2023高考数学二轮复习专题39 双曲线及其性质（解析版）

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专题39 双曲线及其性质
【考点预测】
知识点一：双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．
（3）时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．
知识点二：双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质
标准方程


图形

A2

焦点坐标
，
，
对称性
关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
，
，
范围


实轴、虚轴
实轴长为，虚轴长为
离心率

渐近线方程
令，
焦点到渐近线的距离为
令，
焦点到渐近线的距离为

点和双曲线
的位置关系


共焦点的双曲线方程


共渐近线的双曲线方程


切线方程
为切点
为切点
切线方程
对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．
切点弦所在直线方程
为双曲线外一点
为双曲线外一点
点为双曲线与两渐近线之间的点
弦长公式
设直线与双曲线两交点为，，．
则弦长，
，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．
通径
通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为

焦点三角形
双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，
设，，，则，
，
焦点三角形中一般要用到的关系是

等轴双曲线
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．
【方法技巧与总结】
（1）双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．
（2）点与双曲线的位置关系
对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．
点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析．
（3）双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;
性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
（5）双曲线的切线
点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为
【题型归纳目录】
题型一：双曲线的定义与标准方程
题型二：双曲线方程的充要条件
题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
题型四：双曲线上两点距离的最值问题
题型五：双曲线上两线段的和差最值问题
题型六：离心率的值及取值范围
方向1：利用双曲线定义去转换
方向2：建立关于和的一次或二次方程与不等式
方向3：利用，其中为焦距长，
方向4：坐标法
方向5：找几何关系，利用余弦定理
方向6：找几何关系，利用正弦定理
方向7：利用基本不等式
方向8：利用渐近线的斜率求离心率
方向9：利用双曲线第三定义
方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围
题型七：双曲线的简单几何性质问题
题型八：利用第一定义求解轨迹
题型九：双曲线的渐近线
题型十：共焦点的椭圆与双曲线
【典例例题】
题型一：双曲线的定义与标准方程
例1．（2022·全国·高三专题练习）－＝4表示的曲线方程为（    ）
A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2)
C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)
【答案】C
【解析】根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合.
根据双曲线定义可知，
所以  
由焦点在y轴上，所以
，且到点 的距离比较大
所以
即曲线方程为
故选：C.
【方法技巧与总结】
求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：
（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数，，，即利用待定系数法求方程.
（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程.
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，.双曲线上有一点，若，则______.
【答案】1或13
【解析】因为双曲线：，
所以a=3，
所以，
又因为，
所以或，
故答案为：1或13.
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为________．
【答案】
【解析】根据题意知，，所以点在渐近线方程的右下方，
所以该双曲线的焦点在轴上，设标准方程为，且；
又，所以；
又1，即1，
解得，，
所以双曲线的标准方程是．
故答案为：
例4．（2022·全国·高三专题练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为______．
【答案】
【解析】由双曲线可得焦点坐标为，
设所求双曲线的方程为，，
由题意可得：，解得，
所以双曲线的标准方程为：，
故答案为：.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左､右焦点，点P是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的标准方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点为双曲线右支上一点，则，
因为，且，
所以，，
由题，因为，则，所以为最小角，故，
所以在中，由余弦定理可得，，解得，
所以，
所以双曲线的标准方程为.
故选：B
例6．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）已知点，将函数的图像绕原点顺时针旋转得到曲线C，在C上任取一点P，则（    ）
A． B．2 C． D．不确定
【答案】A
【解析】直线与联立得两交点的坐标为、，这两点间的距离为，
所以函数的图像绕原点顺时针旋转得到双曲线方程为，由双曲线定义得.
故选：A．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为.若，则该双曲线的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为离心率为，所以，所以，因为，，所以，又，且为以为直角的直角三角形，所以，即，又，所以，解得或（舍去）
所以双曲线的标准方程为：
故选：A
例8．（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的左，右焦点分别为（，0），（3，0），为双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由双曲线的定义可得，，即，，且焦点在轴上，所以双曲线的方程为：．
故选：A．
例9．（2022·全国·高三专题练习（文））双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】2a＝
所以，又c＝6，
所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.
所以双曲线的标准方程为
故选：B
例10．（2022·江苏·高三阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，，
若，
即为，
可得，
即有，
由双曲线的定义可知，
可得，
由于过F2的直线斜率为，
所以在等腰三角形中，，
则，
由余弦定理得：，
化简得：，
即，，
可得，，
所以此双曲线的标准方程可能为：.
故选：D．
例11．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为.
故选：C.
例12．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的标准方程为，半焦距为c，
则由题意可知，，即，故，
所以双曲线的标准方程为.
故选：C．
例13．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，则双曲线方程为，，，
所以直线为，
设，
由，得，
则，
所以，
因为，，
所以，
因为的周长为36，
所以，
所以，得，
所以双曲线方程为 ，
故选：C
例14．（2022·全国·高三阶段练习（理））与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】椭圆的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为，
由双曲线的定义可得，
，，，
因此，双曲线的方程为.
故选：C.
例15．（2022·全国·高三专题练习）、是双曲线的两个焦点，抛物线的准线过双曲线的焦点，准线与渐近线交于点，，则双曲线的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】抛物线的准线方程为，
则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，
可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，又由,,
解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
例16．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线满足，且与椭圆有
公共焦点，则双曲线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由椭圆的标准方程为，可得，即，
因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，
又因为双曲线满足，即，
又由，即，解得，可得，
所以双曲线的方程为.
故选：A．
例17．（2022·全国·高三专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)顶点在x轴上，焦距为10，离心率是；
(2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为；
(3)焦点在y轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12；
(4)渐近线方程为，焦点坐标为和．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【分析】
根据双曲线的顶点或焦点位置、渐近线方程及焦距、实轴长，结合双曲线的性质求双曲线方程.
（1）由题设，且，则，，
又顶点在x轴上，故双曲线的标准方程为.
（2）由题设，，则，
又一个焦点为，故双曲线的标准方程为.
（3）由题设，，又焦点在y轴上，令双曲线的标准方程为，
又一条渐近线方程为，即，则，
所以双曲线的标准方程为.
（4）由题设，且焦点在x轴上，令
又渐近线方程为，则，而，
所以，故双曲线的标准方程为
例18．（2022·全国·高三专题练习（理））根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)，经过点；
(2)与双曲线有相同的焦点，且经过点．
【解析】（1）当焦点在x轴上时，设所求标准方程为，
把点A的坐标代入，可得，不符合题意；
当焦点在y轴上时，设所求标准方程为，
把A点的坐标代入，可得，故所求双曲线的标准方程为．
综上，所求双曲线的标准方程为．
（2）设所求双曲线的方程为，
因为双曲线过点，所以，解得或-14（舍）.
所以双曲线的方程为
题型二：双曲线方程的充要条件
例19．（2022·四川内江·模拟预测（理））“”是“为双曲线”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为方程表示双曲线，所以，
又当时，方程表示双曲线，
因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.
故选：C
【方法技巧与总结】
表示椭圆的充要条件为：；
表示双曲线方程的充要条件为：；
表示圆方程的充要条件为：.
例20．（2022·广东·高三阶段练习）“k<2”是“方程表示双曲线”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵方程为双曲线，∴，
∴或，∴“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件，
故选：A.
例21．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）若曲线C的方程为，则（    ）
A．当时，曲线C表示椭圆，离心率为
B．当时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为
C．当时，曲线C表示圆，半径为1
D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4
【答案】BC
【解析】选项A，时，曲线方程为，表示椭圆，其中，，则，离心率为，A错；
选项B，时曲线方程为表示双曲线，渐近线方程为，即，B正确；
选项C，时，曲线方程为，表示圆，半径为1，C正确；
选项D，曲线C表示椭圆时，或，
时，，，，
时，，，，
所以，即，无最大值．D错．
故选：BC．
例22．（多选题）（2022·重庆八中模拟预测）曲线C的方程为，则下列说法正确的是（    ）
A．存在实数使得曲线C的轨迹为圆
B．存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆
C．存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线
D．无论（且）取何值，曲线C的焦距为定值
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，所以不存在实数使得曲线C的轨迹为圆，故A不正确；
对于B，当且时，即时，表示椭圆，所以存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆，故B正确；
对于C，当，即时，表示双曲线，故C正确；
对于D，当时，表示椭圆，此时椭圆的，所以曲线C的焦距为定值；
当时，表示双曲线，此时双曲线的，所以曲线C的焦距为定值；故D正确，
故选：BCD.
例23．（多选题）（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知曲线C：，则（    ）
A．当m=n=2时，C为圆 B．当m=n=1时，C为抛物线
C．C不可能为椭圆 D．C可能为双曲线
【答案】ABD
【解析】当时，C为圆，A正确；
当时，C为抛物线，B正确；
当，且时，C为椭圆，C错误；
当，时，C为双曲线，D正确.
故选：ABD.
例24．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知曲线：，则下列说法正确的是（    ）
A．若曲线表示双曲线，则
B．若曲线表示椭圆，则且
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则
D．若曲线与椭圆有公共焦点，则
【答案】BCD
【解析】对于A：若曲线：表示双曲线，则，解得或，故A错误；
对于B：若曲线：表示椭圆，则，解得且，故B正确；
对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则，
所以，则，解得，故C正确；
对于D：椭圆的焦点为，
若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，则，则，解得（舍去）；
若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则，则，解得，符合题意，故，故D正确；
故选：BCD
题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
例25．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为（    ）
A．23 B．24
C．25 D．26
【答案】B
【解析】由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，
又|F1F2|＝10，故为直角三角形，
因此＝|PF1|·|PF2|＝24.
故选：B.
【方法技巧与总结】
对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用，及余弦定理等知识；若未知角，则用.
例26．（2022·全国·高三专题练习）已知F是双曲线的右焦点，若直线与双曲线相交于A，B两点，且，则k的范围是___________.
【答案】
【解析】
焦点在x上

