备注2023年新中考数学二轮专题导练 考点11 几何最值问题

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考点11几何最值问题
考点精讲
类型一：将军饮马模型与最值问题
【模型引入】
什么是将军饮马？
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【模型描述】
如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？

【模型抽象】
如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？

这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
【模型解析】
作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB


当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）

【模型展示】
【模型】一、两定一动之点点
在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．

此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．
【模型】二、两定两动之点点
在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。
【模型】三、一定两动之点线
在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
类型二：胡不归中的双线段模型与最值问题
【考点说明】
胡不归模型问题解题步骤如下；
1、将所求线段和改写为“PA+PB”的形式（1，提取系数，转化为小于1的形式解决。
2、在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα=
3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题
【模型展示】
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1