8．5　空间直线、平面的平行

[A　基础达标]

1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是(　　)

A．直线m在平面α外

B．直线m与平面α内的两条直线平行

C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行

D．直线m与平面α内的一条直线平行

解析：选C.选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．

2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　)

A．GH∥SA

B．GH∥SD

C．GH∥SC

D．以上均有可能

解析：选B.因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.

3．已知直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，则a与b(　　)

A．相交　　　　　　　　　　 B．平行

C．异面   D．共面或异面

解析：选B.因为直线a∥α，a∥β，所以在平面α，β中分别有一直线平行于a，不妨设为m，n，所以a∥m，a∥n，所以m∥n.又α，β相交，m在平面α内，n在平面β内，所以m∥β，所以m∥b，所以a∥b.

4．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是　(　　)

A．E，F，G，H一定是各边的中点

B．G，H一定是CD，DA的中点

C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC

D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC

解析：选D.由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.

5．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为(　　)

A．都平行

B．都相交且一定交于同一点

C．都相交但不一定交于同一点

D．都平行或交于同一点

解析：选A.因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.

6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是对角线A1D、B1D1的中点，则正方体6个表面中与直线EF平行的平面有________________．

解析：如图，连接A1C1，C1D，

所以F为A1C1的中点，

在△A1C1D中，EF为中位线，

所以EF∥C1D，又EF⊄平面C1CDD1，

C1D⊂平面C1CDD1，所以EF∥平面C1CDD1.

同理，EF∥平面A1B1BA.

故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.

答案：平面C1CDD1和平面A1B1BA

7．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

解析：因为在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2.又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，

所以F为DC的中点，

所以EF＝AC＝.

答案：

8.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝AC，

所以EF∥AC，又E为AD的中点，AB＝2，

所以EF＝AC＝×＝.

答案：

9．如图所示，四棱锥P­ABCD的底面是边长为1的正方形，E为PC的中点，PF＝2FD，求证：BE∥平面AFC.

证明：如图，连接BD，交AC于点O，取PF的中点G，连接EG，ED，ED交CF于点M，连接MO.

在△PCF中，E，G分别为PC，PF的中点，

则EG∥FC.

在△EDG中，MF∥EG，且F为DG的中点，则M为ED的中点．

在△BED中，O，M分别为BD，ED的中点，

则BE∥MO.

又MO⊂平面AFC，BE⊄平面AFC，所以BE∥平面AFC.

10．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BDD1B1.

解：如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB.

因为OFB1C1，BEB1C1，

所以OFBE，所以四边形OFEB是平行四边形，所以EF∥BO.

因为EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，

所以EF∥平面BDD1B1.

[B　能力提升]

11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是(　　)

A．平行　　　　　　　　　　 B．相交

C．异面   D．不确定

解析：选A.因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.

12．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于a的直线(　　)

A．只有一条，不在平面α内

B．有无数条，一定不在α内

C．只有一条，一定在α内

D．有无数条，一定在α内

解析：选C.若这样的直线不只一条，由基本事实4知，这些直线互相平行，这与这些直线都过点P矛盾，因此只有一条．又由直线与平面平行的性质定理知，这条直线一定在α内．

13.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是(　　)

A．1  B．2

C．3   D．4

解析：选C.矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又OM⊄平面PCD，且OM⊄平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC均相交．

14.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.

证明：因为EF∥AB，

FG∥BC，EG∥AC，

∠ACB＝90°，所以△ABC∽△EFG，∠EGF＝90°，由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.如图，连接AF，

由于FG∥BC，FG＝BC，在▱ABCD中，M是线段AD的中点，则AM∥BC，且AM＝BC，

因此FG∥AM且FG＝AM，

所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA.

又FA⊂平面ABFE，GM⊄平面ABFE，

所以GM∥平面ABFE.

[C　拓展探究]

15．如图，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D1为A1C1上的点．当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?

解：如图，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1.

连接A1B交AB1于点O，连接OD1.

由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．

在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，

所以OD1∥BC1.

又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，

所以BC1∥平面AB1D1.

所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.