第15章分式【单元提升卷】2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（人教版）

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第15章分式【单元提升卷】（人教版）（考试时间：100分钟试卷满分：120分）考生注意：1． 本试卷26道试题，满分120分，考试时间100分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）1．下列代数式中是分式的为（　　）A． B． C． D．【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：A、它符合分式的定义，故选项符合题意；B、分母是常数，是单项式，故选项不符合题意；C、分母是常数，是单项式，故选项不符合题意；D、分母是常数，是单项式，故选项不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．2．要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）A．x＝0 B．x＞3 C．x＜3 D．x≠3【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零，即可得出答案．【解答】解：要使分式有意义，则x﹣3≠0，解得：x≠3．故选：D．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．3．下列属于最简分式的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据最简分式的定义可逐项判定求解．【解答】解：A、分子、分母中含有公因式（1﹣x），不是最简分式，故本选项不符合题意；B、该分式符合最简分式的定义，故本选项符合题意；C、分子、分母中含有公因式（1+x），不是最简分式，故本选项不符合题意；D、分子、分母中含有公因数17，不是最简分式，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查最简分式，掌握最简分式的定义是解题的关键．4．化简的结果为（　　）A．a﹣b B．a+b C． D．【分析】根据同分母的分式相加减法则进行计算即可．【解答】解：＝＝＝a+b，故选：B．【点评】本题考查了分式的加减，能正确根据分式的加减法则进行计算是解此题的关键．5．若分式的值为0，则x的值为（　　）A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．﹣1或0【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出方程和不等式，解方程和不等式得到答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴1﹣|x|＝0，1﹣x≠0，解得，x＝﹣1，故选：A．【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．6．化简（a﹣1）+（﹣1）•a的结果是（　　）A．﹣a2 B．0 C．a2      D．﹣1【分析】原式第二个括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分后计算即可求出值．【解答】解：原式＝a﹣1+•a＝a﹣1+1﹣a＝0．故选：B．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．若把分式中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　　）A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．扩大4倍【分析】直接利用分式的性质化简得出答案．【解答】解：把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则原式可变为：＝＝4×，故分式的值扩大4倍．故选：D．【点评】此题主要考查了分式的基本性质，能够正确化简分式是解题的关键．8．已知，则代数式的值为（　　）A．5 B． C． D．【分析】把﹣＝5变形为x﹣y＝﹣5xy，代入代数式计算即可得出答案．【解答】解：∵﹣＝5，∴＝5，∴y﹣x＝5xy，∴x﹣y＝﹣5xy，∴＝＝＝＝5，故选：A．【点评】本题考查了分式的化简和求值．解题的关键是能把﹣＝5变形为x﹣y＝﹣5xy，明确整体代入的计算方法．9．某边防哨卡运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果．若设该哨卡共有x名战士，则所列方程为（　　）A． B． C． D．【分析】设这个哨卡共有x名战士，根据每人分的数量＝礼品总数÷人数，即可得出关于x的分式方程．【解答】解：设这个哨卡共有x名战士，依题意，得：．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．10．如图，若x为正整数，则表示1﹣的值的点落在（　　）A．段① B．段② C．段③ D．段④【分析】先计算出原式＝，再取特殊值x＝1代入计算即可得出答案．【解答】解：1﹣＝﹣＝，取x＝1，则＝＝0.5，∴表示1﹣的值的点落在段②，故选：B．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．二．填空题（共8小题，每题3分，满分24分）11．若分式的值为0，则x的值为　﹣1　．【分析】根据分式值为0的条件得到|x|﹣1＝0且（x﹣1）2≠0，然后求解即可．【解答】解：根据题意，得|x|﹣1＝0且x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≠0，解得x＝﹣1，故答案是：﹣1．【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．12．已知ab＝﹣3，a+b＝2．则＝　﹣　．【分析】直接利用分式的加减运算法则将原式变形，进而把已知代入计算得出答案．