2024届高考数学一轮复习第6章第1节空间几何体学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第6章第1节空间几何体学案，共20页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第一节　空间几何体
考试要求：1．认识柱、锥、台及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆锥、棱柱及其简易组合)的直观图．
3．知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．

一、教材概念·结论·性质重现
1．多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形



底面
互相平行且全等
多边形
互相平行
侧棱
平行且相等
相交于一点但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
2．旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形




母线
相互平行且相等并垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点

轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆
侧面
展开图
矩形
扇形
扇环

3．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)“斜”：在直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°．
(2)“二测”：图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线，在直观图中长度为原来的一半．

画直观图要注意平行，还要注意长度及角度两个要素．
4．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱
圆锥
圆台
侧面
展开图



侧面积
公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
5．空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝S底·h
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝13S底·h
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋
S上＋S下
V＝13(S上＋S下＋
S上S下)h
球
S＝4πR2
V＝43πR3


(1)求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积时，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．
(2)常常利用一些几何体的展开图解决表面上的最短距离问题.
(3)求几何体的体积时，要注意利用分割、补形与等体积法．
6．常用结论
几个与球有关的切、接常用结论：
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R.
①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2+b2+c2.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

解决与球“外接”问题的关键：(1)确定球心．(2)构造正(长)方体等特殊几何体．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． (　×　)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． (　×　)
(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．(　√　)
(4)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS. (　×　)
2．如图，长方体ABCD-A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是(　　)

A．棱台 B．四棱柱
C．五棱柱 D．简单组合体
C　解析：由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．
3．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D．32 cm
B　解析：S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，所以r2＝4，所以r＝2 cm.
4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．12π B．32π3
C．8π D．4π
A　解析：由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为23即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π.故选A．
5．在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.

矩形　8　解析：由斜二测画法的规则可知，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.


考点1　空间几何体的结构特征与直观图——基础性

1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)
A．圆柱
B．圆锥
C．球
D．圆柱、圆锥、球体的组合体
C　解析：截面是任意的，且都是圆面，则该几何体为球体．
2．下列命题正确的是(　　)
A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
C　解析：由圆锥、圆台、圆柱的定义可知A，B错误，C正确．对于D，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，D不正确．
3．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是(　　)

A．正方形　　　　　
B．矩形
C．菱形
D．一般的平行四边形
C　解析：如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2 cm.
所以OC＝OD2+CD2＝422+22＝6(cm)，
所以OA＝OC，所以四边形OABC是菱形．

4．(多选题)下列命题中正确的是(　　)
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
C．存在每个面都是直角三角形的四面体
D．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
BC　解析：A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；C正确，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形；D不正确，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．


1．解决空间几何体的结构特征的判断问题，其主要方法是定义法，即紧扣定义来判断，或列举反例进行判断．解答此类问题常常由于定义理解出错，如第2题有可能错选A，B，D，第4题错选A，D等．
2．解决直观图问题，要理解并学会运用斜二测画法规则．

考点2　空间几何体的表面积与体积——综合性

考向1　空间几何体的表面积问题
(1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　)
A．2　　　B．22　　　C．4　　　D．42
B　解析：由题意知圆锥的底面周长为22π.设圆锥的母线长为l，则πl＝22π，即l＝22.故选B．
(2)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为(　　)

A．4＋42 B．4＋43
C．12 D．8＋42
A　解析：连接A1B．因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝22，所以BC＝2.又AB⊥BC，则AB＝2，则该三棱柱的侧面积为22×2＋2×2＝4＋42.

(3)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝______cm2.

2 600π　解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝12×(50＋80)×(π×40)＝2 600π(cm2)．

求解几何体表面积的类型及求法
求多面体的
表面积
只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体的
表面积
可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则几何
体的表面积
通常将所给几何体分割成规则的柱体、锥体、台体，先求出这些规则的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积

1．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
12　解析：设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.由题意，得13×6×12×2×3×h＝23，所以h＝1，所以斜高h′＝12+32＝2，所以S侧＝6×12×2×2＝12.
2．《九章算术》是我国古代数学名著，它在书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．已知一个堑堵的底面积为6，体积为4π3的球与其各面均相切，则该堑堵的表面积为________．
36　解析：设球的半径为r，底面三角形的周长为l，由已知得r＝1，所以堑堵的高为2.则12lr＝6，l＝12，所以表面积S＝12×2＋6×2＝36.
考向2　空间几何体的体积问题
(1)如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为(　　)

A．312 B．34
C．612 D．64
A　解析：易知三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积，又三棱锥A­B1BC1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.
(2)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________．
61π　解析：圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，

如图，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O′，
则圆台的高OO′＝OQ2-O'Q2＝52-42＝3.
据此可得圆台的体积V＝13π×3×(52＋5×4＋42)＝61π.

