2023新高考数学函数压轴小题专题突破 专题12 最大值的最小值（解析版）

专题12 最大值的最小值

1． 已知函数，若时，恒有，则      ．

【答案】

【解析】

，的对称轴为

，故要使时，恒有，还需要，，，故．

2． 设命题“存在，使得，其中”．若无论取何值时，命题都是真命题，则的最大值为______．

【答案】

【解析】令，记在上的最大值为，下面来求的最小值．（将图象进行左右平移不影响其最值，注意到区间的长度为1，换成不影响结果）

当时候，取得最小值，

此时，，，

即的最小值为，故．

3． 已知，，若对于任意的，恒成立，则     ．

【答案】

【解析】

记，则，

，

当对称轴为且（平口单峰）

即时，上的最大值取得最小值，

此时，

4． 函数在区间上的最大值为，则的最小值为            ．

【答案】

【解析】设，则．令得当时，单调递减；当时，单调递增，所以，作出的图象．

由图可得，取得最小值．

5． 已知，函数在区间上的最大值记为，则的最小值为          ．

【答案】

【解析】分离两边夹思想

因为，则，当时该式显然成立

当时，有

令，显然是偶函数，且在上单调递减

所以

令，显然也是偶函数，且有

当且仅当时取等号，由于夹在、的图像之间

所以有

解得，当，时取等号．

6． 若对任意，恒有成立，则当取得最小值时，实数的值为_______．

【答案】3

【解析】

（1）缩小定义域：是偶函数，以下只考虑

（2）缩小的范围：取，，在上增，，

（3）分离参数：，，

，，，，

，，，，极值点，

，显然，于是．

7． 若对任意，存在实数，使恒成立，则实数的最大值为          ．

【答案】9

【解析】，

∴要存在实数满足条件，只需保证

若：，舍；

若：，

∴．

8． 已知，若对任意的，存在，使得成立，则实数的最大值是          ．

【答案】

【解析】，，则

所以，

①若，此时需要满足，所以

②，

综上，．

9． 已知函数，若对任意，均存在，使得关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是         ．

【答案】

【解析】由题意知，当取定时

因为的对称轴为，下以的值进行分类讨论．

①当或对有解时，即或时

对于满足上述条件的和

当时，，这与矛盾，舍去．

当时，，这也与矛盾，舍去．

②当时，

成立，故实数的取值范围是．

10．已知定义在上的函数，若存在实数，使得对任意实数都有成立，则实数的最小值为          ．

【答案】

【解析】

因为

因为对任意实数都有成立，

所以

即．

因为若存在实数，使上式成立，所以，故实数的最小值为．

11．已知函数，当时，的最大值为，则的最小值为       ．

【答案】

【解析】

，当且仅当取等．