【解答】解：∵ab＝﹣3，a+b＝2，∴＝+＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确将原式变形是解题关键．13．禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，该直径用科学记数法表示为　1.02×10﹣7　m．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000102＝1.02×10﹣7．故答案为：1.02×10﹣7．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．14．化简分式：＝　1　．【分析】原式通分并利用同分母分式的加减法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝+＝＝＝1．故答案为：1．【点评】此题考查了分式的加减法．熟练掌握分式的加减法的运算法则是解本题的关键．15．若x＜2，且+|x﹣2|+x﹣1＝0，则x＝　1　．【分析】先去掉绝对值符号，整理后方程两边都乘x﹣2，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：+|x﹣2|+x﹣1＝0，∵x＜2，∴方程为+2﹣x+x﹣1＝0，即＝﹣1，方程两边都乘x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），解得：x＝1，经检验x＝1是原方程的解，故答案为：1．【点评】本题考查了解分式方程和绝对值，能把分式方程转化成整式分式是解此题的关键．16．方程＝的解为　x＝3　．【分析】先将分式化为整数，然后求解并检验．【解答】解：方程两边同时乘以x（x+3）得：2x＝x+3，解得x＝3，检验：x＝3时，x（x+3）≠0，∴方程的解为x＝3．故答案为：x＝3．【点评】本题考查解分式方程，解题关键是先将分式方程化为整式方程求解，然后检验增根情况．17．要使分式的值是非负数，则x的取值范围是　x≥1或x＜﹣2　．【分析】要使分式的值是非负数，则或，据此求出x的取值范围即可．【解答】解：∵分式的值是非负数，∴≥0，∴或，解得x≥1或x＜﹣2．故答案为：x≥1或x＜﹣2．【点评】此题主要考查了分式的值，以及一元一次不等式的解法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：x﹣1≥0或x﹣2＜0．18．甲、乙两个港口之间的海上行程为skm，一艘轮船以akm/h的航速从甲港顺水航行到达乙港．已知水流速度为xkm/h，则这艘轮船从乙港逆水航行回到甲港所用的时间为　　h．【分析】用航行的路程除以逆水航行的速度即可得到时间．【解答】解：∵甲港顺水以akm/h的航速航行到乙港，已知水流的速度为xkm/h，∴逆水航行的速度为（a﹣2x）km/h，∴返回时的时间为：h．故答案是：．【点评】本题考查了列代数式的知识，熟练掌握顺水速度、逆水速度、静水速度、水流速度之间的关系是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分66分）19．解下列方程（1）；（2）．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】（1）解：两边同乘（x﹣2），得：3+x＝﹣2（x﹣2），去括号得：3+x＝﹣2x+4，移项合并得：3x＝1，解得：x＝，经检验，x＝是原方程的解；（2）两边同乘（x﹣1）（x+1），得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，移项合并得：2x＝2，解得：x＝1，经检验，x＝1是原方程的增根，则原方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．20．为帮助雅安地震灾区人们重建家园，某中学学生积极捐献．已知高中部捐款总额为7200元，初中部捐款总额为6000元，高中部人数比初中部人数多80人，而且初中部和高中部人均捐款恰好相等．求该校学生总数是多少人．【分析】设该校初中部有x人，则高中部有（x+80）人，根据初中部和高中部人均捐款恰好相等列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设该校初中部有x人，则高中部有（x+80）人，根据题意得：＝，去分母得：7200x＝6000x+480000，解得：x＝400，经检验x＝400是分式方程的解，且符合题意，∴x+80＝400+80＝480（人），480+400＝880（人），则该校学生总数是880人．【点评】此题考查了分式方程的应用，找出题中等量关系“初中部和高中部人均捐款恰好相等”是解本题的关键．21．为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？【分析】设原计划每天种树x棵，实际每天植树（1+25%）x棵，根据实际完成的天数比计划少5天为等量关系建立方程求出其解即可．【解答】解：设原计划每天种树x棵，实际每天植树（1+25%）x棵，由题意，得﹣＝5，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解．答：原计划每天种树40棵．【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，工作总量÷工作效率＝工作时间在实际问题中的运用，解答时根据实际完成的天数比计划少5天为等量关系建立方程是关键．22．小华周一早晨起来，步行到离家900米的学校去上学，到了学校他发现数学课本忘在家中了，于是他立即按照原路步行回家，拿到数学课本后立即按照原路改骑自行车返回学校，已知小华骑自行车的速度是他步行速度的3倍，步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟．小华骑自行车的速度是多少米每分？【分析】设小华步行的速度是x米每分，则小华骑自行车的速度是3x米每分，根据时间＝路程÷速度结合小华步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设小华步行的速度是x米每分，则小华骑自行车的速度是3x米每分，依题意，得：﹣＝10，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，∴3x＝180．