求空间几何体的体积的常用方法
公式法
对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解
割补法
把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积
等体
积法
一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．通过选择合适的底面来求几何体体积，主要用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积

1．(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若S甲S乙＝2，则V甲V乙＝(　　)
A．5 B．22
C．10 D．5104
C　解析：如图，

甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径(即圆锥母线)为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则2πr1＝4π，2πr2＝2π，解得r1＝2，r2＝1，由勾股定理可得h1＝5，h2＝22，所以V甲V乙＝13πr12h113πr22h2＝10.
2．如图，已知体积为V的三棱柱ABC­A1B1C1，P是棱B1B上除点B1，B外的任意一点，则四棱锥P­AA1C1C的体积为________．

2V3　解析：如图，把三棱柱ABC­A1B1C1补成平行六面体A1D1B1C1­ADBC．设点P到平面AA1C1C的距离为h，则VP­AA1C1C＝13SAA1C1C·h＝13VAA1C1C­DD1B1B＝13·2VABC­A1B1C1＝2V3.


考点3　与球有关的切、接问题——综合性

考向1　“相切”问题
已知正四面体P­ABC的表面积为S1，此四面体的内切球的表面积为S2，则S1S2＝________．
63π　解析：设正四面体的棱长为a，则正四面体的表面积为S1＝4×34×a2＝3a2，其内切球半径r为正四面体高的14，即r＝14×63a＝612a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝πa26，则S1S2＝3a2πa26＝63π.

本例中若把“正四面体”改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球的体积为323π，内切球的体积为32π3．


处理与球有关内切问题的策略
解答此类问题时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作，利用体积分割法求内切球半径.
考向2　“相接”问题
已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)
A．3172 B． 210
C．132 D．310
C　解析：如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.

又AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝522+62＝132.

处理与球有关外接问题的策略
1．构造正(长)方体等特殊几何体转化为特殊几何体的外接球问题．
2．空间问题平面化，把平面问题转化到直角三角形中，作出适当截面(过球心、接点等)．
3．利用球与截面圆心的连线垂直于截面，确定球心所在的直线．

1．(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．100π B．128π
C．144π D．192π
A　解析：由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为332sin60°＝3，下底面所在平面截球所得圆的半径为432sin60°＝4，如图，设球的半径为R，则轴截面中由几何知识可得R2-32-R2-42＝1，解得R＝5，
该球的表面积为4πR2＝4π×25＝100π.

2．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
23π　解析：方法一：如图，在圆锥的轴截面ABC中，CD⊥AB，BD＝1，BC＝3，圆O内切于△ABC，E为切点，连接OE，则OE⊥BC．在Rt△BCD中，CD＝BC2-BD2＝22.易知BE＝BD＝1，则CE＝2.设圆锥的内切球半径为R，则OC＝22－R，在Rt△COE中，OC2－OE2＝CE2，即(22－R)2－R2＝4，所以R＝22，圆锥内半径最大的球的体积为43πR3＝23π.
方法二：如图，记圆锥的轴截面为△ABC，其中AC＝BC＝3，AB＝2，CD⊥AB，在Rt△BCD中，CD＝BC2-BD2＝22，则S△ABC＝22.设△ABC的内切圆O的半径为R，则R＝2×S△ABC3+3+2＝22，所以圆锥内半径最大的球的体积为43πR3＝23π.

课时质量评价(三十二)
A组　全考点巩固练
1．(2022·潍坊一模)以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为(　　)
A．2π B．8π
C．2π3 D．8π3
B　解析：以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体是底面半径为2，高为2的圆柱体，该圆柱体的体积为V＝π×22×2＝8π.
2．如图，一平面图形的直观图是一个等腰梯形OABC，且该梯形的面积为2，则原图形的面积为(　　)

A．2 B．2
C．22 D．4
D　解析：由斜二测画法知原图形仍为梯形，上、下两底长度不变，高为直观图中梯形高的42倍，故原图形的面积为2×42＝4.
3．棱长为a的正四面体的表面积是(　　)
A．36a2 B．312a2
C．34a2 D．3a2
D　解析：棱长为a的正四面体的四个面都是正三角形，正四面体的表面积是4×34a2＝3a2.
4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．意思是：球的体积V乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时球的表面积S的计算公式为(　　)
A．S＝278d2 B．S＝272d2
C．S＝92d2 D．S＝1114d2
A　解析：因为316V9＝d，所以V＝9d316＝4π3d23，所以π＝278，所以S＝4πd22＝4×278×d24＝278d2.故选A．
5．(多选题)如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，则(　　)

