2023届高考数学二轮复习专题三第1讲空间几何体学案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题三第1讲空间几何体学案，共10页。学案主要包含了易错提醒，素养提升等内容，欢迎下载使用。
专题三　立体几何第1讲　空间几何体考情分析几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积与体积计算是高考题的重点与热点，主要以选择题、填空题的形式进行考查，在解答题中，有时与空间线、面位置关系的证明结合，面积与体积的计算作为其中的一问．自主先热身　真题定乾坤ZIZHUXIANRESHENZHENTIDINGQIANKUN　真题热身1．(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝(　C　)A．　　 B．2　　C．　　 D．【解析】　设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，则＝＝＝2，所以r1＝2r2，又＋＝2π，则＝1，所以r1＝l，r2＝l，所以甲圆锥的高h1＝＝l，乙圆锥的高h2＝＝l，所以＝＝＝.故选C.2．(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为(　A　)A．　　 B．　　C．　　 D．【解析】　因为AC⊥BC，AC＝BC＝1，所以底面ABC为等腰直角三角形，所以△ABC所在的截面圆的圆心O1为斜边AB的中点，所以OO1⊥平面ABC，在Rt△ABC中，AB＝＝，则AO1＝，在Rt△AOO1中，OO1＝＝，故三棱锥O－ABC的体积为V＝·S△ABC·OO1＝××1×1×＝.故选A.3．(2021·全国新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　B　)A．2　　 B．2　　C．4　　 D．4【解析】　由题意，设母线长为l，因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有2π·＝π·l，解得l＝2，所以该圆锥的母线长为2.故选B.4．三棱柱ABC－A1B1C1底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为(　B　)A．　　 B．　　C．　　 D．【解析】　设A到平面A1BC距离为h，∵VA1－ABC＝VA－A1BCS△ABC·AA1＝S△A1BC·h，∴××22×1＝×2×h，∴h＝，选B.5．(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　C　)A．　　 B．　　C．　　 D．【解析】　设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为α，则SABCD＝·AC·BD·sin α≤·AC·BD≤·2r·2r＝2r2(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2，又r2＋h2＝1，则VO－ABCD＝·2r2·h＝≤＝，当且仅当r2＝2h2即h＝时等号成立，故选C.感悟高考1．该部分在高考中一般会以“两小”或“一小”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积．2．考查一个小题时，本小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查2个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第10～16题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查． 核心拔头筹　考点巧突破HEXINBATOUCHOUKAODIANQIAOTUPO　考点一　表面积与体积1．旋转体的侧面积和表面积(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长).(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长).(3)S球表＝4πR2(R为球的半径).2．空间几何体的体积公式V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)；V锥＝Sh(S为底面面积，h为高)；V球＝πR3(R为球的半径).典例1 (1)已知某圆台的高为1，上底面半径为1，下底面半径为2，则侧面展开图的面积为(　D　)A．3π　　 B．6π　　C．6π　　 D．3π【解析】由题意知圆台母线长为＝，且上底面圆周为2π，下底面圆周为4π，圆台侧面展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为：＝，则圆环所在的大圆半径为2，∴侧面展开图的面积为S＝×4π×2－×2π×＝3π.故选D.(2)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D－BB1C1的体积为____．【解析】如图，取BC的中点O，连接AO.∵正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，∴AC＝2，OC＝1，则AO＝.∵AA1∥平面BCC1B1，∴点D到平面BCC1B1的距离为.又S△BB1C1＝×2×2＝2，∴VD－BB1C1＝×2×＝.【易错提醒】(1)计算表面积时，有些面的面积没有计算到(或重复计算).(2)一些不规则几何体的体积不会采用分割法或补形思想转化求解．(3)求几何体体积的最值时，不注意使用基本不等式或求导等确定最值．1．(1)(2022·山东省实验中学模拟)我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为(　B　)A．13.25立方丈　　 B．26.5立方丈C．53立方丈　　 D．106立方丈(2)如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，D和E分别是边BC和AC上异于端点的点，DE⊥BC，将△CDE沿DE折起，使点C到点P的位置，得到四棱锥P－ABDE，则四棱锥P－ABDE的体积的最大值为____．【解析】(1)由题意知，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)，故选B.(2)设CD＝DE＝x(0<x<1)，则四边形ABDE的面积S＝(1＋x)(1－x)＝(1－x2)，当平面CDE⊥平面ABDE时，四棱锥P－ABDE的体积最大，此时PD⊥平面ABDE，且PD＝CD＝x，故四棱锥P－ABDE的体积V＝S·PD＝(x－x3)，则V′＝(1－3x2).当x∈时，V′>0；当x∈时，V′<0.∴当x＝时，Vmax＝.考点二　多面体与球解决多面体与球问题的两种思路(1)利用构造长方体、正四面体等确定直径．(2)利用球心O与截面圆的圆心O1的连线垂直于截面圆的性质确定球心．典例2(1)《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，EF∥平面ABCD，EF＝2，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为(　B　)A．π　　 B．π　　C．π　　 D．4π【解析】连接AC，BD交于点M，取EF中点O，则OM⊥面ABCD，取BC中点G，连接FG，作GH⊥EF，由题意可得HF＝，FG＝，则HG＝，则OM＝HG＝，则OA＝＝1，又OE＝1，即OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF＝1，即这个几何体的外接球的球心为O，半径为1，则这个几何体的外接球的体积为π，故选B.(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__π__．【解析】圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，则PD＝2，△PEO∽△PDB，故＝，即＝，解得r＝，故内切球的体积为π＝π.【素养提升】(1)长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长．(2)三棱锥S－ABC的外接球球心O的确定方法：先找到△ABC的外心O1，然后找到过O1的平面ABC的垂线l，在l上找点O，使OS＝OA，点O即为三棱锥S－ABC的外接球的球心．(3)多面体的内切球可利用等积法求半径．2．(1)已知一个圆柱的底面直径与高都等于球O的半径，则该圆柱的表面积与球O的表面积之比为(　C　)A．3∶16　　 B．1∶4C．3∶8　　 D．1∶1(2)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　C　)A．36π　　 B．64π　　C．144π　　 D．256π【解析】(1)设球的半径为R，则圆柱的表面积S1＝2π＋2π·R＝πR2，球的表面积S2＝4πR2，S1∶S2＝πR2∶4πR2＝3∶8，故选C.(2)如图所示，设球O的半径为R，因为∠AOB＝90°，所以S△AOB＝R2，因为VO－ABC＝VC－AOB，而△AOB的面积为定值，当点C位于垂直于平面AOB的直径端点时，三棱锥O－ABC的体积最大，此时VO－ABC＝VC－AOB＝×R2×R＝R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π.