焦点坐标为
由双曲线的对称性可得，设，，
又∵，，
，
，
又 ，
，
又，
而，
，
当时，，
，，
，整理得 ，
又 ， ，
又的渐近线方程为 ，，
又，
的取值范围为 ．
故答案为： ．

例27．（2022·全国·高三竞赛）设双曲线，是它的左焦点，直线l通过它的右焦点，且与双曲线的右支交于A，B两点，则的最小值为________.
【答案】
【解析】双曲线的右焦点为
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
代入双曲线方程，消去y 得
设
由韦达定理得
根据双曲线的第二定义得：


当直线的斜率不存在时，
根据双曲线的第一定义得：


综上：的最小值为
故答案为：
例28．（2022·全国·高三专题练习）设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为________.
【答案】9
【解析】由双曲线定义可知：，，
由已知，因为，所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，故，
即，又，
所以，
解得:，所以
故答案为：9
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的离心率为3，焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为14a，则的面积是________.
【答案】
【解析】不妨令在双曲线右支，依题意可得，，，
解得，，又，
由余弦定理
即，解得，
所以，
所以的面积．
故答案为：
例30．（2022·贵州·凯里一中三模（文））已知双曲线：的左､右焦点分别为,，点，分别为渐近线和双曲线左支上的动点，当取得最小值时，面积为___________.
【答案】
【解析】由题意知，，，不妨取其中一条浙近线，
由双曲线定义知，所以，
所以，
所以当，，三点共线且垂直于渐近线时，取得最小值，
此时，直线方程为，
由，得，
故点，
.
故答案为：.
例31．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知双曲线C：的离心率为3，焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为14a，则的面积是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不妨令在双曲线右支，
依题意可得，，，
解得，，又，
由余弦定理
即，解得，
所以，
所以的面积．
故选：C．
例32．（2022·河北邯郸·模拟预测）已知､是双曲线的左､右焦点，点为双曲线右支上一点，且在以为直径的圆上，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法一：设，，则.
由双曲线定义知，，又，故，
由于在以为直径的圆上，所以，故有
从而