答：小华骑自行车的速度是180米每分．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．23．市实验学校为创建书香校园，去年进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用1500元购进的科普书与1000元购进的文学书本数相等．（1）求去年购进的文学书和科普书的单价各是多少元？（2）若今年文学书和科普书的单价与去年相比保持不变，该校打算用1250元再购进一批文学书和科普书，问购进科普书65本后至多还能购进多少本文学书？【分析】（1）设文学书的单价是x元，则科普书的单价是（x+4）元，根据用1500元购进的科普书与用1000元购进的文学书本数相等，可列方程求解．（2）设购进科普书65本后还能购进y本文学书，根据用1250元再购进一批文学书和科普书，得出不等式求出即可．【解答】解：（1）设文学书的单价是x元，则科普书的单价是（x+4）元，根据题意，得＝，解得x＝8．经检验：x＝8是原分式方程的解，x+4＝12．答：文学书的单价是8元，则科普书的单价是12元． （2）设购进科普书65本后还能购进y本文学书，则12×65+8y≤1250，解得：y≤58.75，∵y为整数，∴y最大是58，答：购进科普书65本后至多还能购进58本文学书．【点评】此题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．24．科技创新加速中国高铁技术发展，某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话：记者：你们是用9天完成4800米长的高架桥铺设任务的？工程师：是的，我们铺设600米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设长度是原来的2倍．通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度．【分析】设该建筑集团原来每天铺设高架桥x米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥2x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设该建筑集团原来每天铺设高架桥x米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥2x米，依题意，得：+＝9，解得：x＝300，经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意．答：该建筑集团原来每天铺设高架桥300米．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．25．某商场第一次用22000元购进某款智能清洁机器人进行销售，很快销售一空，商家又用48000元第二次购进同款智能清洁机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．（1）求该商家第一次购进智能清洁机器人多少台？（2）若所有智能清洁机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每台智能清洁机器人的标价至少是多少元？【分析】（1）设该商家第一次购进智能清洁机器人x台，则第二次购进智能清洁机器人2x台，根据单价＝总价÷数量结合第二次购进智能清洁机器人的单价比第一次贵了10元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设每台智能清洁机器人的标价为y元，根据利润＝销售单价×两次购进的数量﹣两次进货的总价之和结合利润率不低于20%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设该商家第一次购进智能清洁机器人x台，则第二次购进智能清洁机器人2x台，依题意，得：﹣＝10，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意．答：该商家第一次购进智能清洁机器人200台．（2）设每台智能清洁机器人的标价为y元，依题意，得：（200+200×2）y﹣（22000+48000）≥（22000+48000）×20%，解得：y≥140．答：每台智能清洁机器人的标价至少为140元．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．26．随着智能分拣设备在快递业务中的普及，快件分拣效率大幅提高．使用某品牌智能分拣设备，每人每小时分拣的快件量是传统分拣方式的25倍，经过测试，由5人用此设备分拣8000件快件的时间，比20人用传统方式分拣同样数量的快件节省4小时．某快递中转站平均每天需要分拣10万件快件，如果使用此智能分拣设备，每天只需要安排多少名工人就可以完成分拣工作（每天工作时间为8小时）．【分析】设用传统方式每人每小时可分拣x件，则用智能分拣设备后每人每小时可分拣25x件，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合5人用此设备分拣8000件快件的时间比20人用传统方式分拣同样数量的快件节省4小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再利用需要人数＝工作总量÷每人每天用智能分拣设备后的工作量，即可求出结论（利用进一法取整）．【解答】解：设用传统方式每人每小时可分拣x件，则用智能分拣设备后每人每小时可分拣25x件，依题意，得：＝﹣4，解得：x＝84，经检验，x＝84是原方程的解，且符合题意，∴100000÷（84×25×8）＝5（人）……16000（件），∴5+1＝6（人）．答：每天只需要安排6名工人就可以完成分拣工作．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．