初中数学北师大版九年级下册第三章 圆3 垂径定理练习

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*3　垂 径 定 理(打√或×)1．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．(√)2．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．(×)3．在“①是直径，②垂直于弦，③平分弦(非直径)，④平分弦所对的弧”四个结论中，已知其中的两个结论就可以推导出其他的两个结论．(√)·知识点1　垂径定理及推论1．(概念应用题)如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定正确的是(D)A．∠COE＝∠DOE    B．CE＝DE    C．AC＝AD    D．OE＝BE2．如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB＝6，CD＝2，则⊙O的半径为(C)A．5    B．    C．    D．43．如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为(B)A． cm    B．8 cm    C．6 cm    D．4 cm·知识点2　垂径定理的应用4．如图，拱桥可以近似地看作直径为250 m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150 m，那么这些钢索中最长的一根的长度为(D)A．50 m    B．40 m    C．30 m    D．25 m5．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为(D)A．4 m    B．5 m    C．6 m    D．8 m6．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则排水管中的水深为__4__．7．要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接测量的方法．如果将一个直径为10 mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8 mm(如图所示)，则此小孔的直径为__8__mm__．8．某园进行改造，现需要修建一些如图所示圆形(不完整)的门，根据实际需要该门的最高点C距离地面的高度为2.5 m，宽度AB为1 m，则该圆形门的半径应为____ m．1．(传统数学文化)(2021·厦门期中)在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺(1尺＝10寸)，则该圆材的直径为(C)A．13寸    B．24寸    C．26寸    D．28寸2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，则CD的长为(A)A．6    B．3    C．6    D．123．(2021·福州质检)若弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为13，AB＝10，CD＝24，则AB，CD之间的距离为(D)A．7    B．17    C．5或12    D．7或174．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则BD的长为____．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，直线y＝kx－3k＋4(k≠0)与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为__24__．6．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为__2__．7.如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点．(1)求证：AB平分∠OAC；(2)延长OA至P使得OA＝AP，连接PC，若圆O的半径R＝1，求PC的长．【解析】(1)连接OC，∵∠AOB＝120°，C是AB弧的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝60°.∵OA＝OC，∴△ACO是等边三角形，∴OA＝AC，同理OB＝BC，∴OA＝AC＝BC＝OB，∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC.(2)∵三角形OAC是等边三角形，∴OA＝AC.∴AP＝AC，∵∠CAO＝60°，∴∠APC＝30°，∴△OPC是直角三角形，PC＝OC＝.·易错点1　忽视垂径定理的推论中的条件“不是直径”【案例1】下列说法中错误的有(C)①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；②弦的垂线平分它所对的两条弧；③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．A．1个    B．2个    C．3个    D．4个·易错点2　考虑不全面而漏解【案例2】⊙O半径为10 cm，弦AB＝12 cm，CD＝16 cm，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离．【解析】见全解全析                *3　垂 径 定 理__必备知识·基础练【易错诊断】1．√　2.×　3.√　【对点达标】1．D　∵AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，∴CE＝DE，即AB为CD的垂直平分线，∴AC＝AD，∴选项B、C正确．∵OC＝OD，OE⊥CD，∴∠COE＝∠DOE，∴选项A正确．2．