解法二：同解法一，得到，，则，从而得到双曲线方程为.
设，
联立，
解得，即.
因此，选项A正确.
故选：A
例33．（2022·山西·太原五中模拟预测（文））已知双曲线的左右焦点为，，点为双曲线上任意一点，则的最小值为
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】由题意知，，，不妨设点在双曲线右支上，则，设，所以，所以当时，的值最小，最小为1，故选：A.
题型四：双曲线上两点距离的最值问题
例34．（2022·全国·高三专题练习）已知是双曲线上一点，是左焦点，是右支上一点， 与的内切圆切于点，则的最小值为  （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】与的内切圆切于点，∴,由双曲线定义
= ,当且仅当A,B,共线时取等
故选B
【方法技巧与总结】
利用几何意义进行转化.
例35．（2022·黑龙江·漠河市高级中学高三阶段练习（文））已知双曲线，为左焦点，若，则双曲线离心率为_____；若对于双曲线上任意一点，线段长度的最小值为，则实数的值为_____.
【答案】         
【解析】因为双曲线，
若，则，所以，因此双曲线的离心率为；
因为为左焦点，所以，其中，
若对于双曲线上任意一点，为使线段的长度最小，则点必在该双曲线的左支上，设，则，，
所以
，因此，解得.
故答案为：；.
例36．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆右焦点F的圆与圆
外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为__________.
【答案】1
【解析】椭圆，，所以.
设以为直径的圆圆心为，如图所示：

因为圆与圆外切，所以，
因为，，
所以，
所以的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支.
即，曲线.
所以为曲线上的一动点，则长度最小值为.
故答案为：1
例37．（2022·吉林吉林·高三阶段练习（文））已知､为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若内切圆的圆心为，则圆心到圆上任意一点的距离的最小值为____________.
【答案】1
【解析】由双曲线，则 .
设内切圆与的三边､､的切点分别为､､，
根据圆的切线性质，可得，
又因为，∴，即，
∴内切圆圆心在直线上.又因为圆的圆心为，半径，
∴圆心到圆上任意一点的距离的最小值为.
故答案为：1
例38．（2022·湖北·一模（理））平面内，线段的长度为10，动点满足，则的最小值为__________．
【答案】2
【解析】因为，所以,
因此动点在以A,B为左右焦点的双曲线的右支上，
从而的最小值为
例39．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知点，点是双曲线左支上的动点，是圆上的动点，则（       ）
A．的实轴长为6
B．的渐近线为
C．的最小值为
D．的最小值为
【答案】ACD
【解析】A：由双曲线方程知：，则的实轴长为6，正确；
B：由双曲线方程知：的渐近线为，错误；
C：双曲线、圆如下：为左焦点，当且仅当为x轴交点，为x轴右交点时，最小为，正确；


D：由为右焦点，，则，要使最小只需共线，此时，正确.
故选：ACD.
题型五：双曲线上两线段的和差最值问题
例40．（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ，又，故 ，
所以 ，则双曲线方程为 ，

结合双曲线定义可得，
如图示，连接,交双曲线右支于点M，即当三点共线，
即Q在M位置时，取最小值，
此时直线方程为 ，联立，
解得点Q的坐标为,( Q为双曲线右支上的一点)，
故，
故选：B
【方法技巧与总结】
在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．
例41．（2022·浙江·高三专题练习）设是双曲线上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为______，最小值为______．
【答案】     9    
【解析】设双曲线的左、右焦点分别为，，
则点为圆的圆心，点为圆的圆心，
连接，．当点在双曲线的左支上时（如图），

由双曲线的定义，可得，
由圆的几何性质，得，，
所以，即，
此时的最大值为9，最小值为3．
同理可得，当点在双曲线的右支上时，的最大值为，最小值为．
综上，的最大值为9，最小值为．
故答案为：，
例42．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（    ）
A． B．8 C． D．9
【答案】B
【解析】由，所以有，
设圆的圆心为，半径为，
设该双曲线另一个焦点为，所以，
求的最小值转化为求的最小值，
因此当点依次共线时，有最小值，
即，
故选：B
例43．（2022·贵州遵义·一模（文））过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆
：作切线，切点分别为，，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆C1：（x+4）2+y2＝4的圆心为（﹣4，0），半径为r1＝2；
圆C2：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r2＝1，
设双曲线x21的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），
连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得
|PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）
＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）
＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3
＝2a（|PF1|+|PF2|﹣3＝2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3＝2•8﹣3＝13．
当且仅当P为右顶点时，取得等号，
即最小值13．
故选D．

例44．（2022·广西桂林·一模（文））设P为双曲线右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m、n，则|m－n|＝(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
【答案】C
【解析】双曲线，是双曲线右支上的一点所以，
双曲线的两个焦点分别为，，则这两点刚好是两圆和的圆心，
则两个圆的半径分别为，
所以由几何性质可知，
同理，
.
故选：C.
例45．（2022·安徽蚌埠·三模（文））已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（    ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】过作垂直于双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则，
连接与双曲线的另一个焦点，如下所示：

由双曲线的定义可知，，
又双曲线方程为，故，
又点坐标为，双曲线的渐近线为，
故点到渐近线的距离为，
故.
故选：B.
例46．（2022·全国·高三专题练习）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点，

记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上，
所以，.
故选：B.
例47．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________．
【答案】10
【解析】由双曲线的标准方程得a＝2,由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4,|BF2|－|BF1|＝4,所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|,当直线l过点F1,且垂直于x轴时,|AB|最小,所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝
故答案为：10.
题型六：离心率的值及取值范围
方向1：利用双曲线定义去转换
例48．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）设双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且，若的面积为4，则双曲线C的离心率为（    ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】D
【解析】由题意，双曲线，可知，
设，可得，
又因为，若的面积为，所以，且，
联立方程组，可得，所以双曲线的离心率为.
故选：D.
例49．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知双曲线的左焦点为， 点在双曲线的右支上， ．若 的最小值是 9 ， 则双曲线的离心率是_____．
【答案】
【解析】设双曲线的右焦点为，
双曲线的，
则，
可得，，
由双曲线的定义可得，
可得，
则，
当，，共线时，取得等号．
，则
整理得：
解得或，由于，则，故不符合
所以，
则双曲线的离心率为．
故答案为：．
例50．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（    ）
A．2 B． C． D．2
【答案】C
【解析】依题意，，令，，则有，
由得：，即有，
而，所以.
故选：C
例51．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与交于点，若，则的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】如图，因为，所以为线段的中点；
由于，即,所以，
所以为等腰三角形，且有
连接，又，点Q在双曲线C上，

