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第1章 三角形的证明 北师大版八年级下册自我评估1(含答案) 试卷
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第一章 三角形的证明自我评估（一）（本试卷满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.等腰三角形的底角的度数是70°，则它的顶角的度数是（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°2.具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是（ ）A.一边和这边的对角对应相等B.三个角对应相等C.两边和其中一边的对角对应相等D.两个直角三角形中的一条直角边及斜边对应相等3.如图1，在△ABC中，∠C＝90°， AD是△ABC的角平分线，点D到AB的距离DE＝3.8 cm，则DC等于（ ）A．3.8 cm B．7.6 cm C．1.9 cm D．不能确定 图1 图2 图3 图44.如图2，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠BAD＝32°，则∠C的度数是（ ）A．28° B．30° C．32° D．36°5.用反证法证明“在△ABC中，AB=AC，则∠B是锐角”，应先假设（ ）A.在△ABC中，∠B一定是直角B.在△ABC中，∠B是直角或钝角C.在△ABC中，∠B是钝角D.在△ABC中，∠B可能是锐角6.如图3，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（ ）A．35° B．40° C．45° D．50°7.下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等腰三角形都是锐角三角形；⑤等边三角形的高、中线、角平分线都相等. 其中正确的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8．如图4，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝15 cm，AC＝10 cm，点P从点B出发以3 cm/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）A．2 s B．3 s C．4 s D．5 s 9. 如图5，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，若△BCD的周长是14，BC=6，则AC的长是（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 1010.如图6，AB=AC，AE=EC=CD，∠A=60°，若EF=2，则DF等于 （ ）A．3 B．4 C．5 D．6 图6二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）11.“等腰三角形两底角相等”的逆命题是 ，它是 （填“真”或“假”）命题.12. 一个三角形的三边长分别是6 cm ，7 cm， 8 cm，则这个三角形 直角三角形.（填“是”或“不是”）13.等腰三角形的周长为14，其一边长为4，则它的底边长为 ．14．如图7，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠B＝60°，△ABC≌△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为 ． 图7 图8 图915. 如图8，A，B两点在3×3的正方形网格的格点上，在格点上找一点C使得△ABC是等腰三角形，那么这样的点C有 个. 16.如图9，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于点E，AD⊥BE于点D.下列结论：①AC-BE=AE：②∠DAE=∠C：③BC=4AD；④点E在线段BC的垂直平分线上.其中正确的有 . （填序号）三、解答题（一）（本大题7小题，共52分）17.（6分）如图10，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． 图10 18.（6分）如图11，在等边三角形ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE=DC，求证：BE=AD. 19.（7分）如图12，我市拟在两个钢厂A，B与两条公路l1，l2相交的内部修建一个中转站C，要求中转站C到两条公路l1，l2的距离相等，且到两个钢厂A，B的距离也相等，那么中转站C应建在何处？请在图中利用尺规作图作出符合条件的点C.（不写作法，保留作图痕迹） 图1220.（7分）如图13，在△ABC 中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点 E.（1）求证：DE=CE． （2）若∠CDE=35°，求∠A 的度数． 21.（8分）如图14，上午8时，一艘轮船从A处出发，以15海里/时的速度向正北航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°，9时30分到达B处，测得灯塔C在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处． 22.（8分）如图15，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E.（1）若BE是△ABC的角平分线，请求出∠A的度数；（2）若∠A=30°，且AB=4，求EC的长. 图15 23.（10分）如图16，已知AD是△ABC的角平分线，且∠ACB=90°，AC=BC，CD=3，求AB的长. 图16 附加题（20分，不计入总分）在△ABC中，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β.（1）如图①，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，∠ABC=60°，∠ADE=70°，则α= °；β= °．（2）如图②，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？请说明理由.（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式并给出证明（写出一种即可）；若不存在，请说明理由． 参考答案一、1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．A 7．B 8．B 9．C10.D 提示：过E作EG⊥BC，交BC于点G，易得△ABC是等边三角形，证得∠AFE=90°，利用等腰三角形的“三线合一”的性质及角平分线的性质定理求得EG的长，利用含30°角的直角三角形的性质求得DE的长，进而得出DF的长．二、11.有两个角相等的三角形是等腰三角形 真 12．不是13.4或6 14. 2 15.8 16.①②③④三、17.证明：因为∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，所以∠CBF=180°-90°=90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，AB=CB，AE=CF，所以Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．18. 证明：因为△ABC是等边三角形，所以AB=CA，∠BAC=∠ACB=60°.所以∠EAB=∠DCA=120°.在△EAB和△DCA中，AE=CD，∠EAB=∠DCA，AB=CA，所以△EAB≌△DCA（SAS）.所以BE=AD.19.如图所示，点C即为所求中转站.提示：连接AB，作线段AB的垂直平分线，作两条公路所夹锐角的平分线，两条线相交于点C.20. 解：（1）因为CD是∠ACB的平分线，所以∠BCD=∠ECD．因为DE∥BC，所以∠EDC=∠BCD.所以∠EDC=∠ECD，所以DE=CE．（2）因为∠ECD=∠EDC=35°，所以∠ACB=2∠ECD=70°．因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=70°.所以∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．21. 解：根据题意，得AB=15×1.5=22.5（海里）.因为∠DBC=60°，∠A=30°，所以∠BCA=∠DBC-∠A=30°，∠BCD=90°-∠DBC=30°.所以∠BCA=∠A.所以CB=AB =22.5（海里），DB=CB=11.25（海里）.11.25÷15=0.75（小时）=45（分钟）.答：轮船10:15到达灯塔C的正东方向D处.22．解：（1）因为AB=AC ，所以∠ABC=∠C.又DE垂直平分AB，所以EB=EA.所以∠A=∠ABE.又BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠EBC.所以∠ABC=∠C=2∠A.在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，所以∠A+2∠A+2∠A=180°，解得∠A=36°.（2）因为DE垂直平分AB，所以AD=AB=2，∠ADE=90°.在Rt△ADE中，∠A=30°，所以AE=2DE.因为AD2+DE2=AE2，即2+DE2=（2DE）2，解得DE=2.所以AE=4.所以EC=AC-AE=AB-AE=4-4.23.解：过点D作DE⊥AB于点E.因为AD是∠BAC的平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，所以DE=CD=3.因为AC=BC，∠C=90°，所以∠B=∠BAC=45°.在Rt△BDE中，∠BDE=90°-∠B=45°=∠B.所以BE=DE=3.所以BD=.所以AC=BC=CD+DB=3+3.在Rt△ACD和Rt△AED中，CD=ED，AD=AD，所以Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.所以AC=AE.又BE=DE=CD，所以AB=AE+BE=AC+CD=6+3.附加题解：（1）20 10
（2）设∠ABC=x°，∠ADE=y°.因为AB=AC，AD=AE，所以∠ACB=x°，∠AED=y°.在△DEC中，y=β+x.在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β.所以α=2β.（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图2.设∠ABC=x°，∠ADE=y°.因为AB=AC，AD=AE，所以∠ACB=x°，∠E=y°.
在△ABD中，x+α=β-y.
在△DEC中，x+y+β=180°.
所以α=2β-180°. ②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图3，同①的方法可得α=180°-2β．
