2023高考数学艺体生一轮复习 专题16 极值与最值（原卷版）

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专题16 极值与最值 【题型归纳目录】题型一：求函数的极值与极值点题型二：根据极值、极值点求参数题型三：求函数的最值题型四：根据最值求参数题型五：函数单调性、极值、最值得综合应用题型六：不等式恒成立与存在性问题【考点预测】知识点一：极值与最值1、函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.2、函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求在内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.【方法技巧与总结】（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．【典例例题】题型一：求函数的极值与极值点【方法技巧与总结】1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．例1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ）A．B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值D．函数的最小值为 例2．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（       ）A．个 B．个 C．个 D．个 例3．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为R，导函数的图象如图所示，则函数（    ）A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点 变式1．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5 变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为(a，b)，导函数在(a，b)上的图象如图所示，则函数在(a，b)上的极大值点的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4 变式3．（2023·全国·高三专题练习）设函数．(1)求在处的切线方程；(2)求的极大值点与极小值点；(3)求在区间上的最大值与最小值．    变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在与时，都取得极值．(1)求，的值；(2)若，求的单调增区间和极值．    变式5．（2023·全国·高三专题练习）设的导数满足，其中常数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，求函数的极值.    题型二：根据极值、极值点求参数例4．（2023·全国·高三专题练习）已知没有极值，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D． 例5．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处有极值10，则（    ）A．6 B． C．或15 D．6或 例6．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的极小值为，则（    ）A． B．1 C． D． 变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（    ）A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞) C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞) 变式7．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（　　）A． B． C． D． 变式8．（2023·全国·高三专题练习）若函数=有大于零的极值点，则的取值范围为（    ）A． B．C． D． 变式9．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上存在唯一极值点，则实数a的取值范围为（     ）A． B． C． D． 变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D． 题型三：求函数的最值例7．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的最小值为__________． 例8．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为______． 例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则在上的最大值是__________． 变式11．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为_________. 变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是的一个极值点．(1)求b的值；(2)当时，求函数的最大值．    题型四：根据最值求参数例10．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数存在最大值0，则的值为（    ）A． B． C．1 D． 例11．（2023·全国·高三专题练习）当时，函数取得最大值，则（    ）A． B． C． D．1 例12．（2023·全国·高三专题练习）函数在上的最大值为4，则的值为（    ）A．7 B． C．3 D．4 变式13．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（    ）A． B． C． D． 题型五：函数单调性、极值、最值得综合应用例13．（2023·黑龙江大庆·校联考模拟预测）如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（    ）A．在上是增函数 B．当时，取得最小值C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数 例14．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像在点处的切线恰好经过点．(1)求；(2)已知函数在其定义域内单调递增，求的取值范围．    例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，是的一个极值点．(1)求实数a的值；(2)求在区间上的最大值和最小值．    变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处有极值.（1）求的值；（2）求函数在上的最大值与最小值.    题型六：不等式恒成立与存在性问题【方法技巧与总结】在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．(1)讨论的单调性；(2)若，，求的最大值．    例17．（2023·全国·高三专题练习）若函数，满足恒成立，则的最大值为（    ）A．3 B．4 C． D． 例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（    ）A． B．C． D． 变式15．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的，且，都有成立，则实数m的最小值是（    ）A．1 B． C． D． 【过关测试】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）设直线与函数，的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（　　）A．1 B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（       ）A．是的极小值点 B．是的极小值点C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零3．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中存在极值点的是（    ）A． B．C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）函数的极值点的个数是（    ）A． B． C． D．无数个5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列说法正确的是（    ）A．函数在上递增 B．函数无极小值C．函数只有一个极大值 D．函数在上最大值为36．（2023·全国·高三专题练习）当时，函数取得最小值，则（    ）A． B．1 C． D．27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，a为实数，，则在上的最大值是（    ）A． B．1 C． D．8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（    ）A．有2个零点 B．有2个极值点 C．在单调递增 D．最小值为110．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（    ）A．在上单调递增B．是的极大值点C．有三个零点D．在上最大值是11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）A． B．C．时，取得最大值 D．时，取得最小值12．（2023·全国·高三专题练习）【多选题】已知函数，则（    ）A．时，的图象位于轴下方B．有且仅有一个极值点C．有且仅有两个极值点D．在区间上有最大值三、填空题13．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为______.14．（2023·全国·高三专题练习）函数在上无极值，则m＝______．15．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处取得极值，则____________．16．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处取极值，则__________．四、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处有极值．(1)求，的值；(2)求函数在区间上的最大值．    18．（2023·上海·高三专题练习）设，函数.(1)若函数为奇函数，求实数a的值；(2)若函数在处取得极小值，求实数a的值.    19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若在处取得极值，求的单调区间及其最大值与最小值．    20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求的值及在上的解析式；(2)若在区间上有极值，求的取值范围.