）由EF∥AB知=，据此可得==2，即==，从而证△BDE∽△BAC得∠BDE=∠A，即可知DE∥AC、四边形ADEF是平行四边形，再利用====及平行四边形法则可得答案；
（2）由EF∥AB、DE∥AC知△CFE∽△CAB，△BDE∽△BAC，从而得=（）2==（）2=，进一步得出S△CFE=4、S△BDE=1，从而得出答案．
【详解】（1）∵EF∥AB，
∴=
=2，
∴==2，
∴==．
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴∠BDE=∠A，
∴DE∥AC，则四边形ADEF是平行四边形．
∵=
====，则=+=+；
（2）由（1）知=,=．
∵EF∥AB，DE∥AC，
∴△CFE∽△CAB，△BDE∽△BAC，
∴=（）2==（）2=．
∵S△ABC=9，∴S△CFE=4、S△BDE=1，
∴四边形ADEF的面积=S△ABC﹣S△CFE﹣S△BDE=4．
本题主要考查相似三角形的判定和性质、平面向量，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质及向量的计算．
21. 如图，已知△ABC中，AB=AC=，BC=4．线段AB的垂直平分线DF分别交边AB、AC、BC所在的直线于点D、E、F．
（1）求线段BF的长；
（2）求AE：EC值．

【正确答案】（1）5；（2）5.

【分析】（1）作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得BH=CH=BC=2，再利用勾股定理计算出AH=4，然后证明Rt△FBD∽Rt△ABH，再利用相似比计算BF和DF的长；
（2）作CG∥AB交DF于G，如图，利用CG∥BD得到==，然后由CG∥AD，根据平行线分线段成比例定理得到AE：EC的值．
【详解】解：（1）作AH⊥BC于H，如图，
∵AB=AC=，∴BH=CH=BC=2．
在Rt△ABH中，AH==4．
∵DF垂直平分AB，∴BD=，∠BDF=90°．
∵∠ABH=∠FBD，∴Rt△FBD∽Rt△ABH，
∴==，即==，
∴BF=5，DF=2；
（2）作CG∥AB交DF于G，如图，
∵BF=5，BC=4，∴CF=1．
∵CG∥BD，∴==．
∵CG∥AD，∴===5．

本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质．
22. 某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：≈1.7，≈1.4）．

【正确答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速

【详解】分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.
详解：如图，由题意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，

∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°，
∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH===50，
∵AC∥BD，∴∠ABD=180°–∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°，
则PH=BH=50，∴AB=AH+BH=50+50，
∵60千米/时=米/秒，∴时间t==3+3≈8.1（秒），
即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．
点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量．
23. 已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，BD2=AD•BC．
（1）求证：AD∥BC；
（2）过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：CD2=BE•BC．

【正确答案】（1）见解析；（2）见解析.

【分析】（1）根据三角形的相似和平行线的性质可以证明结论成立；
（2）根据三角形的相似，对应边的比相等即可证明结论成立．
【详解】（1）∵∠BAD=∠BDC=90°，BD2=AD•BC，
∴，
∴△ADB∽△DBC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴AD∥BC；
（2）如图所示．

∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形ADEC是平行四边形，∠AEB=∠BCD，
∴AE=DC．
又∵∠BAD=∠BDC=90°，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABE=180°，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠BDC，
∴△ABE∽△BDC，
∴，
∴AE•DC=BE•BC．
∵AE=DC，
∴CD2=BE•BC．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用相似三角形的性质与判定解答．
24. 如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x+bx+c的对称轴为直线x=1,抛物线与x轴交于A.B两点(点A在点B的左侧),且AB=4,又P是抛物线上位于象限的点,直线AP与y轴交于点D,与对称轴交于点E,设点P的横坐标为t

(1)求点A的坐标和抛物线的表达式;
(2)当AE:EP=1:2时,求点E的坐标;
(3)记抛物线的顶点为M,与y轴的交点为C,当四边形CDEM是等腰梯形时,求t的值．
【正确答案】(1) y=x-2x-3；(2) E(1，4)；(3)4

