备注2023年新中考数学二轮专题导练 考点03 方程的运算及应用问题

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考点03   方程的运算及应用问题考点精讲类型一：一元一次方程及应用考点01：一元一次方程的概念
1.一元一次方程：
一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。
要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的次数是1次；
（3）整式方程．注意：方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。2.方程的解：
判断一个数是否是某方程的解,将其代入方程两边，看两边是否相等．
考点02：一元一次方程的解法
1.方程的同解原理（也叫等式的基本性质）性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。要点诠释：
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
2.解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，依据等式基本性质2，注意防止漏乘（尤其整数项），注意添括号。（2）去括号  一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，依据去括号法则、分配律，注意变号，防止漏乘。（3）移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)，依据等式基本性质1，移项要变号，不移不变号。（4）合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式，依据合并同类项法则，计算要仔细，不要出差错。（5）系数化为1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝b/a ,依据等式基本性质2，计算要仔细，分子分母勿颠倒。要点诠释：
理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:
①a≠0时，方程有唯一解x＝b/a ；
②a=0，b=0时，方程有无数个解；
③a=0，b≠0时，方程无解。
考点03：列一元一次方程解应用题
1.列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系。（2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．（3）列—列出方程：设出未知数后，利用等量关系写出等式，即列方程。（4）解—解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案，注意带上单位。
2.常见的一些等量关系
（1）行程问题：  距离=速度·时间     （2）工程问题：  工作量=工效·工时  （3）比率问题：  部分=全体·比率   （4）顺逆流问题：  顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；（5）商品价格问题：  售价=定价·折· ，利润=售价-成本， ；（6）周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π(R2-r2),V长方体=abc ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=πR2h.考点04：方程与整式、等式的区别
（1）从概念来看：
整式：单项式和多项式统称整式。
等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如2+3=5，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－3a+2b，3 m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。
方程：含有未知数的等式叫做方程。如5x＋3＝11。理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。两者缺一不可。
（2）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。
（3）从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知数。但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。类型二：二元一次方程及其应用1．二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程整式方程叫做二元一次。方程一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。2．二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组。3．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。4．二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。5．消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。（1）代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。（1）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。类型三：分式方程及其应用1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2．解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。（1）去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值;（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，原分式方程无解；若不等于零，就是原方程的根。 类型四：一元二次方程及其应用1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。3. 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。4.一元二次方程的解法有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。（1）直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。（2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上b2，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。（3）公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。，②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。③b2-4ac＜0时，方程无实数根。定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。（4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。5.一元二次方程根与系数的关系 如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。6.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。真题解析例题1．（2021·浙江温州市·中考真题）解方程，以下去括号正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】去括号得法则：括号前面是正因数，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号；括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项都变号．【详解】解：，故选：D．【点睛】此题主要考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．去括号注意几点：①不要漏乘括号里的每一项；②括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项一定都变号．2．（2021·山东临沂市·中考真题）方程的根是（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用因式分解法解方程即可得到正确选项．【详解】解：∵，∴，∴，∴x+7=0，x-8=0，∴x1=-7，x2=8．故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．3．（2021·四川成都市·中考真题）分式方程的解为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接通分运算后，再去分母，将分式方程化为整式方程求解．【详解】解：，，，，解得：，检验：当时，，是分式方程的解，故选：A．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是：去分母化为整式方程求解，最后需要对解进行检验．4．（2021·天津中考真题）方程组的解是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用加减消元法解该二元一次方程组即可．【详解】，②-①得：，即，∴．将代入①得：，∴．故原二元一次方程组的解为．故选B．【点睛】本题考查解二元一次方程组．掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解答本题的关键．5．（2021·四川泸州市·中考真题）关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是（  ）A．8 B．16 C． 32 D．16或40【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，先解得或，再分别代入一元二次方程中，利用完全平方公式变形解题即可．【详解】解：一元二次方程或当时，原一元二次方程为，，当时，原一元二次方程为原方程无解，不符合题意，舍去，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，韦达定理等知识，涉及解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 突破提升一、单选题1．（2021·四川绵阳·中考真题）关于的方程有两个不相等的实根、，若，则的最大值是（       ）A．1 B． C． D．22．（2021·广西河池·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定3．（2021·四川德阳·中考真题）关于x，y的方程组的解为，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（　　）A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣14．（2021·辽宁盘锦·中考真题）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得．设井深为尺，所列方程正确的是（       ）A． B． C． D．5．（2021·辽宁锦州·中考真题）二元一次方程组的解是（       ）A． B． C． D．二、填空题6．（2021·广东广州·中考真题）方程 x2-4x=0的实数解是 ____．7．（2021·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围为 ___．8．（2021·山东济南·中考真题）关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是__________．9．（2021·广西河池·中考真题）分式方程的解是____________．三、解答题10．（2021·江苏镇江·中考真题）（1）解方程：﹣＝0；（2）解不等式组：．
参考答案：1．D【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可．【详解】解：由方程有两个不相等的实根、可得，，，∵，可得，，即化简得则故最大值为故选D【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及了配方法求解代数式的最大值，根据一元二次方程根与系数的关系得到系数的关系是解题的关键．2．A【解析】【分析】先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解．【详解】解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2，∴，∴方程有两个不相等实数根．故选A.【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．3．B【解析】【分析】将k看作常数，解方程组得到x，y的值，根据P在直线上方可得到b＞a，列出不等式求解即可．【详解】解：解方程组可得，，∵点P（a，b）总在直线y=x上方，∴b＞a，∴，解得k＞-1，故选：B．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一次函数上点的坐标特征，解本题的关键是将k看作常数，根据点在一次函数上方列出不等式求解．4．A【解析】【分析】如图，设AD交BE于K．利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：如图，设AD交BE于K．∵DK∥BC，∴△EKD∽△EBC，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．5．C【解析】【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．【详解】解：，把②代入①得：4y＋y＝10，解得：y＝2，把y＝2代入②得：x＝4，则方程组的解为．故选：C．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．6．x1=0，x2=4．【解析】【分析】方程利用因式分解法求出解即可．【详解】解：方程x2-4x=0，分解因式得：x（x-4）=0，可得x=0或x-4=0，解得：x1=0，x2=4．故答案为：x1=0，x2=4．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7．且##a≠0且a≥-2【解析】【分析】根据题意可知，代入求解即可．【详解】解：一元二次方程ax2+4x﹣2＝0，，∵关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，∴且，即，解得：且故答案为：且．【点睛】本题考查了根的判别式，熟知：，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，方程无实数根，是解题的关键．8．-3【解析】【分析】由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．【详解】解：由题意把x=2代入一元二次方程得：，解得：，∴原方程为，解方程得：，∴方程的另一个根为-3；故答案为-3．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关键．9．【解析】【分析】按解分式方程的步骤求解即可．【详解】解得经检验，是原方程的解．故答案为：5．【点睛】本题考查了解分式方程，正确的计算是解题的关键．10．（1）x＝6；（2）x≥1【解析】【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可．【详解】解：（1）﹣＝0去分母得：3（x﹣2）﹣2x＝0去括号得：3x﹣6﹣2x＝0解得：x＝6检验：把x＝6代入得：x（x﹣2）＝24≠0∴分式方程的解为x＝6；（2）由①得：x≥1，由②得：x＞，则不等式组的解集为x≥1．【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解法以及不等式组的解法是解本题的关键．