北师大版九年级下册3 垂径定理教案设计

这是一份北师大版九年级下册3 垂径定理教案设计，共5页。教案主要包含了知识与能力，过程与方法，情感态度价值观，教学重点，教学难点等内容，欢迎下载使用。

教学目标


【知识与能力】


1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；


2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．


【过程与方法】


经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．


【情感态度价值观】


1. 培养学生类比分析，猜想探索的能力．


2. 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．


教学重难点


【教学重点】


利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．


【教学难点】


垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．


课前准备


多媒体 实物投影 三角板 圆规 纸片 剪刀 铅笔


教学过程


本节课设计了四个教学环节：


类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结.





第一环节 类比引入


活动内容：


1.等腰三角形是轴对称图形吗？


2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？


3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？


活动目的：


通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力．


第二环节 猜想探索


活动内容：


1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．


（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？


（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．


条件：① CD是直径；② CD⊥AB


结论（等量关系）：③AM=BM；


④ eq \(\s\up11(⌒),\s\d4(AC)) = eq \(\s\up11(⌒),\s\d4(BC)) ；⑤ eq \(\s\up11(⌒),\s\d4(AD)) = eq \(\s\up11(⌒),\s\d4(BD)) .


证明：连接OA,OB,则OA=OB.


在Rt△OAM和Rt△OBM中,


∵OA=OB，OM=OM，


∴Rt△OAM≌Rt△OBM.


∴AM=BM.


∴点A和点B关于CD对称.


∵⊙O关于直径CD对称,


∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合,


eq \(\s\up11(⌒),\s\d4(AC)) 和 eq \(\s\up11(⌒),\s\d4(BC)) 重合, eq \(\s\up11(⌒),\s\d4(AD)) 和 eq \(\s\up11(⌒),\s\d4(BD)) 重合.


∴ eq \(\s\up11(⌒),\s\d4(AC)) = eq \(\s\up11(⌒),\s\d4(BC)) ， eq \(\s\up11(⌒),\s\d4(AD)) = eq \(\s\up11(⌒),\s\d4(BD)) .


2．证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．


3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？


O


C


D


B


A

















注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦．


通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识．


4．垂径定理逆定理的探索





如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.


（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？


（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.


条件：① CD是直径；② AM=BM


结论（等量关系）：③CD⊥AB；


④ eq \(\s\up11(⌒),\s\d4(AC)) = eq \(\s\up11(⌒),\s\d4(BC)) ；⑤ eq \(\s\up11(⌒),\s\d4(AD)) = eq \(\s\up11(⌒),\s\d4(BD)) .


让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容


——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.


5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？


O


D


B


A


C


反例：











活动目的：


活动1的主要目的是通过让学生猜想、类比、探索和证明获得新知，从而得到研究数学的多种方法的体会，获取经验；活动2 的主要目的是让学生通过对定理表述反复的语言提炼，锻炼学生的归纳能力和严谨的表述能力，并对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识；活动3的主要目的是通过反例使学生对定理的严谨性有更深的认识；活动4的主要目的与活动1相似，并让学生与活动1类比，提高探索能力；活动5的主要目的与活动3相似．


实际教学效果：


在活动1中的证明时，学生对如何证明平分弦，可能会有一定困难，此时应引导学生类比等腰三角形，通过连接OA、OB，构造等腰三角形，并利用三角形全等的知识来证明；另外，在证明直径平分弦所对的弧，也是一个难点，学生会觉得比较难表述，这时应类比等腰三角形的轴对称性，运用圆的轴对称性启发引导；在活动2中，学生的说法可能不够准确、精炼，但教师应该鼓励学生坚持勇于尝试，让学生互相指出说法的不足和缺陷，互相加以修正，在反复的语言提炼中对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识，这也是一个自主构建的过程；活动3是通过反例说明定理的条件的必要性和严谨性，要注意让学生学会通过反例找出对应缺失的条件，提高学生对定理的理解；在活动4中，学生已经有了活动1的经验，教师应放手让学生去猜想、类比、探索和证明，增加学生对数学知识的探索的领悟和经验；活动5与活动3相似．


第三环节 知识应用


活动内容：


讲解例题及完成随堂练习．


1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 eq空格\(\s\up1(⌒),\s\d5(CD)) \* MERGEFORMAT eq空格\(\s\up1(⌒),\s\d5(CD)) \* MERGEFORMAT eq \(\s\up11(⌒),\s\d4(CD)) ,点0是 eq \(\s\up11(⌒),\s\d4(CD)) 所在圆的圆心），其中CD=600m，E为 eq \(\s\up11(⌒),\s\d4(CD)) 上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径．


解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m．


∵OE⊥CD





根据勾股定理，得


OC²=CF² +OF²


即 R²=300²+(R-90)².


解这个方程，得R=545.


所以，这段弯路的半径为545m.





2．随堂练习1．1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到0.1米）．








3．随堂练习2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？


有三种情况：（1）圆心在平行弦外；


（2）圆心在其中一条弦上；


O


C


D


B


A


O


C


D


B


A


O


C


D


B


A


（3）圆心在平行弦内．

















活动目的：活动1、2的主要目的是让学生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去解决几何问题；活动3的主要目的是让学生通过作垂线段构造符合定理使用的条件，从而运用定理解决问题，以及培养学生解题中的分类思想．





实际教学效果：


在活动4中，对于例题和随堂练习1教师要引导学生如何够造可以应用垂径定理的几何构图，让学生积累如何添加辅助线的经验，以及体会到构造直角三角形并利用勾股定理列方程在解决几何问题中的作用，培养数形结合的思想．对于随堂练习2，教师要引导学生通过自行画图，探索分析符合条件图形有多少种情况：圆心在平行弦外，在其中一条弦上、在平行弦内，并通过添加辅助线构造可以应用垂径定理的条件，以及比较三种构图的共同点，得出说理的思路都是一样的结论．





第四环节 归纳小结


活动内容：


学生交流总结


1．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.


2．解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.





活动目的：


通过回顾本节课的各个环节，鼓励学生交流自己的收获和感想，加深对本节课知识和探索方法的理解和掌握，培养学生养成归纳反思的学习习惯．





实际教学效果：


学生在互相交流中，对于归纳出来的内容，会有各种表述，大多都是围绕知识本身，教师应引导学生对探索知识的方法也能归纳反思．