由双曲线的定义，可得，故;
所以在中，有，即，
整理得，所以离心率，
故选:B．
例52．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线上位于第二象限内的一点，点在轴上运动，若的最小值为，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：

连接，因为，
当且仅当，，三点共线时等号成立，
所以的最小值为，
所以，
解得．
由题意知，
∴，
故选：B．
方向2：建立关于和的一次或二次方程与不等式
例53．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是________．

【答案】
【解析】

设双曲线的左焦点为，连接，，
由条件可得，
则，，，
所以，
即，
即，
所以双曲线的离心率为：，
故答案为.
例54．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设，则．
又，所以，所以．
又，所以，由，得
，则，而，则，化简得，所以．

例55．（2022·湖北·高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与的左、右两支分别交于两点，且是以为顶角的等腰直角三角形，若的离心率为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，
由双曲线的定义得，
又，∴.
又,
所以，
所以.
故选：C
例56．（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限的交点为A，直线与C的左支交于点B，且．设C的离心率为e，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由双曲线定义可知
∵，
∴，
又∵，则
∵A在以为直径的圆上，则
∴，
由，得，
故．
故选：D．

例57．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（文））过双曲线：（，）的右焦点作直线的垂线，垂足为点，交的左支于点，若，则的离心率为（    ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】

由已知得，，，所以，．设左焦点为，由双曲线的定义得．
在中，，分别为，的中点，得，所以，即，所以，
所以双曲线的离心率（舍负）.
故选：D．
方向3：利用，其中为焦距长，
例58．（2022·江苏·高二单元测试）已知、是双曲线与椭圆的公共焦点，点、分别是曲线、在第一、第三象限的交点，四边形的面积为，设双曲线与椭圆的离心率依次为、，则___________.
【答案】
【解析】由于双曲线、椭圆均关于原点对称，则点、也关于原点对称，
则、的中点均为坐标原点，所以，四边形为平行四边形，
设点，在椭圆中，，，，
，可得，则，即点，
，
，
所以，，则，，所以，，
因此，.
故答案为：.
例59．（2022·重庆八中模拟预测）已知、分别是双曲线的左右焦点，点在
双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】如图延长交于点，

∵是的平分线，
∴，，又是中点，
所以，且，
又，
∴，，
∴．
故选：A．
例60．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（    ）
A． B．
C．＋1 D．
【答案】A
【解析】不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，如图所示:

因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，
又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝|PF′|，
又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，
根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝2a，
所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，
在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，
即a2＋4a2＝c2，所以e＝，
故选A.
例61．（2022·吉林长春·模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（    ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的实半轴长为a，由双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，可得椭圆的长半轴为3a，半焦距为c，设P为椭圆与双曲线在第一象限的交点，设，，则，可得，
由题意P在以为直径的圆上，所以，
所以可得，即离心率，
故选：C
例62．（2022·全国·高三专题练习（理））过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为坐标原点，若为的中点，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】是中点，设是双曲线的右焦点，如图，
则，．所以，
由双曲线定义知，所以，从而，
因为是圆切线，所以，
所以，所以．
故选：B．

方向4：坐标法
例63．（2022·全国·高三专题练习）双曲线：的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，.求双曲线的离心率.
【解析】当时，点在第一象限或第四象限，由对称性，不妨设点在第一象限，
，，
在双曲线上，则有，
又，消去可得，
即，变形，
即，
所以，
因为，所以，
解得.
所以双曲线的离心率为.
例64．（2022·全国·高三专题练习）已知是双曲线的左､右焦点，A是其左顶点.若双曲线上存在点P满足，则该双曲线的离心率为___________.
【答案】3
【解析】令，又，，，则，
∴，故，
∴.
故答案为：3.
例65．（2022·河南·宝丰县第一高级中学高三开学考试（理））已知双曲线的右焦点为F，P为C右支上一点，与x轴切于点F，与y轴交于A，B两点，若为直角三角形，则C的离心率为______.
【答案】
【解析】不妨设点P在x轴的上方，由题意可知轴，
所以P点的横坐标，代入，得.
又为直角三角形，易知，且，
则有，即，
则，即，则.
故答案为：

例66．（2022·山东青岛·高三开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.
【答案】
【解析】设，，，
，则，
，则，，
，则，，点在渐近线上，
所以，，
由得，所以，又，
所以，所以．
故答案为：．
例67．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点（在同一象限内），且满足． 联结，满足． 若该双曲线的离心率为，求的值_______．
【答案】
【解析】不妨设，由得，化简得（1）， 在双曲线上，所以，即， 代入（1）解得，
，又在渐近线上，，即．
两边平方得（2）
将和代入（2）得
化简得，解得，即． 化简得
故答案为：
例68．（2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试）己知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图示，

因为，，是中点，
所以是中点且，则，，
因为直线是双曲线的渐近线，
所以，，直线的方程为，
联立，解得，则，整理得，
因为，所以，.
故选：A
例69．（2022·安徽·合肥市第十中学模拟预测）设点Р为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，若到的焦点距离为，则双曲线的离心率为（        ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点为第一象限内的点，由抛物线的定义可得，解得，
所以，，可得，即点，
双曲线的渐近线方程为，由题意可得，，
因此，双曲线的离心率为.
故选：D.
例70．（2022·福建省福州第一中学高三开学考试）已知双曲线以正方形的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形的边长为2，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知，双曲线的焦点在轴上，设焦距为，
因为双曲线以正方形的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，
所以，作出图形如图，
因为正方形的边长为2，
所以，
所以，整理得：，
解得，（舍），
所以.
所以，双曲线的离心率为
故选：A

例71．（2022·江西南昌·三模（理））已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（    ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】如图所示：