A．该圆锥的母线长为5
B．该圆锥的体积为12π
C．该圆锥的表面积为15π
D．三棱锥S­ABC体积的最大值为12
ABD　解析：该圆锥的母线长为32+42＝5，A正确；该圆锥的体积为13×π×32×4＝12π，B正确；该圆锥的表面积为π×3×(3＋5)＝24π，C错误；当OB⊥AC时，△ABC的面积最大，此时S△ABC＝12×6×3＝9，三棱锥S­ABC体积的最大值为13×9×4＝12，D正确．故选ABD．
6．一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为π2的扇形，则该圆锥的表面积为________．
54π　解析：设圆锥的底面半径为r，则有2πr＝π2×2，解得r＝12，所以圆锥的表面积为π×2×12＋π×122＝5π4.
7．已知体积为8的正方体内接于球O，求球O的表面积．
解：由题意可知正方体的边长是2，则球O的直径为23，因此半径是3，则球的表面积是4πR2＝12π.
B组　新高考培优练
8．《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h，用该术可求得圆周率π的近似值．现用该术求得π的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为9，则该圆锥体积的近似值为(　　)
A．3 B．23
C．33 D．3
A　解析：圆锥的体积V＝13πL2π2h＝L212πh≈136L2h，解得π≈3，则设所求圆锥的底面直径与母线长为x(x>0)，则底面半径为x2，则S＝πx22＋12πx2＝34πx2≈94x2＝9，解得x＝2，设高为h，则V＝13 x22πh＝13π·x2-x22＝33π≈3.故选A．
9．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥A­BCD的每个顶点都在球O的球面上，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝3，BC＝2，利用张衡的结论可得球O的表面积为(　　)
A．30 B．1010
C．33 D．1210
B　解析：因为BC⊥CD，所以BD＝7，又AB⊥底面BCD，所以球O的球心为侧棱AD的中点，从而球O的直径为10.利用张衡的结论可得π216＝58，则π＝10，所以球O的表面积为4π1022＝10π＝1010.故选B．
10．(2022·全国乙卷)已知球的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　)
A．13 B．12
C．33 D．22
C　解析：由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大．设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，则r＝22a，该四棱锥的高h＝1-a22，所以该四棱锥的体积V＝13a21-a22＝43a24·a24·1-a22≤43a24+a24+1-a2233＝43133＝4327，当且仅当a24＝1－a22，即a2＝43时，等号成立．
该四棱锥的体积最大时，其高h＝1-a22＝1-23＝33.
11．在空间中，定义“点到几何图形的距离”为：这个点到几何图形上各点距离中的最小值．现有边长为2的正方形ABCD，则到定点A距离为1的点围成的几何体的体积为____________；该正方形ABCD区域(包括边界以及内部的点)记为Ω，则到Ω距离等于1的点所围成的几何体的体积为________．
4π3　8＋16π3　解析：到定点A距离等于1的点所围成的几何体是半径为1的球，其体积V＝4π3×13＝4π3.由题意可知，几何体为组合体，是一个棱长为2的正方体和四个高为2，底面半径为1的半圆柱及四个半径为1的四分之一球，其体积为V＝2×2×2＋4×12×π×12×2＋4×14×4π3×13＝8＋16π3.
12．如图甲是一水晶饰品，名字叫梅尔卡巴，其对应的几何体叫星形八面体，也叫八角星体，是一种二复合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成，且所有面都是全等的小正三角形，如图乙所示．若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2，则该星形八面体的体积为________．

2　解析：由题知星形八面体体积为一个棱长为2的大正四面体与四个棱长为1的小正四面体的体积之和，故体积为212×23＋4×212×13＝2.
13．若E，F是三棱柱ABC­A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A­BEFC的体积.
解：如图所示，连接AB1，AC1.

因为B1E＝CF，所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．
又四棱锥A­BEFC的高与四棱锥A­B1EFC1的高相等，
所以VA­BEFC＝VA­B1EFC1＝12VA­BB1C1C．
又VA­A1B1C1＝13S△A1B1C1·AA1，VABC­A1B1C1＝S△A1B1C1·AA1＝m，
所以VA­A1B1C1＝m3，
所以VA­BB1C1C＝VABC­A1B1C1-VA­A1B1C1＝2m3，
所以VA­BEFC＝12×2m3＝m3，
即四棱锥A­BEFC的体积是m3.