第14章 整式的乘法与因式分解（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（人教版）

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第14章 整式的乘法与因式分解（基础、典型、易错、压轴）
分类专项训练
【基础】
一、单选题
1．（2022·全国·八年级课时练习）数学活动课上，小云和小辉在讨论一道张老师出的代数式求值问题．
已知，，求的值．


结合他们的对话，通过计算求得的值是（    ）
A．-4 B．-3 C．3 D．4
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学八年级开学考试）如图，某小区规划在正方形ABCD场地中建一条矩形甬道EFGH及一条平行四边形甬道MNQP，其余部分为草坪，若，，则甬道所占的面积为（    ）

A． B． C． D．
3．（2022·全国·八年级课时练习）正整数a、b分别满足，，则（    ）
A．4 B．8 C．9 D．16

4．（2021·山西临汾·八年级期中）代数中的很多等式可以用几何图形来直观地表示，例如：如图1，现有类正方形卡片2张、类正方形卡片2张和类长方形5张，可以拼成如图2的所示的一个长为、宽为的大长方形，可以说明成立，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是（    ）

A．方程思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．分类讨论思想
5．（2022·河北·黄骅市第二中学八年级期末）计算的结果为（    ）
A． B．
C． D．
6．（2022·山东·东营市东营区实验中学八年级阶段练习）把多项式分解因式等于（    ）
A． B．
C．m（a﹣2）（m﹣1） D．m（a﹣2）（m＋1）
7．（2022·北京十四中八年级期中）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（    ）
A． B．
C． D．
8．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）下列属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级阶段练习）将多项式因式分解正确的是（    ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2022·全国·八年级课时练习）把写成公式的形式：_______．
11．（2022·山西晋城·八年级期末）如图是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式______________．

12．（2022·全国·八年级专题练习）分解因式：______．
13．（2022·河南·南阳市宛城区官庄镇第一初级中学八年级阶段练习）与的公因式是_______．
14．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级阶段练习）分解因式：______．
15．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级阶段练习）分解因式：______．
16．（2022·福建·晋江市南侨中学八年级阶段练习）当时，则=_____
三、解答题
17．（2022·湖北十堰·八年级期末）解不等式




18．（2022·吉林·长春高新技术产业开发区尚德学校八年级期中）因式分解：
(1)；
(2)






19．（2022·全国·八年级课时练习）如图，有一个边长为米的正方形池塘，为了创建文明农村，需在南北方向上扩大3米，东西方向上减少3米，从而得到一个长方形池塘．

(1)求改造后的长方形池塘的面积；
(2)改造后的长方形池塘的面积比原正方形池塘的面积变大还是变小了，请通过计算说明．




20．（2022·全国·八年级课时练习）计算：
(1)已知，求的值；
(2)已知实数m、n满足m2﹣10mn+26n2+4n+4＝0，求mn的值．




21．（2022·全国·八年级课时练习）







22．（2022·北京市第一六六中学八年级期中）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．

(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：______；
(2)解决问题：如果，，求的值；
(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．








【典型】
一、单选题
1．（2022·吉林长春·八年级期末）计算的结果是（  ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学八年级期中）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（  ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·八年级）如图是正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类．现有A类卡片4张，B类卡片1张，C类卡片4张，则这9张卡片能拼成的正方形的边长为（　　）

A．a+2b B．2a+b C．2a+2b D．a+b
4．（2022·全国·八年级）下列运算正确的是（   ）
A．(a＋b)(a－2b)=a2－2b2 B．
C．－2(3a－1)=－6a＋1 D．(a＋3)(a－3)=a2－9
5．（2022·山东临沂·八年级期末）如图的面积关系，可以得到的恒等式是（　　）

A．m（a+b+c）＝ma+mb+mc B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
6．（2022·宁夏吴忠·八年级期末）已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣1
7．（2022·福建·建宁县城关中学八年级阶段练习）下列等式不成立的是（　　）
A．m2﹣16=（m﹣4）（m+4） B．m2+4m=m（m+4）
C．m2﹣8m+16=（m﹣4）2 D．m2+3m+9=（m+3）2
二、填空题
8．（2022·湖南湘西·八年级期末）若，，则________________．
9．（2022·全国·八年级课时练习）若是一个完全平方数，则比大的最小完全平方数是______________．
10．（2022·全国·八年级课时练习）已知关于x、y的方程组，则代数式22x•4y＝_____．
11．（2022·四川师范大学附属实验学校八年级期中）分解因式：x2﹣4=__．
三、解答题
12．（2022·江西抚州·八年级期末）在理解例题的基础上，完成下列两个问题：
例题：若m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m和n的值；
解：由题意得：（m2+2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，
∴（m+n）2+（n﹣2）2＝0
∴，解得．请解决以下问题：
(1)若x2+4xy+5y2﹣4y+4＝0，求yx的值；
(2)若a，b，c是△ABC的边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52，c是△ABC的最长边，且c为偶数，则c可能是哪几个数？