由题意得：，
则，
由圆的切线长定理和双曲线的定义得，
所以，则，
因为与轴平行，
所以，即，
则，即，
解得，
故选：B
方向5：找几何关系，利用余弦定理
例72．（2022·全国·模拟预测（文））设双曲线C：的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线与双曲线C的右支交于点A．若，则双曲线C的离心率为（    ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】由题意可知，
由双曲线的定义可得，
设，则，进而有，
由余弦定理可得，
，
则有，
化简得即，
因为，所以，
所以，
故选：D
例73．（2022·安徽省舒城中学高三阶段练习（文））已知双曲线的左、右焦点分别为、，、是圆与位于轴上方的两个交点（在左支，在右支，且，则双曲线的离心率为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】连接、，则，如下图所示：

由双曲线的定义可得，，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
因为，所以，即，
即，即，，解得.
故选：C.
例74．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知，分别为双曲线：的左右焦点，过的直线与双曲线的左支交于、两点，连接，，在中，，，则双曲线的离心率为（    ）

A．2 B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，由双曲线的定义可得，
由，可得，即有，
因为为等腰三角形，
所以，
解得，
在△中，，
化为，即有．
故选：．
例75．（2022·山西·模拟预测（文））已知为双曲线的左，右焦点，直线与双曲线的左支交于点A，且，则双曲线的离心率为（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知直线l过左焦点，且．
由，可得．
∵，则．
由余弦定理得即，
化简得，即，
解得（舍去），
故选：C．
例76．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右支分别交于，两点，若，的面积为，双曲线的离心率为，则（    ）
A． B．2
C． D．
【答案】D
【解析】如图，由双曲线的定义可知：，，
因为，所以，
代入中，可得：，
因为，
所以在三角形中，由余弦定理得：，
因为，
所以，
则，
取的中点M，连接BM，
因为，所以，，
所以，
，
又因为，
所以，
化简得：，
同除以得：，
解得：或（舍去）

故选：D
例77．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的左、右两支分别交于点，若是边长为的等边三角形，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

，，
又，，解得：，，
在中，由余弦定理得：，
解得：，即，，
双曲线的离心率.
故选：B.
方向6：找几何关系，利用正弦定理
例78．（多选题）（2022·湖南·高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为 （       ）
A． B． C． D．2
【答案】BC
【解析】∵，则离心率，则排除A；
记，，，
则，
由正弦定理结合分比定理可知：，
则，
所以B，C是正确的，D不正确.
故选：BC.
例79．（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在以为直径的圆上，，
，，，，
由双曲线定义知：，即，
；
，，，
则，，
即双曲线离心率的取值范围为.
故选：D.
例80．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知、分别为双曲线C：的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足，且，则该双曲线C的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】因为，分别为双曲线的左右焦点，
由正弦定理得到，
又因为得，
又∵，
∴，，
在中，，，，
∴，，
在中，，
所以，
化简得.
故选：D.
方向7：利用基本不等式
例81．（2022·四川成都·高三开学考试（文））已知双曲线，F为右焦点，过点F作轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当取得最大值时，双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】如图，

根据题意，，，
∴，，
设直线的倾斜角为，
∴，
当且仅当时等号成立，
即，，，又
∴，
故答案为：．
例82．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________．
【答案】
【解析】设点，其中，易知点、，且有，则，
，
当点在第一象限时，，，则，，且，
由基本不等式可得，
因为存在点，使得直线、的斜率之和为，则，即，
.
故答案为：.
例83．（2022·四川·高三开学考试（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的部分的旋转体．若该双曲线上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为______．

【答案】
【解析】设点，其中，
易知点，，且有，则，
，
当点P在第一象限时，，，
则，，且，
由基本不等式可得，
∵存在点P，使得直线PA，PB的斜率之和为4，
则，即，
∴.
故答案为：．
例84．（2022·全国·高三专题练习）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线定义可得：
|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1| ≥8a，
当且仅当=|PF1|，即|PF1|=2a时取得等号.此时
由双曲线的几何性质可得，，即可，又双曲线的离心率，∴.
故选:C.
方向8：利用渐近线的斜率求离心率
例85．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆与的一条渐近线的一个交点为.若，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

如图所示，由已知得，，，
且，则，
在中，由余弦定理，得，即，整理得，所以，
故，
故选：B.
例86．（2022·四川·模拟预测（文））已知双曲线的一个焦点到的一条渐近线的距离为， 则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为的一个焦点到的一条渐近线的距离为，
不妨取渐近线方程为，即，
所以，，
两边平方得.又，所以，
化简得，所以.
故选：C.
例87．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））若双曲线的一个焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】依题意得，双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，根据点到直线的距离公式：，于是，离心率.
故选：C
例88．（2022·天津·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为9，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据双曲线的对称性，仅作一条渐近线，
因为双曲线，
，
由双曲线的定义可知，，
，
当且仅当点，，三点共线时，等号成立，

