2023新高考数学函数压轴小题专题突破 专题7 唯一零点求值问题（解析版）

专题7 唯一零点求值问题

1．已知函数有唯一零点，则负实数　　

A． B． C． D．或

【解析】解：函数有唯一零点，

设，

则函数有唯一零点，

则，

设，

，

为偶函数，

函数有唯一零点，

与有唯一的交点，

此交点的横坐标为0，

，

解得或（舍去），

故选：．

2．已知函数有唯一零点，则实数　　

A． B．2 C． D．

【解析】解：因为，

所以

所以即函数图象关于轴对称，故函数的图象与轴的交点也关于对称，

又因为函数有唯一零点，

故根据函数的对称性可知，只能交在，0即（2），

所以．

故选：．

3．已知函数有唯一零点，则　　

A． B． C． D．1

【解析】解：因为，

所以函数有唯一零点等价于方程有唯一解，

等价于函数的图象与的图象只有一个交点．

①当时，，此时有两个零点，矛盾；

②当时，由于在上递增、在上递减，

且在上递增、在上递减，

所以函数的图象的最高点为，的图象的最高点为，

由于，此时函数的图象与的图象有两个交点，矛盾；

③当时，由于在上递增、在上递减，

且在上递减、在上递增，

所以函数的图象的最高点为，的图象的最低点为，

由题可知点与点重合时满足条件，即，即，符合条件；

综上所述，，

方法二：，

令，则为偶函数，图象关于对称，

若有唯一零点，则根据偶函数的性质可知当时，，

所以．

故选：．

4．已知函数有唯一零点，则　　

A．1 B． C． D．

【解析】解：令，则，

则函数可化为：

，显然．

该函数为偶函数，且由题意知有唯一零点，

所以，即，解得．

故选：．

5．已知函数有唯一零点，则负实数　　

A． B． C． D．

【解析】解：函数有唯一零点，

设，

则函数有唯一零点，

则，

设，

，

为偶函数，

函数有唯一零点，

与有唯一的交点，

此交点的横坐标为0，

，

解得或（舍去），

故选：．

6．若函数有唯一零点，则　　

A． B．2或 C． D．2

【解析】解：的定义域为，，

所以为偶函数，

又有唯一零点，根据偶函数的对称性得，

即，，解得或，

当时，，

因为，

所以根据零点存在性定理可知的零点不唯一，

故不合题意，舍去，

当时，，

所以满足题意．

故选：．

7．已知函数有唯一的零点，则常数　　

A． B．1 C． D．

【解析】解：由题意，函数有唯一的零点，

即函数与，只有一个交点，

当时，函数的最小值为1，其顶点坐标为，

那么函数的最大值的坐标为，

所以，所以．

故选：．

8．已知函数有唯一零点，则　　

A． B． C． D．2

【解析】解：，

令，则为偶函数，图象关于对称，

若有唯一零点，则根据偶函数的性质可知，

所以．

故选：．

9．已知函数有唯一零点，则实数的值为　　

A． B． C． D．

【解析】解：，

令，则，

为偶函数，

由题意可知，只有一个零点，

根据偶函数的对称性可知，只能交于原点，即时，

．

故选：．

10．有唯一零点，则　　

A．3 B．2 C． D．

【解析】解：，

，

显然，函数为偶函数，其图象关于轴对称，

函数的图象关于对称，

又函数有唯一零点，

必有（1），即，解得．

故选：．

11．设函数有唯一的零点，则实数　　

A． B．0 C．1 D．2

【解析】解：由，得，

令，得．

而的符号在确定时恒正或恒负，与值无关，

则为单调函数，即为的唯一极值点，也就是最值点．

要使函数有唯一的零点，则（2），即，得．

故选：．

12．已知函数有唯一的零点，则实数的值为　　

A．2 B． C．或2 D．或4

【解析】解：由题意，函数为偶函数，在处有定义且存在唯一零点，所以唯一零点为0，则，

或2，

代回原式，分离得两个函数，画图存在有2个零点，

不符题意，仅存在唯一零点．

故选：．

13．已知有唯一的零点，则实数的值为　　

A． B．0 C．1 D．2

【解析】解：函数是偶函数，且在，上是增函数，且当时，，

若有唯一的零点，则，，

故选：．

14．若函数有唯一的零点，则实数的值是　　

A． B．2 C． D．或2

【解析】解：显然是偶函数，

有唯一一个零点，，即，

解得或．

当时，，

在，上单调递增，符合题意；

当时，，

作出和的函数图象如图所示：

由图象可知有三个零点，不符合题意；

综上，．

故选：．

15．已知有唯一的零点，则实数的值为　　

A． B． C． D．0

【解析】解：函数在上是偶函数，

且在，上是增函数，

且，

若有唯一的零点，

则，

解得，；

故选：．

16．已知函数有且只有一个零点，则的值为　　

A． B． C． D．

【解析】解：函数的定义域为，

令可得；

设，

则；

故当时，则；当时，则；当时，则；

在上单调递增，在上单调递减；

故时最大值为（e），

函数有且只有一个零点，

函数与只有一个交点，

故结合图象可知，，

故选：．

17．已知关于的方程有唯一解，则实数的值为　　

A．1 B． C． D．

【解析】解：由选项知，

设，，

若方程有唯一解，

即有唯一解，

则，

令，可得，

，，（另一根舍去），

当时，，在上是单调递减函数；

当，时，，在，上是单调递增函数，

当时，，，

有唯一解，

，

，

，

，

，

设函数，

时，是增函数，

至多有一解，

（1），

方程的解为，

即，

，

当，方程有唯一解时的值为．

故选：．

18．已知关于的方程有唯一解，则实数的值为　　

A．1 B． C．1或 D．或3

【解析】解：方程有唯一解，

又函数是偶函数；

方程的唯一解为0；

故，

故或；

经验证，当时，成立；

当时，方程有三个解；

故选：．

19．已知函数为自然对数的底数）有唯一零点，则的值可以为　　

A．1 B． C．2 D．

【解析】解：

，

令，则，定义域为，

，

故函数为偶函数，

所以函数的图象关于对称，

要使函数有唯一零点，则（2），

即，解得或2，

故选：．

20．已知函数，则在点，处的切线方程为　　；若在

上有唯一零点，则的值为　　．

【解析】解：的导数为，

可得在点，处的切线斜率为，

又切点为，可得切线方程为；

可令，即在上只有一个实根，

设，导数为，

可得在内只有一个实数解，

即，且，

则．

故答案为：，．

21．若函数有唯一零点，则实数的值为　　．

【解析】解：有唯一零点，

，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，

故当时，函数取得极大值（4），

若有唯一零点，则，

所以．

故答案为：．

22．已知关于的方程有唯一实数解，则实数的值为　　．

【解析】解：设，

则函数在定义域上为偶函数，

若关于的方程有唯一实数解，

则等价为，

即，

则，

得或，

当时，方程等价为，

即，

作出函数和的图象如图，此时两个函数有3个交点，不满足条件．

当时，方程等价为，

即，

作出函数和的图象如图，此时两个函数有1个交点，满足条件，

综上，

故答案为：．