13．（2022·辽宁·阜新市第十中学八年级期中）因式分解：（1）；（2）




14．（2022·江苏·八年级专题练习）已知实数、互为相反数，、互为倒数，是的整数部分，是的小数部分．求代数式的值．







15．（2022·全国·八年级课时练习）计算:(1)               (2)



【易错】
一．选择题（共9小题）
1．（2022春•西湖区校级期中）计算0.752022×（）2023的结果是（　　）
A． B． C．0.75 D．﹣0.75
2．（2022•迎泽区校级模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．a2+a3＝a5 C．x2⋅x3＝x6 D．（x2）5＝x10
3．（2022春•高新区校级期末）若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，则a的值为（　　）
A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5
4．（2022•宁德模拟）若一个整数能表示成a2+b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“和平数”．例如，因为2＝12+12，所以2是“和平数”．已知S＝x2+2x+k（x是任意整数，k是常数），若S为“和平数”，则下列k值中不符合要求的是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．17
5．（2022春•宁远县月考）已知a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2022春•榕城区期末）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
7．（2022春•高新区月考）已知x2+x+1＝0，则x2019+x2018+x2017+…+x+1的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
8．（2022春•清城区期中）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若a2+2ab+b2＝c2+24，a+b﹣c＝4，则△ABC的周长是（　　）
A．3 B．6 C．8 D．12
9．（2022春•龙岗区期末）若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
二．填空题（共4小题）
10．（2022春•富川县期末）比较大小：275　 　350．（填“＞”、“＜”或“＝”）
11．（2022春•榆次区期中）如图，两个正方形的边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝10，ab＝6，则阴影部分的面积为 　 　．

12．（2022春•沭阳县期中）计算：（﹣2）2021×（）2022＝　 　．
13．（2022春•新泰市期末）如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和15，则正方形A，B的面积之和为 　 　．

三．解答题（共6小题）
14．（2022秋•丰城市期中）已知32x＝2016，63y＝2016，求（x﹣1）（y﹣1）的值．




15．（2022秋•宛城区校级月考）因式分解：
（1）﹣4（xy+1）2+16（1﹣xy）2；
（2）（x2﹣3）2+2（3﹣x2）+1；
（3）x2﹣ax﹣bx+ab．





16．（2022春•嵊州市期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

（1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片 　 　张．
（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；
②已知（x﹣2019）2+（x﹣2021）2＝20，求x﹣2020的值．








17．（2022秋•江北区校级月考）对任意一个三位数m，如果m满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“幸福数”，将m的百位数字调到个位可以得到一个新的三位数，不断重复此操作共可得到两个不同的新三位数，把这两个新数与原数m的和与111的商记为F（m）．例如，456是“幸福数”，不断将456的百位数字调到个位可得564，645，．
（1）求F（789），F（547）．
（2）已知s＝100x+12，t＝346+y（1≤x≤y≤9，x，y为整数），若s、t均为“幸福数”，且F（s）+F（t）可被6整除，求F（s+t）的值．





18．（2021秋•晋江市期中）阅读材料，解答问题：
我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实多项式的因式分解还有别的方法，
下面再介绍一种方法：“添（拆）项分组分解法”．
例题：x3+8＝x3+2x2﹣2x2+8（添上2x2，再减去2x2使多项式的值不变）
＝（x3+2x2）﹣（2x2﹣8）（分成两组）
＝x2（x+2）﹣2（x+2）（x﹣2）（两组分别因式分解）
＝　 　（两组有公因式，再提公因式）
（1）请将上面的例题补充完整；
（2）仿照上述方法，因式分解：64x4+1；
（3）若a，b，c是△ABC三边长，满足3a2+4b2﹣6a﹣16b+19＝0，且c为整数，试判断△ABC的形状，并说明理由．






