2023高考数学二轮复习专题16 极值与最值（原卷版）

这是一份2023高考数学二轮复习专题16 极值与最值（原卷版），共14页。
专题16极值与最值 【考点预测】知识点一：极值与最值1．函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.2．函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求在内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.【方法技巧与总结】（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得． 【题型归纳目录】题型一：求函数的极值与极值点题型二：根据极值、极值点求参数题型三：求函数的最值（不含参）题型四：求函数的最值（含参）题型五：根据最值求参数题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用题型七：不等式恒成立与存在性问题 【典例例题】题型一：求函数的极值与极值点例1．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知函数．当时，求函数的极值；   例2．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）设.(1)求在上的极值；(2)若对，，都有成立，求实数的取值范围.     例3．（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知函数……自然对数底数）.(1)当时，求函数f（x）的单调区间；(2)当时，（i）证明：存在唯一的极值点：
（ii）证明：    例4．（2022·江西师大附中三模（理））已知函数为的导函数．(1)判断函数在区间上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；(2)求证：函数在区间上只有两个零点．                  例5．（2022·江苏苏州·模拟预测）函数．(1)求函数在上的极值；(2)证明：有两个零点．        【方法技巧与总结】1．因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．题型二：根据极值、极值点求参数例6．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））若函数在处有极值10，则（       ）A．6 B． C．或15 D．6或例7．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为
4，则（       ）A．-1 B．2 C．-3 D．4例8．（2022·四川绵阳·二模（文））若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．例9．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数的极值为，则（       ）A．e B． C． D．例10．（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数在上无极值，则实数的取值范围（       ）A． B．C． D．例11．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））已知函数在处取得极值0，则（       ）A．2 B．7 C．2或7 D．3或9例12．（2022·全国·高三专题练习）函数在内有极值，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．例13．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D． 例14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．例15．（2022·全国·高三专题练习）函数在上无极值，则m＝______．例16．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知函数，．
(1)当时，过做函数的切线，求切线方程；(2)若函数存在极值，求极值的取值范围．   例17．（2022·北京市第十二中学三模）已知函数.(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)设函数，若在上存在极值，求a的取值范围.   例18．（2022·天津·耀华中学二模）已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.   例19．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数．(1)当时，证明：当时，；(2)若，函数在区间上存在极大值，求a的取值范围．    题型三：求函数的最值（不含参）例20．（2022·江苏徐州·模拟预测）函数的最小值为_____________．例21．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．例22．（2022·四川·模拟预测（文））对任意，存在，使得，则的最小值为_________．例23．（2022·河南郑州·三模（文））在区间上的最小值是（       ）
A． B．1 C． D．例24．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（       ）A． B． C． D．例25．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在的最小值.    例26．（2022·山东·临沭县教育和体育局高二期中）已知函数是的一个极值点．(1)求b的值；(2)当时，求函数的最大值．      题型四：求函数的最值（含参）例27．（2022·北京通州·高二期中）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)求函数在区间上的最小值．    例28．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数f(x)=x-mlnx-m.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在上恒成立.
   例29．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，求在区间上的最大值．    题型五：根据最值求参数例30．（2022·河北·模拟预测）已知，函数在上的最小值为1，则__________．例31．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.例32．（2022·浙江湖州·高三期末）若函数存在最小值，则实数a的取值范围是___________.例33．（2022·陕西·模拟预测（理））若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用例34．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f（x）＝ex＋ax·sinx．(1)求y＝f（x）在x＝0处的切线方程；(2)当a＝－2时，设函数g（x）＝，若x0是g（x）在（0，π）上的一个极值点，求证：x0是函数g（x）在（0，π）上的唯一极小值点，且e－2<g（x0）<e－．    例35．（2022·四川泸州·三模（文））已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若有且只有一个极值点，求a的取值范围．
    例36．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数.(1)当时，求函数的极值点；(2)当时，试讨论函数的零点个数.   例37．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)判断函数的极值点的个数，并说明理由.例38．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：存在唯一极大值点，且．    例39．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数．(1)证明：存在唯一的极值点；(2)m为整数，，求m的最大值．      题型七：不等式恒成立与存在性问题例40．（2022·辽宁·二模）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.例41．（2022·北京·景山学校模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的极值；(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．    例42．（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数，.(1)求函数的单调递增区间；(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.    例43．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若对、，使恒成立，求a的取值范围.    例44.（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数.(1)求的最小值；(2)若恒成立，求实数的取值范围.  【方法技巧与总结】在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数． 【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知是函数的一个极值点，则
的值是（       ）A．1 B． C． D．2．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（       ）A． B． C． D．3．（2022·河南新乡·二模（文））已知，函数的极小值为，则（       ）A． B．1 C． D．4．（2022·内蒙古包头·一模（理））设 ，若为函数的极小值点，则（       ）A． B． C． D．5．（2022·河南·模拟预测（文））当时，函数取得最小值，则（       ）A． B．1 C． D．26．（2022·四川凉山·三模（理））函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．7．（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数，a为实数，，则在上的最大值是（       ）A． B．1 C． D．8．（2022·宁夏·高三阶段练习（文））若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（     ）A． B．C． D．二、多选题9．（2022·重庆·三模）已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（       ）A．有2个零点 B．有2个极值点 C．在单调递增 D．最小值为1
10．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知．则下列说法正确的有（       ）A．函数有唯一零点B．函数的单调递减区间为C．函数有极大值D．若关于x的方程有三个不同的根．则实数a的取值范围是11．（2022·福建省德化第一中学模拟预测）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（       ）A．， B．是的极大值点C．是的极小值点 D．是的极小值点12．（2022·全国·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（       ）A． B．在上单调递增C．为的极小值点 D．仅有两个零点三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）函数在上无极值，则m＝______．14．（2022·天津河西·二模）若函数在处取得极值，则____________．15．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）函数的极值点为___________.16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数则下列命题正确的有：___________.①若有两个极值点，则或②若有极小值点，则③若有极大值点，则④使连续的a有3个取值四、解答题
17．（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习（文））已知函数在与时，都取得极值．(1)求，的值；(2)若，求的单调增区间和极值．    18．（2022·河南郑州·高三阶段练习（文））已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若在处取得极值，求的单调区间及其最大值与最小值．     19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三期末（文））已知函数.(1)若，求函数的极值；(2)若函数在上单调递增，求a的取值范围.     20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上有两个极值点，，且．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：当时，．  
 21．（2022·北京·人大附中三模）设函数.(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求；(2)若在处取得极大值，求的取值范围.       22．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数．（注：是自然对数的底数）(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．