C　连接OA，如图，设⊙O的半径为r.∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝3.在Rt△OAC中，∵OA＝r，OC＝OD－CD＝r－2，AC＝3，∴(r－2)2＋32＝r2，解得r＝.3．B　如图所示，连接OA.⊙O的直径CD＝10 cm，则⊙O的半径为5 cm，即OA＝OC＝5 cm.又∵OM∶OC＝3∶5，所以OM＝3 cm.∵AB⊥CD，垂足为M，∴AM＝BM.在Rt△AOM中，AM＝＝4(cm)，∴AB＝2AM＝2×4＝8(cm).4．D　设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，则OA＝OD＝×250＝125(m)，AC＝BC＝AB＝×150＝75(m)，OC＝＝＝100(m)，∴CD＝OD－OC＝125－100＝25(m)，即这些钢索中最长的一根为25 m.5．D　如图，连接OA，∵桥拱半径OC为5 m，∴OA＝5 m.∵CD＝8 m，∴OD＝8－5＝3(m)，∴AD＝＝＝4(m)，∴AB＝2AD＝2×4＝8(m).6．【解析】如图，延长OC与⊙O交于点D，∵OD⊥AB，OD为半径，∴C为AB中点，即AC＝BC＝AB＝8，在Rt△OCB中，OB＝10，BC＝8，根据勾股定理得：OC＝6，则CD＝10－6＝4.答案：47．【解析】过点M作MC⊥AB于点C(M，O，C共线)，则OA＝×10＝5(mm)，OC＝MC－OM＝8－5＝3(mm).在Rt△ACO中，AC＝＝4(mm)，∴AB＝2AC＝8(mm).∴此小孔的直径d为8 mm.答案：8 mm8．【解析】如图，过圆心O作OE⊥AB于点E，连接OC，∵点C是该门的最高点，∴＝，∴CO⊥AB，∴C，O，E三点共线．连接OA，∵OE⊥AB，∴AE＝＝0.5 m.设⊙O的半径为R，则OE＝2.5－R，∵OA2＝AE2＋OE2，∴R2＝(0.5)2＋(2.5－R)2.解得：R＝.答案：__关键能力·综合练1．C　设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，如图所示：∴AC＝AB＝×10＝5，设⊙O的半径为r寸，在Rt△ACO中，OC＝r－1，OA＝r，则有r2＝52＋(r－1)2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸．2．A　∵CD⊥AB，∴CE＝DE.∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°，∴△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝×6＝3，∴CD＝2CE＝6.3．D　过O点作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝5，CF＝DF＝CD＝12.在Rt△OAE中，OE＝＝＝12，在Rt△OCF中，OF＝＝＝5.当圆心O在AB，CD之间，如图1，EF＝OE＋OF＝12＋5＝17；当圆心O不在AB，CD之间，如图2，EF＝OE－OF＝12－5＝7.综上所述，AB，CD之间的距离为7或17. 4．【解析】如图，过点C作CE⊥AD于点E，则AE＝DE.∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5.∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CE，∴CE＝＝，∴AE＝＝＝，∴AD＝2AE＝，∴BD＝AB－AD＝5－＝.答案：5．【解析】如图，连接OB，∵直线y＝kx－3k＋4必过点D(3，4)，∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦．∵点D的坐标是(3，4)，∴OD＝＝5，∵以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，∴圆的半径为13，∴OB＝13，∴BD＝＝＝12，∴BC＝2BD＝24，∴BC的长的最小值为24.答案：246．【解析】如图，连接AC，OE，OF，作OM⊥EF于M.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC是直径，AC＝4，∴OE＝OF＝2.∵OM⊥EF，∴EM＝MF.∵△EFG是等边三角形，∴∠GEF＝60°.在Rt△OME中，∵OE＝2，∠OEM＝∠GEF＝30°，∴OM＝，EM＝OM＝，∴EF＝2.答案：27．解析见正文【易错必究】·易错点1【案例1】C　①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧，错误，这条直线需要垂直这条弦．②弦的垂线平分它所对的两条弧，错误，这条垂线需要平分这条弦．③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧，错误，这条弦不是直径时成立．④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．正确．·易错点2【案例2】【解析】①AB，CD在圆心的同侧如图1，连接OD，OB，过O作AB的垂线交CD，AB于E，F，根据垂径定理得ED＝CD＝×16＝8(cm)，FB＝AF＝×12＝6(cm)，在Rt△OED中，OD＝10 cm，ED＝8 cm，由勾股定理得OE＝＝＝6，在Rt△OFB中，OB＝10 cm，FB＝6 cm，则OF＝＝＝8，AB和CD的距离是OF－OE＝8－6＝2(cm)；②AB，CD在圆心的异侧如图2，连接OD，OB，过O作AB的垂线交CD，AB于E，F，根据垂径定理得ED＝CE＝×16＝8(cm)，FB＝AF＝×12＝6(cm)，在Rt△OED中，OD＝10 cm，ED＝8 cm，由勾股定理得OE＝＝＝6，在Rt△OFB中，OB＝10 cm，FB＝6 cm，则OF＝＝＝8，AB和CD的距离是OF＋OE＝8＋6＝14(cm)，综上，AB与CD之间的距离是2 cm或14 cm.