渐近线方程为，即，且，
此时，
的最小值为，
，，
所以
离心率，
故选：A．
方向9：利用双曲线第三定义
例89．（多选题）（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）已知双曲线：的左焦点为，过点作的一条渐近线的平行线交于点，交另一条渐近线于点.若，则下列说法正确的是（    ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．点到两渐近线的距离的乘积为
D．为坐标原点，则
【答案】ABD
【解析】双曲线的渐近线方程为，不妨设过左焦点F的直线与直线平行，交C于点A.
对于A：设双曲线半焦距为c，过点与直线平行的直线的方程为，与联立，解得，
设，由，可得，
所以，
所以，即，
所以双曲线的离心率为，故选项A正确；
对于B：由，可得，所以，
所以渐近线方程为，故选项B正确；
对于C：A到两渐近线距离的乘积，故选项C错误；
对于D：，
所以，
所以，故选项D正确．
故选：ABD.
例90．（2022·湖南郴州·高二期末）双曲线的左右顶点为，过原点的直线与双曲线交于两点，若的斜率满足，则双曲线的离心率为_________．
【答案】
【解析】由题意知：，，
若为坐标原点，则，，四边形为平行四边形，
，即，；
设，则，
，
双曲线的离心率.
故答案为：.
例91．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率为，，若，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】设，，，，
，
，
，
．
故选：D．
例92．（2022·全国·高二课时练习）已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且点A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，根据对称性，知，
所以．
因为点A，P在双曲线上，所以，
两式相减，得，
所以，所以．
故选：D.
例93．（2022·全国·高三专题练习）已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，根据对称性，知，
所以．
因为点A，P在双曲线上，
所以，两式相减，得，
所以
所以，
所以，所以．
故选：D
例94．（多选题）（2022·河北秦皇岛·高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（    ）
A．
B．双曲线C的离心率为
C．直线倾斜角的取值范围为
D．若，则三角形的面积为2
【答案】ABD
【解析】设焦距为，则，设，
则，，作差得，即，
，
故，又，所以，A正确；
而离心率，B正确；
双曲线C的渐近线方程为，直线过原点，由题可知直线与C有两个不同的交点，
所以直线倾斜角的取值范围为，C错误；
若，则，由双曲线的定义以及选项A的结论可得
，故，
又，可得，
所以三角形的面积为，D正确．
故选：ABD.
例95．（2022·云南大理·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右顶点，点P为双曲线C上任意一点，记直线，直线的斜率分别为．若，则双曲线C的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】依题意，
设，则，
∴，又，
∴，故，即.
故选：A
方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围
例96．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为___________.
【答案】
【解析】依题意，点在双曲线的右支，P不与双曲线顶点重合，
在中，由正弦定理得：
，因，于是得，
而点P在双曲线M的右支上，即，从而有，
点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有，
因此，而，整理得，即，
解得，又，故有，
所以双曲线M的离心率的取值范围为.
故答案为：
例97．（2022·吉林长春·二模（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由双曲线定义可知，，，结合 可得，从而，又因为双曲线的离心率大于 ，所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.
例98．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）设双曲线的焦距为
，左、右焦点分别是，，点P在C的右支上，且，则C的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由条件得，所以，即，
又因为，所以，
即，得，
又，所以．
故选：C
例99．（2022·山西·朔州市朔城区第一中学校高二开学考试）设双曲线的左､右焦点分别为､，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为点在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得，
又，所以，即，则，
因为双曲线中，，
即，则，即，
又双曲线的离心率大于，所以.
故选：A.
例100．（2022·湖南·衡阳市八中一模（文））已知双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点P在双曲线的右支上，所以
因为，所以可得
根据点P在双曲线的右支上，可得
所以，即
所以双曲线的离心率e的最大值为
故选：C
【方法技巧与总结】
求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.
题型七：双曲线的简单几何性质问题
例101．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知F1，F2是双曲线C：（，）的两个焦点，C的离心率为5，点在C上，，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设的焦距为，离心率为．当时，由平面几何知识得
，解得．∵，∴．根据双曲线上点的横坐标的取值范围以及平面向量内积的几何意义可知，当时，实数的取值范围是．
故选：D.
【方法技巧与总结】
处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混．
例102．（多选题）（2022·河北邯郸·高三开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为为上一点，则（    ）
A．双曲线的实轴长为2
B．双曲线的一条渐近线方程为
C．
D．双曲线的焦距为4
【答案】ABD
【解析】由双曲线方程知：，离心率为，解得，故，
实半轴长为1，实轴长为，A正确；
因为可求得双曲线渐近线方程为，故一条渐近线方程为，B正确；
由于可能在的不同分支上，则有，C错误；
焦距为正确.
故选：ABD.
例103．（多选题）（2022·湖南益阳·模拟预测）已知双曲线经过点，则（    ）
A．的实轴长为 B．的焦距为
C．的离心率为 D．的渐近线方程是
【答案】BC
【解析】由题意得，得即双曲线方程为．
所以，双曲线的实轴长是，焦距是，离心率为，渐近线方程是
故BC正确，AD错误，
故选：BC
题型八：利用第一定义求解轨迹
例104．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图设与圆的切点分别为、、，
则有，，，
所以．
根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），
即、，又，所以，
所以方程为．
故选：A．

【方法技巧与总结】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.
例105．（2022·全国·高三专题练习）已知，是的两个顶点，且，则顶点的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，由正弦定理，得（定值），
双曲线的焦距，，
即，得A的轨迹是以为焦点的双曲线左支，
由，得双曲线的方程为，
顶点A的轨迹方程为，
故选：A．
例106．（2022·全国·高三专题练习（理））一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆的轨迹方程是（    ）
A．（） B．（）
C． D．
【答案】D
【解析】设动圆的半径为，由题意知，圆的圆心坐标为，半径为4．动圆与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以，
所以，即动点到两定点的距离之差为常数4，所以点在以，为焦点的双曲线上，所以，，所以，所以动圆的轨迹方程是．
故选：D.
例107．（2022·重庆九龙坡·二模）在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点、作圆的切线并交于点（点不在轴上），则点的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，设切线的切点分别为，则，，，
，
所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支（除去与轴交点），
，，，则，双曲线方程为，轨迹方程为，
故选：A．

例108．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知圆的圆心为，过点的直线交圆于
两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹是（    ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】C
【解析】将化为，
即该圆的圆心为，半径为，

因为，所以，
又，所以，
则，即，
所以，
所以点的轨迹是双曲线.
故选：C.
例109．（2022·全国·高三专题练习）已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（    ）
A．x＝0 B．
C． D．或x＝0
【答案】D
【解析】①当⊙M与⊙C1，⊙C2同时内切或者外切时，M点在y轴上，∴其轨迹方程为x＝0
②当⊙M与⊙C1内切、与⊙C2外切时有，当⊙M与⊙C1外切，与⊙C2内切时有，
即M轨迹为双曲线，，，b2＝c2－a2＝16－2＝14，所以方程为
综上：轨迹方程为或x＝0，
故选：D
例110．（2022·江苏·南京市第二十九中学高三开学考试）已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝
9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ）
A． B． C． D．(x≤－1)
【答案】D
【解析】设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r，
由动圆M与圆C1和圆C2均外切可得|MC1|＝r+1，|MC2|＝r+3，
相减可得|MC2|﹣|MC1|＝2＜|C1C2|，
故点M的轨迹是以C1、C2 为焦点的双曲线的左支．
由题意可得 2a＝2，c＝3，∴b＝，
故点M的轨迹方程为 x2﹣＝1（x≤﹣1），
故选：D.
例111．（2022·全国·高三专题练习（文））已知动圆C与圆内切，与圆外切，则动圆圆心C的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设圆C的半径为R，由题意可知，
两圆的圆心为：，∴，
可知点C的轨迹为以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，
∴，
则动圆圆心C的轨迹方程为.
故选：B.
例112．（2022·全国·高三专题练习）已知的顶点A(－5，0)，B(5，0)，内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是（    ）
A． B．
C．－＝1 D．－=1
【答案】A
【解析】如图，