【分析】(1)依据抛物线的对称性可得到A、B的坐标,利用抛物线的交点式可得到抛物线的解析式
(2)过点P作PF∥y轴,交x轴与点F,则△AEG∽△APF,从而可得到AF=6,然后可求得PF的长,从而可得到EG的长,故此可得到点E的坐标;
(3)先证明∠ADO=∠CME,然后,再求得点C和点M坐标,从而可得到tan∠ADO=1,于是可得到OD=AO=1,故此可得到AP的解析式,求得直线AP与抛物线的交点坐标即可
【详解】(1)∵AB=4,抛物线y=x+bx+c的对称轴为直线x=1
∴点A到对称轴的距离为2,
∴A(-1,0),B(3,0),
∴y=(x+1)(x-3)整理得:y=x-2x-3
(2)如下图所示:过点P作PF⊥z轴,垂足为F

∵EG∥PF,AE:EP=1:2
∴
又∵AG=2,
∴AF=6
∴F(5,0)
当x=5时,y=12
∴EG=4,
∴E(1，4)
(3)∵CD∥EM
∴∠ADO=∠AEM.
又∵四边形CDEM是等腰梯形,
∴∠ADO=∠CME
∴y=x-2x-3
∴C(0,-3),M(1,-4)
∴tan∠DAO=tan∠CME=1.
∴OA=OD=1.
∴直线AP的解析式为y=x+1.
把y=x+1代入y=x-2x-3得
x+1= x-2x-3
解得:x=4或x=-1(舍去)
∴点P的横坐标为4,即t=4.
此题考查二次函数综合题，解题关键在于作辅助线
25. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB于点D，P是射线CD上一点，联结AP．
（1）求线段CD的长；
（2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45°时，求CP的长；
（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的长．

【正确答案】（1）；（2）；（3）CP的长是或或．

【分析】（1）作辅助线，证明四边形ECFD是正方形，设DF=x，则CF=x，BF=2﹣x，由△BDF∽△BAC，得，可得CD的长；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先根据C、B、P、A四点共圆，得∠APB=90°，可知AP=BP，由角平分线性质得：PM=PN，根据HL证明Rt△PMA≌Rt△P（HL），得AM=BN，设AM=x，则PM=CM=x+1，CN=2﹣x，由CM=CN列方程可得x的值，可得CD的长；
（3）存在三种情况：
①当PM=CM时，如图3，同理作出辅助线，根据△PCM是等腰直角三角形，可得CP的长； ②先根据勾股定理求AB=，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得CP的长；
③由△CPN∽△CMH，列比例式①可得CP的长．
【详解】详解：（1）如图1，过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F．

∵DF平分∠ACB，∠ACB=90°，∴DE=DF．
∵∠DEC=∠ACB=∠CFD=90°，
∴四边形ECFD是正方形．
设DF=x，则CF=x，BF=2﹣x．
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴
，
∴x=．
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=；
（2）如图2．

∵∠PAB=∠PCB=45°，
∴C、B、P、A四点共圆，
∴∠ACB+∠APB=180°．
∵∠ACB=90°，
∴∠APB=90°，
∴△APB是等腰直角三角形，
∴AP=BP．
过P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，连接PB．
∵PM=PN，
∴Rt△PMA≌Rt△P（HL），
∴AM=BN．
由（1）知：四边形MCNP是正方形，
∴CM=CN．
设AM=x，则PM=CM=x+1，CN=2﹣x，
∴x+1=2﹣x，x=，
∴CM=，
∴CP=；
（3）若△CMP是等腰三角形，存在三种情况：
①当PM=CM时，如图3，同理作出辅助线．

∵∠PCN=45°，
∴△PCN是等腰直角三角形，
∴CN=PN，
同（2）得：CP=；
②Rt△ACB中，AC=1，BC=2，

∴AB=．
∵M是AB的中点，
∴CM=CP=AB=；
③作CM的中垂线交CD于P，则CP=PM，过M作MH⊥CD于H．

由①知：CG（就是CP=）=，CH=．
∵△CPN∽△CMH，
∴
=，
CP=．
综上所述：CP的长是或或．
本题考查的是直角三角形的性质、三角形相似的性质和判定、正方形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，与方程相，设未知数，列方程解决问题．