19．（2021春•两江新区期中）对于一个四位数n，将这个四位数n千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数n′，将交换后的数与原数求和后再除以101，所得的商称为原数的“一心一意数”，记作F（n）＝，如n＝5678，对调数字后得n′＝7856，所以F（n）＝＝134．
（1）直接写出F（2021）＝　 　；
（2）求证：对于任意一个四位数n，F（n）均为整数；
（3）若s＝3800+10a+b，t＝1000b+100a+13（1≤a≤5，5≤b≤9，a、b均为整数），当3F（t）﹣F（s）的值能被8整除时，求满足条件的s的所有值．
【压轴】
一、单选题
1．（2022·山东·新泰市宫里镇初级中学八年级阶段练习）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（    ）
A．56 B．60 C．62 D．88
二、填空题
2．（2022·重庆实验外国语学校八年级阶段练习）某商场为了促销准备开展两轮抽奖活动．第一轮的奖品有、、．奖品、、的数量比是1：2：3，与的单价之和是的单价的三分之一，、、的单价之和超过25元且不超过50元．第二轮的奖品有、、．奖品的数量比的数量少20％，的数量也比的数量少20％，的单价比的单价多三分之一，的单价是的单价的两倍，的单价与单价相同．已知第二轮奖品和的总价比第一轮三种奖品总价少407元，第一轮和第二轮奖品数量总和超过260件且不超过360件，若所有奖品的单价和数量都是整数，则奖品的总价为________元．
3．（2022·重庆黔江·八年级期末）若多项式是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q是_______．
4．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校八年级期末）观察下列各式：
；   
；
；
；
⋯⋯⋯，
则______
5．（2022·全国·八年级专题练习）已知，，，则代数式的值为______．


三、解答题
6．（2022·浙江台州·八年级期末）学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：

(1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子
①化简：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝ ；
②计算：（993＋1）÷（992－99＋1）＝ ；
(2)【公式运用】已知：＋x＝5，求的值：
(3)【公式应用】如图，将两块棱长分别为a、b的实心正方体橡皮泥揉合在一起，重新捏成一个高为的实心长方体，问这个长方体有无可能是正方体，若可能，a与b应满足什么关系？若不可能，说明理由．








7．（2022·福建厦门·八年级期末）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：（p，q是正整数，且），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定；，例如12可以分解成，或，因为，所以是12的最佳分解，所以．
(1)求；
(2)如果一个正整数只有1与m本身两个正因数，则m称为质数．若质数m满足，求m的值；
(3)是否存在正整数n满足，若存在，求n的值：若不存在，说明理由．




8．（2022·全国·八年级专题练习）若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令A＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M（b+d，a+b+c+d）为整式A的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，则a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A的关联点为（6，1）．
（1）若A＝x3+x2﹣2x+4，则A的关联点坐标为 　 　．
（2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣2）（x+2）的乘积，若整式C的关联点为（6，﹣3），求整式B的表达式．
（3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次多项式，整式F是整式D与整式E的平方的乘积，若整式F的关联点为（﹣200，0），请直接写出整式E的表达式．






9．（2022·广东·江门市第二中学八年级开学考试）在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．
（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；
（2）当a+b＝0时，
①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF；
②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．





10．（2022·全国·八年级专题练习）已知：                
                

（1）当时，______．
（2）试求：的值．
（3）判断的值的个位数是______．







11．（2022·全国·八年级专题练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，
解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1
=(a+3)2－12=
②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值．
解：
∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：．
（2）若，求M的最小值．
（3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．





12．（2022·湖南长沙·八年级阶段练习）已知实数a，b，c满足，，求的值．









13．（2022·全国·八年级专题练习）【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式进行因式分解呢？我们已经知道，(a1x + c1)(a2x + c2) = a1a2x2 + a1c2x + a2c1x + c1c2= a1a x2 +(a1c2+ a2c1 ) x + c1c2．
反过来，就得到：．
我们发现，二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把a1， a2 ， c1 ， c2如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么就可以分解为(a1x + c1 )(a2 x + c2 )，其中a1 ， c1位于图的上一行，a2 ， c2位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2= －1，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为(x + 2)(x - 3)．
请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：= ．
            
【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（1）= ；
（2）= ．
【探究与拓展】
对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq + np = b ， pk + qj = e ，mk + nj = d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式= (mx + py + j)(nx + qy + k )，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
（1）分解因式= ；
（2）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求m的值；
（3）已知x，y为整数，且满足，请写出一组符合题意的x，y的值．




14．（2022·河北·高阳县教育局教研室八年级期末）阅读材料
小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．
小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．
他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：

也就是说，只需用x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2=7，即可得到一次项系数．
延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3，3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2，3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项2，2x+3的常数项3，相乘得到18．最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
（1）计算（2x+1）（3x+2）所得多项式的一次项系数为　 　．
（2）计算（x+1）（3x+2）（4x﹣3）所得多项式的一次项系数为　 　．
（3）若计算（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式的一次项系数为0，则a=　 　．
（4）若x2﹣3x+1是x4+ax2+bx+2的一个因式，则2a+b的值为　 　．