设与内切圆的切点分别为G，E，F，
由题意得：|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，
则方程为．
故选：A
题型九：双曲线的渐近线
例113．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

如图，作于点于点B，因为与圆相切，
所以，
在中，，所以．
又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得：
所以，
整理得：，所以，
所以双曲线的渐近线方程为．故选C．
【方法技巧与总结】
掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出，的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件.另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长.
例114．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（其中，）的焦距为，其中一条渐近线的斜率为2，则______．
【答案】2
【解析】双曲线的的渐进线方程为，
∵一条渐近线的斜率为2，∴，即,
又∵，∴，∴,
∴,
故答案为：2
例115．（2022·全国·高三专题练习（理））已知左、右焦点分别为，的双曲线上一点到左焦点的距离为，点为坐标原点，点为的中点，若，则双曲线的渐近线方程为 （    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，得，∴点在双曲线左支上，故，∴，得双曲线方程为，∴双曲线的渐近线方程为.
故选：.
例116．（2022·全国·高三专题练习）若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为椭圆的焦点坐标为，
所以双曲线中，
设点P为两曲线在第一象限的交点，
由于在椭圆中，为等腰三角形，所以,
所以，
在双曲线中，，所以，代入，得，
所以该双曲线的渐近线方程为，
故选：B
例117．（2022·全国·高三专题练习（文））已知分别是双曲线的左、右焦点，的坐标为，若双曲线的右支上有一点，且满足，则该双曲线的渐近线方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵的坐标为（，0），∴，
∵双曲线的右支上有一点P，满足，
，即，
则，即b=，
则双曲线的渐近线方程为，
故选:A.
例118．（2022·江西·新余市第一中学模拟预测（理））已知左、右焦点分别为，的双曲线：上一点到左焦点的距离为6，点为坐标原点，点为的中点，若，则双曲线的渐近线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，得，∴点P在双曲线左支上，故，∴，得双曲线的方程为，∴双曲线C的渐近线方程为，
故选：A.
例119．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：的右焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点.若，则的面积为________.
【答案】
【解析】因为双曲线，可知右焦点为，
又，
所以点在线段的中垂线上，所以点的横坐标为，
又双曲线的渐近线方程为，
所以点的纵坐标为，即的高为，
所以的面积为.
故答案为：
例120．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线E：的离心率为，若有一直线过E的右顶点A且与一条渐近线平行，交y轴于点B，则△OAB的面积是________.
【答案】2
【解析】双曲线E：的离心率为，解得，
所以E的右顶点A，双曲线E的渐近线方程为，
设过点的直线与渐近线平行，则其方程为，则，
所以

故答案为：2
例121．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为________.
【答案】
【解析】双曲线的一条渐近线方程为，
由两直线垂直得，，
，
所以双曲线的焦点坐标为，
虚轴一个端点坐标为，
，
故答案为：.
例122．（2022·重庆·高三阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P在双曲线上，若，，则此双曲线的渐近线方程为______.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，，又，
所以，所以，
所以，
又，，
所以，，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
故答案为：.
题型十：共焦点的椭圆与双曲线
例123．（2022·全国·高三专题练习）已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为，，记它们其中的一个交点为P，且，则该椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，

则根据椭圆及双曲线的定义，，
设，
则在中由余弦定理得，
化简，该式变成.
故选：C.
【方法技巧与总结】

椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为：.
例124．（2022·福建莆田·二模（文））已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，且在第一象限内相交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设共同的焦点为，，
设，，
由椭圆和双曲线的定义可得，，
解得，，
在中，，
可得，
即为，
即有，
即为，
由，
可得，当且仅当时，取得最小值，
故选C．
例125．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知是椭圆（）和双曲线（）的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．的最小值为
【答案】BD
【解析】由题意可得，所以错误；
可设是第一象限的点，，，
由椭圆的定义可得，，
解得，，又，
因为，
在△中，由余弦定理可得，
化为，则，故正确；
由，可得，即有，故错误；
由，当且仅当，
取得等号，即有的最小值为，故正确．
故选：
例126．（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，是它们的一个公共点，且.若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦点为，不妨设在第一象限，
则，解得，
中由余弦定理得，即，
所以，
，，又，，所以，
，所以．
故选：B．
例127．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，所以
所以，
记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，
则由椭圆和双曲线定义可得：…①
…②
①2+②2可得
由勾股定理知，，代入上式可得
整理得，即
所以
故选：D

【过关测试】
一、单选题
1．（2022·山西大附中高三阶段练习）若直线与双曲线：的一条渐近线平行；则的值为（    ）
A． B． C．4 D．16
【答案】A
【解析】双曲线：的渐近线方程为：
直线的斜率为：，由题意得，所以.
故选：A.
2．（2022·江西·南昌二中高三开学考试（理））若双曲线的两条渐近线与圆的交点等分圆周，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线方程知：渐近线方程为，
双曲线的渐近线与圆的交点等分圆周，双曲线渐近线斜率为，
即，解得：.
故选：C.
3．（2022·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习（文））已知为双曲线的左、右焦点，过点作直线与的右支交于两点，的平分线分别交轴于两点，为坐标原点.若成等比数列，则的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】由题意知，且，所以，即.
又成等比数列，故，则，
所以双曲线的离心率为.
故选：C
4．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ）
A．3 B． C． D．5
【答案】A
【解析】由条件可知，所以离心率.
故选：A
5．（2022·全国·高三开学考试（理））已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一：设，则，
所以，又AB的中点为，
所以，所以，由题意知，
所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，
代入并整理得，
因为为线段AB的中点，所以，整理得，
所以C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
6．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，下焦点到下顶点的距离为1，则该双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，
又双曲线的一条渐近线为，所以
即 ，又下焦点到下顶点的距离为1，
所以，结合解得，，
故选：A．
7．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，C的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由可得，所以，
故可得，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以，，又，
所以，
故选：B．
8．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习）已知直线与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为（    ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，的斜率为，
而的渐近线为，
由于直线与双曲线没有公共交点，如图，
所以，即，故，即，所以，
故，即.
故选：C.

9．（2022·安徽·高三开学考试）若双曲线的左、右焦点分别为，点为圆与此双曲线的一个公共点，则的面积（    ）
A．有最大值4 B．有最小值2 C．为 D．为
【答案】D
【解析】由双曲线方程知，，
恰好为圆的直径，所以，如图所示：
由双曲线定义知，，

∴，
所以
∴，
故选：D.
二、多选题
10．（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）已知，是双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线C交于，M、N两点，且，则下列说法正确的是（    ）
A．是等边三角形 B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为 D．点到直线的距离为
【答案】ABCD
【解析】设，，则，
由双曲线的定义的得
所以，，
所以是等边三角形，选项A正确；
在中，，
即，，所以选项B正确，
由得，所以双曲线C的渐近线方程为所以选项B正确，
渐近线方程为，所以选项C正确，
点到直线的距离为，
所以选项D正确．
故选：ABCD．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个顶点分别是A1、A2，左、右两个焦点分别是F1、F2，P是双曲线上异于A1、A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（    ）
A．
B．直线PA1、PA2的斜率之积等于定值
C．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个
D．△PF1F2的面积为
【答案】BC
【解析】根据双曲线的定义可得：，A错误；
设，则，即
∵，则
∴，B正确；
不妨P在第一象限，根据双曲线的定义可知
若，结合图象易知，则满足条件的点存在且唯一
若，结合图象易知，则满足条件的点存在且唯一
根据双曲线的对称性可知使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个，C正确；
不妨P在第一象限，则


∴
则
D不正确；
故选：BC．

12．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为，点D,G满足，，且点在直线AB上，若以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（    ）
A．当时，点的轨迹为圆
B．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为
C．当时，点的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为
D．当时，面积的最大值为3
【答案】BCD
【解析】根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为的圆B，点D为线段AB的中点，点为线段的中垂线与直线AB的交点，则
当时，线段为圆B的弦，则的中垂线过圆心B，点即点B，A错误；
当时，如图1，点在线段AB上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的椭圆，即
则椭圆的离心率，B正确；
当为椭圆短轴顶点时，面积的最大
若时，则，最大面积为，D正确；
当时，过点作圆的切线，切点为
若点在劣弧（不包括端点）上，如图2，点在BA的延长线上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的左半支
若点在优弧（不包括端点）上，如图3，点在AB的延长线上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的右半支
则点的轨迹为双曲线
∴，渐近线方程为，C正确；
故选：BCD．



三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习）双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则△ABD的面积的最大值为________.
【答案】
【解析】根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为，，
因此点A的坐标是，点D是线段OF的中点，
所以，
则直线AD的方程为，
点B是圆上的一点，
点B到直线AD距离的最大值也就是圆心O到直线AD的距离h加上半径，即，
，
则
故答案为：
14．（2022·全国·高三专题练习）如果一双曲线的实轴及虚轴分别是另一双曲线的虚轴及实轴，则称此两双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线，互为共轭双曲线，的焦点分别为，，顶点分别为，，
的焦点分别为，，顶点分别为，，过四个焦点的圆的面积为，四边形的面积为，则的最大值为________.
【答案】
【解析】不妨设，，，，
则，，，

，当且仅当时等号成立
故答案为：
15．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，已知点在双曲线右支上且在第一象限，点为三角形的内心，则________.
【答案】2
【解析】由双曲线定义可知：，
因为点在双曲线右支上且在第一象限，点为三角形的内心，
所以点到三角形三边的距离相等均为，
所以.
故答案为：2
四、解答题
16．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线（）的焦点F与双曲线的一个焦点重合.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段的中点M到准线的距离.
【解析】（1）∵双曲线的焦点坐标为，
又抛物线（）的焦点，
∴，即.
∴抛物线C的方程为.
（2）设，，由抛物线定义，
知，
∴，于是线段的中点M的横坐标是1，
又准线方程是，
∴点M到准线的距离等于.
17．（2022·全国·高三专题练习）设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.
【解析】（1）抛物线的焦点为，
所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，
所以，即，又，所以，
所以双曲线方程为.
（2）依题意设，，
由消去整理得，
由，所以，，
所以
.
18．（2022·全国·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线在第一象限的点，的内切圆与x轴交于点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设圆上任意一点Q处的切线l，若l与双曲线C左、右两支分别交于点M、N，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)为定值，且．
【分析】
利用三角形内切圆的性质与双曲线的定义相结合，即可求出双曲线方程；（2）设出切线l的方程，并利用切线的性质求得与的关系，联立切线l与双曲线C的方程，并利用韦达定理及平面向量的线性运算、数量积，即可求解．
(1)如图，设，与的内切圆分别交于G，H两点，
则
，
所以，则，
则双曲线C的方程为．

(2)由题意得，切线l的斜率存在．
设切线l的方程为，，．
因为l与圆相切，所以，即．
联立消去y并整理得，
所以，．
又




．
又



，
将代入上式得．
综上所述，为定值，且．

19．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
【解析】（1）由题设可知，解得
则：．
（2）设点M的横坐标为
当直线斜率不存在时，则直线：
易知点到轴的距离为﹔
当直线斜率存在时，设：，，，
联立，整理得，
，
整理得
联立，整理得，
则，则，即
则，即
∴此时点到轴的距离大于2；
综上所述，点到轴的最小距离为2．